De grote raadseltopic

[Th.B]

Ik had er op 2 juni ook al eentje gepost

[Anton_v_U]

Excuus, ik zie nu pas dat het de bedoeling is om pas een nieuwe te posten als de oude is opgelost. Dan moeten we nu dus hier over nadenken:
 
 

Zij N een natuurlijk getal.
Bekijk alle mogelijke manieren waarop N te schrijven is als som van 4 natuurlijke getallen in oplopende volgorde, dus N = A + B + C + D met 1 ≤ A ≤ B ≤ C ≤ D.
Bewijs dat N een priemgetal is dan en slechts dan als voor al deze mogelijke decomposities geldt dat AD ongelijk is aan BC.

[Benm]

^^ Is dat een raadsel of een of ander wiskundig theorum dat bewezen moet worden?

Hoorde laatst een leuke (mogelijk al bekend?):
 
Je breekt een stok op twee willekeurige plaatsen in drie stukken. 
Hoe groot is de kans dat je met deze drie stukken een driehoek kunt maken?

Volgens mij 75%

[kee]

Zij N een natuurlijk getal.
Bekijk alle mogelijke manieren waarop N te schrijven is als som van 4 natuurlijke getallen in oplopende volgorde, dus N = A + B + C + D met 1 ≤ A ≤ B ≤ C ≤ D.
Bewijs dat N een priemgetal is dan en slechts dan als voor al deze mogelijke decomposities geldt dat AD ongelijk is aan BC.

 

Verborgen inhoud

Zij N een natuurlijk getal. Stel N = A + B + C + D zo'n decompositie met AD = BC. Te bewijzen is dat N geen priemgetal is.
 
Stel
A = ad₁ met d₁ = ggd(A,B),
B = bd₁
C = cd₂ met d₂ = ggd(C,D)
D = dd₂
 
Dan is a = c en b = d.
 
Dus N = (d₁ + d₂) (a + b) en omdat beide factoren groter zijn dan 1 is N geen priemgetal.
 
Omgekeerd stel N is geen priemgetal, dan moeten we zo'n decompositie zoeken met AD = BC.
 
Omdat N geen priemgetal is kunnen we schrijven N = (1 + x) (1 + y) met x en y natuurlijke getallen en 1 ≤ x ≤ y.
 
N = 1 + x + y + xy
 
Stel A = 1, B = x, C = y, D = xy
 
Dan hebben we zo'n decompositie voor N met AD = xy = BC.

[Th.B]

Correct! Dan kunnen we nu door met Anton's raadsel.
Edit: excuus voor de trage reactie.

[Catena]

Hallo forumleden, hier is mijn eerste bijdrage. Ik moet eerst al jullie eerdere doornemen om te voorkomen dat ik een reeds geplaatste puzzel herkauw. Daarna wellicht wat puzzels mijnerzijds.
Catena; f(x) = (e^x + e^-x)/2
 
Het probleem over partities van priemgetallen in vieren (Th.B) is ook op te lossen zonder expliciete wiskunde:

Omdat (op 2 na) alle priemgetallen oneven zijn is zo'n partitie altijd van de vorm eooo of oeee (e is even, o oneven, los van de volgorde)

Dat betekent dat de producten ad en bc nooit dezelfde pariteit kunnen hebben. dus ad <> bc voor elke partitie. qed.

 

Het stok-probleem (Anton) is al heel oud (en bekend?). Neem een stok met lengte 1. Ertussen zitten twee breekpunten, noem ze resp. x en y. Met lineair programmeren is het probleem oplosbaar: er moet gelden (driehoeksongelijkheid):  x < 1 - x ,  y - x < x + 1 - y , 1 - y < y en x < y

Korter; x < 0,5  y < x + 0,5, y > 0,5 en x < y  Uit een tekening volgt dan snel de oplossing: De hele kansruimte heeft oppervlakte 0,5 en het toegestane gebied heeft oppervlakte 0,125

De kans is 0,25.

[Benm]

Ik kijk er wellicht wat praktischer tegenaan: wil je geen driehoek kunnen maken van 3 stukken van een gebroken stok moet 1 van de stukken 0.5 meter of langer zijn. Als de stok 1 meter lang is en je maakt er twee willekeurige breuken in, dan kun je geen driehoek maken als beide breuken voorbij 0.5 meter liggen. De kans daarop is 0.5x0.5=0.25, dus 75% dat het wel gaat.

Dit is natuurlijk wel een andere situatie dan wanneer je eerst de stok breekt, en daarna een van de delen nogmaals breekt. Als je bijvoorbeeld het langste stuk na de eerste breuk zou breken is de kans dat het lukt 1. Breek je juist het kortste stuk daarna in tweeen is de kans nul.

[Catena]

Dat met die kansen gaat wel erg gemakkelijk. Als ik breek bij 0,4 en 0,6 gaat het óók mis. Want de driehoeksongelijkheid stelt dat elke zijde korter moet zijn dan de som van de andere twee. Over eerste stuk < 0,5 zijn we het eens. Maar voor de twee andere stukken moet dat eveneens gelden.
Het zit iets complexer in elkaar dan op het eerste gezicht lijkt.
Terzijde: als beide breuken vóór 0,5 liggen.....

[Emveedee]

 Als ik breek bij 0,4 en 0,6 gaat het óók mis. 

Met 2 stokken van 0,4 en 1 van 0,2 kun je toch zeker wel een driehoek maken?

[Anton_v_U]

Als je breekt bij 0,4 en 0,6 heb je 2 stukken van 0,4 en een stuk van 0,2 en dan lukt het nog wel maar misschien bedoelde je het anders.
 
De oplossing van Catena is correct, de kans is een kwart.
 
Mijn oplossing (die op hetzelfde neerkomt)
Voorwaarde: alle stukken moeten korter zijn dan 0,5.
Het gaat op  drie manieren mis: beide breuken voor 0,5, beide breuken na 0,5 of minstens 0,5 tussen beide breuken in.
Teken een vierkant: 0<=x1<=1 en 0<=x2<=1. De kansdichtheid van de plaats van de breuken  x1 en x2 is uniform en gelijk aan 1. Het oppervlak van het gebied dat aan de voorwaarde voldoet 0,25, de kans dus ook.

[Benm]

Die 0.5 tussen de breuken in gooit inderdaad aardig roet in het eten - had er in eerste instantie niet eens bij stil gestaan.

Wel grappig dat de kans eigenlijk zo klein is als het echt willekeurig gaat, vergeleken met het in de praktijk daadwerkelijk proberen met een stok Als je in 1 handeling een stok in 3 stukken breekt gebeurt het in de praktijk eigenlijk nooit dat 1 van die stukken langer is dan de helft. Dit is uiteraard een fenomeen dat meer met natuurkunde te maken heeft en de breukpunten zijn verre van willekeurig.

[Th.B]

Wat Catena zei over mijn priemgetalprobleem klopt niet. Als de partitie van de vorm oeee is, zijn ad en bc allebei even.

[weetikveel]

Raadsel 208
 
Wie lost dit op?
 

[317070]

Wie lost dit op?

Niet genoeg gegevens

[dirkwb]

Wie lost dit op?

Je plaatje doet het niet bij mij. Kan je je ook aan het format houden?