[wiskunde] integralen / integreren

[dreamz]

ik bedoel  

\( \int \frac{1}{{\cos}{t}} dt \)

 

Je kan dit doen met een klassieke substitutie voor integralen van goniometrische functies, namelijk stel y = tan(t/2) etc. Andere mogelijkheid:

\(\int {\frac{1}{{\cos t}}} dt = \int {\frac{{\cos t}}{{\cos ^2 t}}} dt = \int {\frac{{\cos t}}{{1 - \sin ^2 t}}} dt\mathop \to \limits_{dy = \cos tdt}^{y = \sin t} \int {\frac{1}{{1 - y^2 }}} dy = \int {\frac{1}{{\left( {1 - y} \right)\left( {1 + y} \right)}}} dy\)

Nu splitsen in partiële breuken en dan is het eenvoudig.

\(\frac{1}{2}\int {\frac{1}{{1 + y}}} dy - \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{1 - y}}} dy = \frac{1}{2}\ln \left( {y + 1} \right) - \frac{1}{2}\ln \left( {y - 1} \right) + C = \frac{1}{2}\ln \left( {\frac{{y + 1}}{{y - 1}}} \right) + C\)

Nu terug \(y = \sin t\) erin steken.

Ik snap de stap: splitsen in partieel breuken niet echt mijn excuses maar ik heb er compleet het raden naar hoe die 1/2 - 1/2 daar komen

[TD]

Ofwel ga je de breuken een beetje slim manipuleren, ofwel echt splitsen in partiële breuken. Als je dat nooit gezien hebt is het misschien wat raar, neem hier eens een kijkje: Wisfaq: breuksplitsen.

[Bert F]

kan er iemand nog even uitleggen hoe je dat doet met volgende substitutie y = tg (t/2)?

[TD]

Ik zal het even doen zoals je ze meestal tegenkomt, als de integraal gewoon in x staat dan is deze substitutie soms bekend als de "t-formule's", stel t = tan(x/2) dan is x = 2bgtan(t), cos(x) = (1-t²)/(1+t²), sin(x) = 2t/(1+t²), dx = 2dt/(1+t²).

Op deze manier kan je een functie van sin en cos omzetten naar een rationale functie in t.

[raintjah]

ik bedoel  

\( \int \frac{1}{{\cos}{t}} dt \)

 

Je kan dit doen met een klassieke substitutie voor integralen van goniometrische functies, namelijk stel y = tan(t/2) etc. Andere mogelijkheid:

\(\int {\frac{1}{{\cos t}}} dt = \int {\frac{{\cos t}}{{\cos ^2 t}}} dt = \int {\frac{{\cos t}}{{1 - \sin ^2 t}}} dt\mathop \to \limits_{dy = \cos tdt}^{y = \sin t} \int {\frac{1}{{1 - y^2 }}} dy = \int {\frac{1}{{\left( {1 - y} \right)\left( {1 + y} \right)}}} dy\)

Nu splitsen in partiële breuken en dan is het eenvoudig.

\(\frac{1}{2}\int {\frac{1}{{1 + y}}} dy - \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{1 - y}}} dy = \frac{1}{2}\ln \left( {y + 1} \right) - \frac{1}{2}\ln \left( {y - 1} \right) + C = \frac{1}{2}\ln \left( {\frac{{y + 1}}{{y - 1}}} \right) + C\)

Nu terug \(y = \sin t\) erin steken.

Als ik dat doe met partieelbreuken (zoals het op de wisfaq site staat uitgelegd) Dan kom ik op A=1/2 en B=1/2 .. Hoe komt jij dan aan dat minteken?

mvg

[Bert F]

ik kom ook twee keer 1/2 uit mss een foutje wachten tot er nog iemand reageert.

wat doe we met het volgende?



Groeten.

[raintjah]

ik kom ook twee keer 1/2 uit mss een foutje wachten tot er nog iemand reageert.

wat doe we met het volgende?



Groeten.

wat voer je uit in die eerste stap?

[EvilBro]

Waarom doe je niet dit?

\(\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} dx = \int \frac{1+x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx\)

\(\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx + \int \frac{2x}{2 \sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx - \int \frac{1}{2 \sqrt{1-x^2}} d(1-x^2) = \arcsin(x) - \sqrt{1-x^2} + c\)

[Bert F]

jij gebruikt gewoon je formule kaartje denk ik. ik wouw hem eens echt met een substitutie oplossen.

mss zo



Waarom zou mij computer programma volgende output geven ?



Groeten.

[EvilBro]

jij gebruikt gewoon je formule kaartje denk ik.

Formulekaartje? Die heb ik niet.

\(\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\theta)}} \cos(\theta) d\theta = \int \frac{1}{\sqrt{\cos^2(\theta)}} \cos(\theta) d\theta = = \int \frac{\cos(\theta)}{\cos(\theta)} d\theta = \theta = \arcsin(x)\)

Wat is hier mis mee dan?

[EvilBro]

Als ik dat doe met partieelbreuken (zoals het op de wisfaq site staat uitgelegd) Dan kom ik op A=1/2 en B=1/2 .. Hoe komt jij dan aan dat minteken?

Wat er staat is volgens mij niet correct, want:

\(\int {\frac{1}{{\left( {1 - y} \right)\left( {1 + y} \right)}}} dy = \frac{1}{2} \int{\frac{1}{1+y}}dy + \frac{1}{2} \int{\frac{1}{1-y}}dy = \frac{1}{2} \int{\frac{1}{1+y}}d(1+y) - \frac{1}{2} \int{\frac{1}{1-y}}d(1-y)\)

\( = \frac{1}{2} \ln(|1+y|) - \frac{1}{2} \ln(|1-y|) + C = \frac{1}{2} \ln(\frac{|1+y|}{|1-y|}) + C\)

[Bert F]

\(\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\theta)}} \cos(\theta) d\theta = \int \frac{1}{\sqrt{\cos^2(\theta)}} \cos(\theta) d\theta = = \int \frac{\cos(\theta)}{\cos(\theta)} d\theta = \theta = \arcsin(x)\)

Wat is hier mis mee dan?

Volgens mij niets maar je kunt ook zonder die goniometrische substitutie werken ik dacht dat je dat eerst deed.

Groeten.

[TD]

Als ik dat doe met partieelbreuken (zoals het op de wisfaq site staat uitgelegd) Dan kom ik op A=1/2 en B=1/2 .. Hoe komt jij dan aan dat minteken?

ik kom ook twee keer 1/2 uit mss een foutje wachten tot er nog iemand reageert.

Ohja?

\([\frac{1}{{x^2 - 1}} = \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{A}{{x + 1}} + \frac{B}{{x - 1}} \Leftrightarrow A\left( {x - 1} \right) + B\left( {x + 1} \right) = 1]\)

\([ \Leftrightarrow \left( {A + B} \right)x + \left( {B - A} \right) = 1 \Rightarrow \left{ \begin{array}{l} A + B = 0 B - A = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left{ \begin{array}{l} A = - B 2B = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left{ \begin{array}{l} A = - 1/2 B = 1/2 \end{array} \right.]\)

[Bert F]

Waarom die computer output?

Hoe kan je het volgende integreren

\( \int \cos^2 (x) \)

als je partitieel integratie moet gebruiken?

Groeten.

[Bert F]

waarschijnnelijk door recursie maar als ik dat doe dan bekom ik iets rechts met hetzelfde teken als links zodanig dat als ik dat naar de andere kant breng ik 0 bekom kan toch niet de bedoeling zijn hé?