\(g_{ab}\)
, en de Einsteinvergelijkingen geven hiervoor een differentiaalvergelijking. Het rechterlid is gewoon een bronterm voor de vergelijkingen, en doet er verder niet toe. We bekijken vacuumoplossingen, wat wil zeggen dat het rechterlid 0 is.Hoe hangt het linkerlid af van
\(g_{ab}\)
? Wel, op een vrij ingewikkelde manier. Op de pagina waarnaar je verwijst zie je al hoe de Einstein tensor afhangt van de Ricci tensor. Deze hangt af van de Christoffel symbolen op de volgende manier (indien je gebruik maakt van coordinaten \(x^a\)
):\(R_{ab} =\frac{\partial}{\partial x^c}\Gamma^c_{ba} - \frac{\partial}{\partial x^b}\Gamma^c_{ca}+ \Gamma^c_{cd} \Gamma^d_{ba}- \Gamma^c_{bd}\Gamma^d_{ca}\)
.En deze zijn dan weer vriendelijk genoeg om op de volgende manier van de metrische tensor af te hangen (ga niet te diep in op de formules, ik bespreek verderop wat we ervan nodig hebben):
\(\Gamma^a_{bc}=\frac{1}{2}g^{ad} (\frac{\partial}{\partial x^c} g_{bd}+\frac{\partial}{\partial x^b} g_{cd}-\frac{\partial}{\partial x^d} g_{bc})\)
.OK, kijk nu naar de laatste term van de vergelijking voor de Ricci-tensor. Deze is kwadratisch in het christoffel-symbool. Als we dan kijken naar de vergelijking voor het Christoffel-symbool zien we dus dat deze term kwadratisch is in de eerste orde afgeleide van de metrische tensor. Dit betekent dat de Einstein vergelijking, in formele notatie van de vorm
\(\frac{d^2}{dx^2}g+\left(\frac{dg}{dx}\right)^2=0\)
zijn -met natuurlijk indices en matrices die op die indices inwerken, maar ik wil het gewoon zo duidelijk mogelijk brengen-. De Maxwell-vergelijkingen, die het elektromagnetische veld - licht dus - beschrijven zijn van de formele vorm\(\frac{d^2}{dx^2}g=0\)
.Die laatste vergelijking is 'lineair'. Stel dat
\(g_1\)
en \(g_2\)
aan de vergelijkingen voldoen, dan voldoet ook \(g_1+g_2\)
aan de vergelijkingen:\(\frac{d^2}{dx^2}(g_1+g_2)=\frac{d^2}{dx^2}g_1+\frac{d^2}{dx^2}g_2=0+0=0\)
.Er is dus een nieuwe oplossing waarbij de oplossing
\(g_1\)
(een oplossing die werd berekend zonder de aanwezigheid van \(g_2\)
) gewoon bij de tweede wordt opgeteld. Hierdoor is er dus geen zelfinteractie: de propagatie van \(g_1\)
wordt niet beïnvloed door de propagatie van \(g_2\)
. In de klassieke theorie interageren fotonen dus niet met elkaar. Nu, op naar gravitatie: stel dat \(g_1\)
en \(g_2\)
aan de vergelijkingen voldoen, voldoet \(g_1+g_2\)
dan aan de vergelijkingen?\(\frac{d^2}{dx^2}\left(g_1+g_1\right)+\left(\frac{d (g_1+g_2)}{dx}\right)^2= 2\frac{dg_1}{dx}\frac{dg_2}{dx}\)
,en dit is in het algemeen verschillend van 0. Dus hier merken we dat er wel zelfinteractie is.
De berekening van de snelheid moet natuurlijk gedetailleerder dan de niet-rigoureuze schets die ik hierboven geef. Daarvoor kan je best een boek over algemene relativiteit kopen, of cursusnota's gebruiken (maar dat zal veel werk vergen). Ik kan de berekening hier wel schetsen, maar je zal er niet veel aan hebben, vrees ik.
