Vierkantswortel i

[EvilBro]

Je definieert

\(\sqrt{z}\)

als

\(z^{\frac12}\)

.

Maar

\(z^{\frac12}\)

is niet gedefinieerd voor negatieve

\(z\)

.

Die is wel degelijk gedefinieerd voor 'negatieve z' (wat in de context van complexe getallen een 'negatieve z' is, is mij een raadsel).

\(z^a = e^{a \ln(z)} = e^{a (\ln |z| + i \arg{z})}\)

met \(arg(z)\) natuurlijk weer als de hoofdwaarde van het argument. Wil je het als 'multivalued function' zien dan mag dat van mij ook aangezien dat helemaal niks verandert aan het feit dat 'z negatief mag zijn'.

[TD]

Met 'negatief' bedoelt PeterPan wellicht reëel deel negatief, imaginair deel 0 (hetgeen dus overeenkomt met de negatieve reële getallen). Als je in je definitie van de (complexe) vierkantswortel eist dat -pi<arg(z)<pi, dan is die vierkantswortel niet gedefinieerd voor 'negatieve getallen'.

[EvilBro]

Als je in je definitie van de (complexe) vierkantswortel eist dat -pi<arg(z)<pi, dan is die vierkantswortel niet gedefinieerd voor 'negatieve getallen'.

Obviously... maar dat komt dan omdat je de negatieve as gewoon weglaat (ik kan nog wel meer dingen verzinnen om te eisen). Als je de hoofdwaarde pakt dan heb je -pi<arg(z)<=pi en heb je dat probleem niet. En het probleem verdwijnt helemaal als je de boel als 'multivalued function' benadert.

[PeterPan]

Deze fout had ik inderdaad in het achterhoofd toen ik mijn vraag stelde... Vandaar mijn interesse hoe een theoreticus hier mee omspringt.

Het heeft geen enkele zin de wortel uit een complex getal te definieren, als je er geen rekenregels op mag toepassen.

Dan kun je ook definieren

\(\frac{x}{0}=\sin(x)\)

, waar je ook geen rekenregels op mag toepassen.

Wat schiet je daar dan mee op?

Een theoreticus (je bedoelt neem ik aan een wiskundige) doet geen rare dingen en schrijft niet

\(\sqrt{i}\)

.

Bedenk dat

\(i\)

een symbool is vastgelegd door de eigenschap

\(i^2=-1\)

.

In de theorie van van de split-complexe getallen wordt het symbool i vastgelegd door

\(i^2=1\)

en

\(i \ne \sqrt{1}\)

.

Daar heeft de vergelijking

\(x^2=1\)

vier oplossingen.

[dirkwb]

Het heeft geen enkele zin de wortel uit een complex getal te definieren, als je er geen rekenregels op mag toepassen.

Eerlijk gezegd snap ik het probleem niet, de meeste mensen nemen simpelweg de hoofdwaarde. Maar je moet in de gaten houden dat er dus meerdere oplossingen zijn. Welke waarde je neemt hangt af van de snede die je kiest. Volgens mij zijn de rekenregels wel van toepassing in de zin van de definitie van een 'meerwaardige functie'.

[PeterPan]

Eerlijk gezegd snap ik het probleem niet, de meeste mensen nemen simpelweg de hoofdwaarde. Maar je moet in de gaten houden dat er dus meerdere oplossingen zijn. Welke waarde je neemt hangt af van de snede die je kiest. Volgens mij zijn de rekenregels wel van toepassing in de zin van de definitie van een 'meerwaardige functie'.

Je bent in de war met de definitie van

\(z^{\frac12}\)

.

[EvilBro]

Je bent in de war met de definitie van

\(z^{\frac12}\)

.

Jij bent degene die in de war is. Kijk bijvoorbeeld eens hier (bladzijde 18 en 19) of hier (pagina 36).

[kotje]

Bijvoorbeeld: de wortel van het complexe getal z is gelijk aan de hoofdwaarde van de complexe machtfunctie

\(z^{\frac{1}{2}}\)

De hoofdwaarde van een multivalued function ( hier ) is dit een definitie?. M.a.w hoe komt men daar aan? Met jouw linken kom ik op zo maar niet op de juiste bladzijden

[EvilBro]

De hoofdwaarde van een multivalued function ( hier ) is dit een definitie?

Hoofdwaarde.

Met jouw linken kom ik op zo maar niet op de juiste bladzijden

Apart, want als ik er op klik kom ik wel op de juiste plek. Geen idee waarom het niet werkt. Als je echter de link naar worteltrekken volgt in de pagina over de hoofdwaarde dan kom je hier uit. Daar staat ook een stukje over complexe wortels (dat ook nog eens overeen komt met wat ik beweerde... je verwacht het niet... ).

[PeterPan]

<i>Uit

Zelfs in complexe functie theorie was ik het niet tegengekomen.

Dat verbaast me niets, want in de complexe functietheorie wordt de wortel uit een negatief getal niet gedefinieerd.

Ondanks het feit dat dat wel kan. Maar wat wel kan is nog niet per sé nuttig.

[EvilBro]

Dat verbaast me niets, want in de complexe functietheorie wordt de wortel uit een negatief getal niet gedefinieerd.

Dit is volgens mij nog steeds een bewering die niet waar is (zie hier voor een blik in het verleden).

[PeterPan]

Ik weet dat je denkt dat je het beter weet. Ook verwijzingen naar een een boek waar de wortels van negatieve getallen worden gedefinieerd hebben geen enkele zeggenschap. Dat is pas het geval als in alle inleidende boeken over complexe functietheorie wortels van negatieve getallen worden definiëren.

Elke boekenschrijven mag zijn eigen notaties verzinnen. Zo ken ik ook een boek waar n-hoeken worden gedefinieerd voor negatieve n. Heel leuk, maar niet nuttig.

Je geeft een prima verwijzing. Daar geef ik aan wanneer wortels van negatieve getallen worden gebruikt.

[EvilBro]

Ook verwijzingen naar een een boek waar de wortels van negatieve getallen worden gedefinieerd hebben geen enkele zeggenschap.

Lang verhaal kort: luistert allen naar PeterPan, want elke verwijzing die in tegenspraak is met wat hij beweert is niet relevant? Leuk concept, maar totaal onzinnig natuurlijk... Dit is meteen in te zien door je eigen uitspraak tegen je te gebruiken: Dat wortels niet gedefinieerd zijn voor negatieve getallen is niet zo aangezien niet alle boeken zeggen dat dit zo is.

Daar geef ik aan wanneer wortels van negatieve getallen worden gebruikt.

Hoe kun je nu aangeven wanneer iets gebruikt wordt als je zelf beweert dat het niet gedefinieerd is? Waarom vind je het zo moeilijk te accepteren dat, ondanks al het bewijs dat ik je gegeven heb dat je ongelijk hebt, je ongelijk hebt?

[dirkwb]

Elke boekenschrijven mag zijn eigen notaties verzinnen.

Zo ken ik ook een boek waar n-hoeken worden gedefinieerd voor negatieve n. Heel leuk, maar niet nuttig.

Je geeft een prima verwijzing. Daar geef ik aan wanneer wortels van negatieve getallen worden gebruikt.

Ik heb vorig jaar complexe functietheorie gevolgd en de feiten die Evilbro aangeeft zijn daarmee in overeenstemming. Kan jij een boek (of een betrouwbare internetsite) aangeven waarin staat dat de wortel niet gedefinieerd is voor negatieve getallen? Dan ga ik daar 's in bladeren...

[PeterPan]

Ga jij dan voor mij op zoek naar een boek (of een betrouwbare internetsite) waarin staat dat n-hoeken niet gedefinieerd zijn voor negatieve n?

Je zult er geen vinden. Toch is het zo. Er bestaan natuurlijk geen boeken waarin staat dat iets niet gedefinieerd wordt.

Dan kun je aan de gang blijven: Er wordt zoveel niet gedefineerd. Alleen wat je gaat gebruiken ga je definieren.

Even gegoogled. In neem gewoon het eerste wat ik tegenkom

http://aw.twi.tudelft.nl/~sweers/onderwijs/complex2003.pdf

Ga maar zoeken. Nergens wordt de wortel uit een negatief (of complex) getal gedefinieerd.

Als je wilt wil ik nog wat verder voor je googelen, maar dat kun je zelf ook.