[wiskunde] integralen / integreren

[foodanity]

hoe bereken je eigenlijk die eerste? Sorry, maar ik zit nog maar in de 6e en zie ze alleen met f(x) en dan een dx, of een f(y) met een dy . Dus uitleg is gewenst

\(\int sin x dy\)

[TD]

Voor y kan je sin(x) als constante zien, die komt dus gewoon voor de integraal:

\(\int {\sin x} \,\mbox{d}y = \sin x\underbrace{\int {\mbox{d}y}}_{y+C} = y\sin x + C\)

[RaYK]

TD, je hebt gelijk ik heb het nog eens gecontroleerd ik heb 2 opgaves door elkaar gehaald

[TD]

Het kon ook moeilijk anders, met de hand was dat geen doenbare opgave (op dit niveau)

[RaYK]

weet er iemand hoe ik hier aan moet beginnen?

\(\int_x^{\sqrt{x}} \frac {\sin y}{y} dy\)

thx,

Rayk

[TD]

Is dit een onderdeel van een dubbele integraal? Want dan moet je misschien de volgorde van integratie verwisselen. Voor sin(y)/y zal je namelijk geen primitieve vinden, dus op deze manier gaat het niet lukken...

[RaYK]

jup, ik ga even de volledige integraal opschrijven:

\(\int_0^1 \int_x^{\sqrt{x}} \frac {\sin y}{y} dy dx\)

nu de volgorde van de integratie verwisselen.. kun je dit mss even voortonen? of een simpel voorbeeld geven, want ik heb dit nog nooit gedaan en weet niet direct hoe ik moet beginnen ook.. :s

alvast bedankt!

Rayk

[TD]

Probeer op een tekening het integratiegebied te schetsen: teken de lijnen x = 0 en x = 1 en de functies y = x en y = sqrt(x). Arceer het ingesloten gebied, dit is je integratiegebied. Kan je nu y tussen twee vaste waarden laten lopen en x de veranderlijke grenzen geven? Die zullen dan in functie van y zijn...

[RaYK]

simpelweg verwisselen bedoel je dan?

Dus de binnenintegraal krijgt dan de 1 en 0 als boven en ondergrens en wortel(x) en x worden de boven- en ondergrens van de buitenintegraal?

[TD]

De grenzen kan je niet zomaar verwisselen, je moet zo ze kiezen dat hetzelfde integratiegebied doorlopen wordt. Daarom is het handig dat je eerst een schets maakt van het integratiegebied. Teken daarvoor de verschillende grenzen (de lijnen en functies die ik zei) en arceer het ingesloten gebied.

Dit gebied wordt nu op een bepaalde manier beschreven: ze laten x vast lopen van 0 tot 1 en voor elke x loopt y variabel (in functie van x) van de lijn x tot aan sqrt(x). Je kan het ook omkeren, goed op de tekening te zien: laat dan y vast lopen (van waar tot waar?) en voor elke y, x variabel (in functie van y, van waar tot waar?).

[RaYK]

okay, volledig uitgetekend, als ik het zo bekijk en ondertussen je uitleg lees dan zou ik y vast zetten tussen 0 en 1 en x variabel met boven- en ondergrens x en wortel(x) dus niet enkel de grensen wisselen maar dan ook de boven en ondergrens omdraaien..

klopt dit nu? als je wil kan ik de tekening ook online zetten

[TD]

Niet helemaal: x gaat nu in functie van y lopen. Je moet de verbanden dus omkeren. Voor y = x maakt dat geen verschil, maar y = sqrt(x) levert x = y². Je kan y inderdaad vast laten lopen van 0 tot 1, maar dan loopt voor elke y de x-waarde van y² tot aan y. Probeer dat ook op je tekening in te zien. Het zijn natuurlijk dezelfde krommen, maar je wil nu x in functie van y laten lopen.

Edit: nog even een aanvulling: afbeelding ter verduidelijking (zou op jouw schets moeten lijken, als het goed is ):

RaYK 478 keer bekeken

Rood is y = sqrt(x), of x = y². Blauw is y = x.

In de opgave ging x (vast) van 0 tot 1, voor elke x beweeg je dan omhoog: je komt eerst blauw tegen (y = x) en vandaar begint je integratiegebied, je stopt wanneer je rood tegenkomt (y = sqrt(x)). De y-waarde loopt dus van x tot sqrt(x).

Alternatief: je laat y (vast) lopen van 0 tot 1 (dat is hier toevallig hetzelfde, dat hoeft niet zo te zijn) en voor elke y laat je nu x van links naar rechts lopen. Eerst kom je rood tegen (dat is x = y²), je begint hier en loopt blauw (dat is x = y). De grenzen voor x zijn hier dus van y² tot y.

[RaYK]

aah owkay, dus ik zat er eigelijk niet ver van, gewoon die y = wortel(x) wordt x = y² en x = y ipv y = x..

maar dan vraag ik me eigelijk wel nog altijd af hoe ik nu weet wanneer ik dit moet toepassen.. en hoe ik de integraal sin y / y moet oplossen :s

allesinds bedankt, het is me nu toch al heel wat duidelijker

[jhnbk]

\(\int \frac{\sin x}{x}dx\)

heeft geen primitieve, maar kan voor sommige grenzen wel exact uitgerekend worden

[TD]

maar dan vraag ik me eigelijk wel nog altijd af hoe ik nu weet wanneer ik dit moet toepassen.. en hoe ik de integraal sin y / y moet oplossen :s

Sommige dubbelintegralen kan je gewoon "niet met de hand" uitrekenen, sommige lukken alleen in een bepaalde volgorde, sommige lukken in eender welke volgorde.

Jouw opgave is een voorbeeld van een dubbele integraal die zich niet zomaar in de ene volgorde laat uitrekenen (zoals jhnbk zegt: van sin(y)/y heb je niet zomaar een primitieve), maar wel in de andere. Vandaar dat het hier nuttig is om de volgorde van integratie te wijzigen. Kom je tot een oplossing?