[wiskunde] integralen / integreren

[HosteDenis]

Je mist een factor 1/2 bij het eerste gedeelte en de tweede min moet volgens mij een plus zijn. Maar ik wil je erop wijzen dat Morzon's hint van de substitutie hier goed werkt.

Het zou best kunnen dat je gelijk hebt, maar wil je me er dan ook eens op wijzen waar precies?

Volgens mij mis ik geen factor 1/2 in de eerste term aangezien:

\(\int \frac{3x}{\sqrt{1-x^2}} \; dx = -3 \int \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} \; dx = -3 \int \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} \; dx \)

.

Wat betreft die tweede min wil ik je wel gelijk geven:

\(- \int \frac{d(\arcsin x)}{dx}} \cdot \sqrt{\arcsin x} \; dx = - \left( \arcsin^{\frac{3}{2}} x - \int \frac{d(\sqrt{\arcsin x})}{dx} \arcsin x \; dx \right)\)

\(= - \arcsin^{\frac{3}{2}} x + \int \frac{d(\sqrt{\arcsin x})}{dx} \arcsin x \; dx \)

.

En dus wordt:

\(\int \frac{3x - \sqrt{\arcsin x}}{\sqrt{1-x^2}} \; dx = -3 \sqrt{1-x^2} - \arcsin^{\frac{3}{2}} x + \int \frac{d(\sqrt{\arcsin x})}{dx} \arcsin x \; dx\)

Denis

[dirkwb]

Het zou best kunnen dat je gelijk hebt, maar wil je me er dan ook eens op wijzen waar precies?

Volgens mij mis ik geen factor 1/2 in de eerste term aangezien:

\(\int \frac{3x}{\sqrt{1-x^2}} \; dx = -3 \int \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} \; dx = -3 \int \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} \; dx \)

.

Je hebt gelijk

[Morzon]

\(\int \frac{3x - \sqrt{\arcsin x}}{\sqrt{1-x^2}} \; dx = -3 \sqrt{1-x^2} - \arcsin^{\frac{3}{2}} x + \int \frac{d(\sqrt{\arcsin x})}{dx} \arcsin x \; dx\)

Dit klopt. Maar misschien zie je nu niet hoe het verder moet. Ik raad je aan om de tweede deel apart te berekenen.

Dus:

\(\int \frac{\sqrt{\arcsin{x}}}{\sqrt{1-x^2}}\)

=..

En denk dan gelijk aan de integraal van exp(x) sin(x) dx je je eerder had opgelost.

Probeer ook met substitutie

\(\gamma=\arcsin{x}\)

[HosteDenis]

Dit klopt. Maar misschien zie je nu niet hoe het verder moet. Ik raad je aan om de tweede deel apart te berekenen.

Dus:

\(\int \frac{\sqrt{\arcsin{x}}}{\sqrt{1-x^2}}\)

=..

En denk dan gelijk aan de integraal van exp(x) sin(x) dx je je eerder had opgelost.

Probeer ook met substitutie

\(\gamma=\arcsin{x}\)

Dan bekomen we inderdaad een eenvoudige oplossing!

Bedankt dirkwb en Morzon!

\(\int \frac{3x - \sqrt{\arcsin x}}{\sqrt{1-x^2}} \; dx = -3 \sqrt{1-x^2} - \int \frac{\sqrt{\arcsin x}}{\sqrt{1-x^2}} \; dx\)

Nu, stel

\(y= \arcsin x\)

, dan is

\(dy= \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\)

of

\(dx= \sqrt{1-x^2}dy\)

. Dan hebben we:

\(-3 \sqrt{1-x^2} - \int \frac{\sqrt{\arcsin x}}{\sqrt{1-x^2}} \; dx = -3 \sqrt{1-x^2} - \int \sqrt{y} \; dy = -3 \sqrt{1-x^2} - \frac{2}{3}y^{\frac{3}{2}} = -3 \sqrt{1-x^2} - \frac{2\sqrt{\arcsin^{3} x}}{3}\)

.

Bedankt!

Denis

[Morzon]

+C

Is het ook gelukt met partiële integratie?

[TD]

Kleine suggestie: probeer je LaTeX-formules op tijd af te breken en een nieuwe regel te beginnen. De langere afbeeldingen verstoren de lay-out (die zijn dan breder dan de breedte van de tabel voor de inhoud van het forum).

[HosteDenis]

Kleine suggestie: probeer je LaTeX-formules op tijd af te breken en een nieuwe regel te beginnen. De langere afbeeldingen verstoren de lay-out (die zijn dan breder dan de breedte van de tabel voor de inhoud van het forum).

Dat had ik ook al gezien, maar ik kon het niet meer aanpassen. Ik denk dat enkel moderators dat nu nog kunnen wijzigen.

Is het ook gelukt met partiële integratie?

Deze heb ik niet verder uitgewerkt, aangezien er echt wel veel oefeningen zijn en ik de oplossing gevonden heb via substitutie. Misschien zou het wel handig zijn eenzelfde oefening ook eens via een andere methode op te lossen, maar ik ga eerst proberen alle oefeningen te maken vooraleer ik er enkele hermaak. Ik zit zelfs weer vast een vijftal oefeningen verder. Ik ga echter wel eerst nogmaals kijken naar die oefening voor ik hem weer hier post.

Denis

[TD]

Dat had ik ook al gezien, maar ik kon het niet meer aanpassen. Ik denk dat enkel moderators dat nu nog kunnen wijzigen.

Klopt, bij de grootste formule heb ik het aangepast.

Een oefening op meerdere manieren maken is zeker nuttig, maar als je hier inziet dat substitutie beter werkt, is het ook al goed...

[HosteDenis]

Ik zit zelfs weer vast een vijftal oefeningen verder. Ik ga echter wel eerst nogmaals kijken naar die oefening voor ik hem weer hier post.

Ik vond deze oefening ondertussen al, niet zo moeilijk, je moet het er maar in zien:

\(\int \frac{\cos(3x)}{(1+\sin (3x))^2} \; dx\)

Stel

\(u = \sin (3x) \rightarrow dx = \frac{du}{3 \cos (3x)}\)

Dan hebben we

\(\int \frac{\cos(3x)}{(1+u)^2 \cdot 3 \cos (3x)} \; du = \int \frac{1}{3(1+u)^2 } \; du = \frac{1}{3} \int (1+u)^{-2} \; du = - \frac{1}{3} (1+u)^{-1} + c = \frac{-1}{3+3 \sin(3x)} +c\)

Denis

[TD]

Klopt inderdaad; je kan je resultaat ook steeds op deze website controleren (of zelf terug afleiden...).

[HosteDenis]

En hier ben ik weer met de volgende integraal:

\(\int \frac{z \; dz}{z^4 + a^4}\)

.

Ik paste partiële integratie toe, en dan kwam ik tot

\(\int \frac{z}{z^4 + a^4} \; dz = \frac{z^2}{2(z^4+a^4)} + \frac{1}{2} \int \frac{z^2}{(z^4 + a^4)^{2}} \; dz \)

.

Als ik nu nogmaals partiële toepas, zodat mijn integraal in de uitkomst gelijk gaat zijn aan een veelvoud van mijn integraal uit de opgave, zodat ik de integraal naar het linkerlid kan brengen en slechts één integraal overhoud, bekom ik:

\(\int \frac{z}{z^4 + a^4} \; dz = \frac{z^2}{2(z^4+a^4)} - \frac{z^2}{2(z^4+a^4)} + \int \frac{z \; dz}{z^4 + a^4} \; dz\)

, waar ik evenveel mee ben als 0 = 0.

Moet ik partiële op de andere manier toepassen, of ben ik verkeerd bezig?

Denis

[TD]

Probeer eens de substitutie: y = x²/a².

[HosteDenis]

Beste TD,

bedankt dat je me weer helpt, je bent waarschijnlijk wat verveeld dat ik hier deze simpele vragen (voor jou) stel, maar ik zie de oplossing niet, ik moet nog wennen aan het geheel integralen.

Probeer eens de substitutie: y = x²/a².

Je bedoelt waarschijnlijk

\(\frac{z^2}{a^2}\)

, maar je hebt gelijk; ik vind het ook vervelend als de opgave werkt met t, v, u, y of z in plaats van de gebruikelijke variabele x.

Nu, ik deed wat je zei (en speciaal voor jou z=x):

\(\int \frac{x \; dx}{x^4 + a^4}\)

Stel:

\(u = \frac{x^2}{a^2} \; \Rightarrow \; dx = \frac{a^2}{2x} \; du\)

.

Dus:

\(\int \frac{x \; dx}{x^4 + a^4} = \frac{a^2}{2} \int \frac{1}{x^5 + a^4x} \; du\)

wat gelijk is aan

\(\frac{a^2}{2} \int (x^5 + a^4x)^{-1} \; du\)

.

Deze laatste integraal zou ik wel kunnen oplossen, moest die 'du' nu eens een 'dx' zijn. Kun je me dus nog eens helpen?

Denis

[TD]

Met je vragen zit ik absoluut niet verveeld, dan zou ik niet antwoorden.

Ik bedoelde inderdaad z, maar gebruikte uit gewoonte x

\(\frac{z}{a^4+z^4} = \frac{\frac{z}{a^4}}{1+\left( \frac{z^2}{a^2} \right)^2}\)

Ik heb beide leden dus gedeeld door a^4.

Stel nu y = z²/a², dan is dy = 1/a² 2zdz zodat z/a^4 dz = dy/(2a²).

\(\int \frac{\frac{z}{a^4}}{1+\left( \frac{z^2}{a^2} \right)^2} \, \mbox{d}z \to \frac{1}{2a^2} \int \frac{1}{1+y^2} \, \mbox{d}y \)

[HosteDenis]

Met je vragen zit ik absoluut niet verveeld, dan zou ik niet antwoorden.

Ik bedoelde inderdaad z, maar gebruikte uit gewoonte x

\(\frac{z}{a^4+z^4} = \frac{\frac{z}{a^4}}{1+\left( \frac{z^2}{a^2} \right)^2}\)

Ik heb beide leden dus gedeeld door a^4.

Stel nu y = z²/a², dan is dy = 1/a² 2zdz zodat z/a^4 dz = dy/(2a²).

\(\int \frac{\frac{z}{a^4}}{1+\left( \frac{z^2}{a^2} \right)^2} \, \mbox{d}z \to \frac{1}{2a^2} \int \frac{1}{1+y^2} \, \mbox{d}y \)

Mijn probleem is dat ik het perfect kan volgen, maar onmogelijk kan dupliceren.

Hoe doe je dat toch?

Ik vind het een mooie oplossing. Jammer dat ik eerst uren moet oefenen voor ik ook soortgelijke elegante oplossingen kan produceren. Petje af.

Denis