[wiskunde] integralen / integreren

[RaYK]

wel nu ik de grenzen heb aangepast kom ik voor de binnen integraal dit uit:

\(\int_0^1 \frac{\sin y}{y} dy\)

jhnbk zegt iets over exact uitrekenen, maar dan zou ik hier moeten delen door 0 ?

[TD]

Dit is toch niet de volledige integraal? Het was een dubbele integraal...

Het idee was net de volgorde van integratie te verwisselen, je moet nu dus eerst naar x integreren. Dat is ook logisch, in de binnenste integraal staat steeds degene met de variabele grenzen, want na integratie gaat daardoor y terug opduiken in je integraal. Tot slot integreer je dan over y, nu met de vaste grenzen. Dus:

\(\int_0^1 {\int_{y^2 }^y {\frac{{\sin y}}{y} \,\mbox{d}x} \,\mbox{d}y} \)

Het integreren van de binnenste integraal (naar x dus) is nu eenvoudig, want je integrand bevat geen x...

[jhnbk]

ik heb mij weeral eens onduidelijk uitgedrukt.

Voor de grenzen 0 tot oneindig is dit exact te berekenen. Een bewijs staat zeker al ergens op dit forum. Voor grenzen 0 tot 1 is dit niet mogelijk. (althans denk ik)

Je moet het oplossen zoals TD zegt.

[TD]

Voor de grenzen 0 tot oneindig is dit exact te berekenen. Een bewijs staat zeker al ergens op dit forum. Voor grenzen 0 tot 1 is dit niet mogelijk. (althans denk ik)

Inderdaad, maar dat lijkt me voor RaYK (en zijn opgave) niet echt relevant (en eerlijk gezegd allemaal eerder verwarrend als je daar nog niets van weet; maar ik wil RaYK natuurlijk niet onderschatten...).

[RaYK]

ok, dus dan krijg je volgens mij

\(\int_0^1 \int_{y^2}^y \frac{\sin y}{y} dx dy\)

hier moet ik dan dus die breuk sin y / y als een constante beschouwen?

[TD]

Klopt, dus nu gewoon primitiveren naar x (erg eenvoudig) en de grenzen invullen.

[RaYK]

okay

nog 1 iets.. mss wat een domme vraag maar ik zie nu uiteindelijk niet echt goed in waar die sin y / y in héél dit verhaal komt.. als ik nu eens een heel andere functie had geschreven bv.. cos y / y wat zou er dan eigelijk veranderen?? De grafiek word opgebouwd met de voorwaarden x = y en x = y² en hiermee bereken je dan eigelijk het oppervlakte van de ingesloten ruimte tss f(x) = y en f(x) = y² . eerst in x richting en daarna in y richting waardoor je dan uiteindelijk een soort van volume bekomt.. ja toch? maar wat heeft die sin y / y daar nu mee te zien?

[TD]

Je moet hier een onderscheid maken tussen enerzijds de integratiegrenzen voor x en y (deze bepalen het gebied in het vlak waarover je integreert) en de functie die je integreert (over dit gebied). In dit geval integreer je de functie sin(y)/y over het gebied dat je in m'n figuur gearceerd zag. Voor een andere functie, was het verwisselen van de volgorde misschien niet nodig (en kreeg je ook een andere uitkomst). In het speciale geval dat je als functie gewoon "1" neemt, krijg je als resultaat de oppervlakte van het integratiegebied.

[jhnbk]

Je integreert een functie over een oppervlakte. Fysisch stelt dit niet altijd iets voor. In dit geval kan je het als een inhoud zien.

[TD]

Je integreert een functie over een oppervlakte. Fysisch stelt dit niet altijd iets voor. In dit geval kan je het als een inhoud zien.

Detail: je integreert over een gebied, niet over een oppervlakte

Aanvullend voor RaYK: zoals je bij integratie van y = f(x) tussen x = a en x = b, de oppervlakte krijgt van het gebied begrensd door die lijnen x = a, x = b, de x-as en de grafiek van f(x) (negatief aangerekend als het onder de x-as ligt); krijg je hier het volume onder het oppervlak f(x,y) = sin(y)/y, bekeken op het integratiegebied (negatief aangerekend als het onder het xy-vlak ligt).

Als je dit begrijpt, is het nu ook logisch in te zien dat je gewoon de oppervlakte krijgt als je als bijzondere functie f(x,y) = 1 neemt; zoals ik eerder zei. Je bekomt nu namelijk het volume van het lichaam met als grondvlak het integratiegebied en als hoogte 1 (de te integreren functie geeft immers de hoogte), dus dit is ook de oppervlakte.

[RaYK]

aha ik denk dat ik het nu begrijp, dus die sin(y)/y is gewoon de hoogte (of diepte) van het integratie gebied

[Morzon]

Je zou sin(y)/y kunnen interpreteren als dichtheid.

[TD]

aha ik denk dat ik het nu begrijp, dus die sin(y)/y is gewoon de hoogte (of diepte) van het integratie gebied

Inderdaad, zoals je dat ook kan doen bij y = f(x) wanneer je enkelvoudig integreert. Alleen krijg je in dat geval natuurlijk een oppervlakte onder die kromme, terwijl je nu een volume krijgt onder een oppervlak.

[RaYK]

Ok, dus nu terug van de top

\(\int_0^1 \int_{y^{2}}^y \frac{\sin y}{y} dx dy\)

eerst dus die binnen integraal dat is dan

\(\int_{y^{2}}^y \frac{\sin y}{y} dx = (\frac{\sin y}{y}\cdot y - \frac{\sin y}{y}\cdot y^2)\)

dit wordt dan

\(\int_0^1 \frac{\sin y}{y}\cdot y dy - \int_0^1 \frac{\sin y}{y}\cdot y^2 dy\)

als we hier een paar van de y's wegschrappen wordt het dus

\(\int_0^1 \sin y dy - \int_0^1 y\cdot\sin y dy\)

Die eerste integraal is dus doodsimpel, de 2de integraal ga ik adhv partiële integratie oplossen :

\(\int_0^1 y\cdot\sin y dy = y\cdot(- \cos y) + \int \cos y dy = y\cdot(-\cos y)+\sin y + C\)

dus dit wordt dan als eindresultaat

\((-\cos 1 - 1\cdot(-\cos 1)+\sin 1)-(-\cos 0 - 0\cdot(-\cos 0)+sin 0)\)

\((-\cos 1) + \cos 1 + \sin 1 + \cos 0 + \sin 0)\)

iets zegt mij dat dit niet klopt, zit er al een tijdje op te zoeken maar kom altijd op hetzelfde uit.. :s

iemand een idee?

thx,Rayk

[Morzon]

\(\left[-y \cos{y}+\sin{y}\right]_0^1=-1 \cos{1}+\sin{1}=\sin{1}-\cos{1}\)

Verborgen inhoud

\(\left[-y \cos{y}+\sin{y}\right]_0^1=\left( -1 \cos{1}+\sin{1} \right)-\underbrace{\left( -0 \cos{0} +\sin{0} \right)}_{0} \)