Allerlei tensor-vragen

[wnvl1]

Je kan die vraag op heel wat manieren beantwoorden lijkt mij, daar zijn ook heel wat youtube filmpjes over. Dit is zoals ik ernaar kijk.

De speer S op positie p kan je uitdrukken in functie van de basisvectoren.

$$S = s^i e_i$$

Als de speer nu verhuist naar punt q dan moeten al die basisvectoren over het gevolgde traject omwille van de gekromde ruimte een beetje veranderen volgens de formule.

$$\nabla_{e_v} e_u \equiv \Gamma^{\alpha}_{\mu v} e_{e_\alpha}$$

Hier komen de covariante afgeleide en de Christoffelsymbolen te voorschijn. Vraag die zich dan stelt is, hoe is de covariante afgeleide gedefinieerd? De covariante afgeleide is een operator die wiskundig goed te vergelijken is met de gewone afgeleide en de Christoffelsymbolen die te voorschijnk komen in de formule voor de covariante afgeleide worden dusdanig gekozen dat de covariante afgeleide van de metriek nul is. Zo kijk ik er dus naar. Merk op de metriek bepaalt de kromming, dus de Christoffel symbolen zijn afhankelijk van de kromming.

[flappelap]

Welke speer in de raakruimte aan punt q beschouw je dan als dezelfde (parallel getransleerde) speer als in de raakruimte aan p, en waarom?

Dat ligt aan je connectie. Daar is geen eenduidig antwoord op. Zie b.v.

http://wordpress.discretization.de/geom ... transport/

[HansH]

Terug naar de tensoren! Ik zit nog te tobben met "parallel transport".

Deze ken je neem ik aan? rond 8:25

[flappelap]

Wat denk ik ook goed is te bemadrukken: bij parallel transport heb je een curve nodig. Twee vectoren vergelijken doe je uiteindelijk door ze in hetzelfde punt oftewel raakruimte te krijgen, maar de onderlinge oriëntatie is dan afhankelijk van het gekozen pad.

Je kunt dus niet van 2 vectoren in verschillende raakruimtes zeggen of ze "parallel staan". Daarvoor moet je een pad kiezen, en het antwoord zal i.h.a. per pad verschillen. Dat definieert ook de notie van intrinsieke kromming. Alleen in vlakke ruimtes heb je deze ambiguïteit niet.

[HansH]

Wat denk ik ook goed is te benadrukken: bij parallel transport heb je een curve nodig.

Dat kun je ook mooi zien in het filmpje na 8:25 als je parallel transporteert over een traject tot je weer in hetzelfde punt komt. Dan staat je vector in een andere richting afhankelijk van het oppervlak waarover je hebt getransporteerd en hoeveel de richting verandert is dan bijkbaar evenredig met dat oppervlak.

[Professor Puntje]

Een belangrijk punt lijkt mij dat er verschillende definities van connecties mogelijk zijn en dat parallel transport dus ook niet eenduidig gedefinieerd is. Dat verklaart ook waarom ik het niet begreep. Het is dan immers niet zo zeer een kwestie van "de connectie" begrijpen als wel van "een connectie" kiezen. De bekende filmpjes scheppen de illusie dat de betekenis van parallel transport zo klaar als een klontje is. Voor echt begrip moet je echter voorbij de popiejopie video's naar de rigoureuze maar veel moeilijker wiskundige definities. Althans dat is mijn insteek.

[HansH]

Een belangrijk punt lijkt mij dat er verschillende definities van connecties mogelijk zijn en dat parallel transport dus ook niet eenduidig gedefinieerd is.

zoals ik het begrijp is er maar 1 definitie van parallel transport. Er zijn echter oneindig veel paden waarover je een vector parallel kunt transporteren en oneindig veel coordinaten systemen waarmee je dat kunt beschrijven. Dat filmpje wat ik had bijgevoegd is naar mijn idee zeker geen popiejopie video maar legt de zaak inclusief de wiskundige ideen gewoon helder uit.

[Professor Puntje]

Laten we daarover dan even het oordeel van de deskundigen afwachten. De gelinkte video is zeker een van de betere, maar als er inderdaad meerdere definities van de connectie bestaan niettemin nog steeds misleidend.

[wnvl1]

Laten we daarover dan even het oordeel van de deskundigen afwachten. De gelinkte video is zeker een van de betere, maar als er inderdaad meerdere definities van de connectie bestaan niettemin nog steeds misleidend.

In het kader van de art heb jij de Levi civita connectie nodig.

Je moet vertrekken van een art boek en daarin eerst het hoofdstuk over de Christoffel symbolen en de covariante afgeleide begrijpen. Dat valt wel mee als je geen te moeilijk boek pakt. Daar oefeningen op maken. Daarna verder nadenken over parallel transport.

[Professor Puntje]

Ja - ik moet oefeningen maken, anders blijven die op elkaar gestapelde definities niet goed hangen en moet ik elke keer weer opnieuw beginnen.

[wnvl1]

Terug naar de tensoren! Ik zit nog te tobben met "parallel transport".

Deze ken je neem ik aan? rond 8:25

Die films van hem zijn echt wel heeeeeeeeel goed. Ik vind die soms meer entertainend dan Disney tekenfilms. Soms ook grappig. Ik vraag mij af hoe hij dat allemaal maakt.

[HansH]

Terug naar de tensoren! Ik zit nog te tobben met "parallel transport".

Deze ken je neem ik aan? rond 8:25

Die films van hem zijn echt wel heeeeeeeeel goed. Ik vind die soms meer entertainend dan Disney tekenfilms. Soms ook grappig. Ik vraag mij af hoe hij dat allemaal maakt.

voor mensen die visueel zijn ingesteld een verademing. heel ingewikkeld lijkende formules worden ineens goed te begrijpen als je dit soort filmpjes bekijkt. Had ik die vroeger maar gehad toen ik nog studeerde. Ik vroeg me altijd af waarom die docenten het toch zo moeilijk hadden om de essentie van de stof uit te leggen, terwijl achteraf als ik het eenmaal begreep het feitelijk toch zo simpel was en ik het zelf in een klein deel van d tijd uit had kunnen leggen.

[Professor Puntje]

Schijn bedriegt. Probeer na het kijken van zo'n filmpje maar eens een opgave over de Einstein vergelijkingen te maken, dan merk je hoeveel je er nu werkelijk van begrijpt. De ruimtetijd is geen gebogen vlak in de 3D-ruimte, hoe fraai de video's het ook als zodanig mogen voorstellen. Het gevolg is dat men niet begrijpt wat men denkt te begrijpen, en direct weer met de handen hij het haar zit als er vervolgens een echt ART-vraagstuk gemaakt moet worden. Alleen door serieuze studie en het maken van opgaven maakt men zich de stof eigen, echter door als maar te blijven steken in mooi gemaakte filmpjes en popiejopie lectuur houdt men zichzelf voor de gek. - Ik spreek uit ervaring.

[wnvl1]

De Einsteinvergelijkingen zelf oplossen is niet de eerste doelstelling van de film. Zelfs voor een simpele puntmassa was het wachten op Schwarzschild om met een oplossing te komen. Einstein kon het ook niet direct. De film geeft wel een mooi inzicht van wat de Einsteinvergelijking juist inhoudt. Een doorsnee persoon zelfs met enige wiskundige kennis gaat niet begrijpen wat de Einsteinvergelijking is. Na het bekijken van de film heb je daar wel een beeld van.

Ik had het over het volledige geheel van al zijn films. Briljant gewoon.

[Professor Puntje]

Ik heb ook al die filmpjes bekeken, en was daar aanvankelijk ook heel enthousiast over. Maar als ik dan terugkeer naar een leerboek en opgaven probeer te maken komt daar alsnog maar heel weinig van terecht. De filmpjes scheppen vooral de illusie van begrip, maar in de praktijk schiet je er weinig mee op. Of sterker nog: die filmpjes houden je af van het echte werk (de serieuze studie en het maken van opgaven) omdat je je na het bekijken van die filmpjes gemakkelijk inbeeldt de essentie van de zaak toch al te begrijpen.

Ik heb nu D'Inverno's Introducing Einstein's Relativity maar weer ter hand genomen.