[wiskunde] integralen / integreren

[TD]

Een primitieve van sin(y)-y.sin(y) is (y-1)cos(y)-sin(y).

In y = 1 is dus -sin(1), in y = 0 levert dit -cos(0) = -1.

Dus samen (bovengrens min ondergrens): 1-sin(1).

[RaYK]

en dat is dan uiteindelijk hetzelfde resultaat dat ik nu bekom dus

bedankt voor de uitleg en het geduld !

[TD]

Graag gedaan. Onthoud vooral de techniek (via het schetsen van het integratiegebied) en de moraal van het verhaal: soms is een (dubbele) integraal niet uit te werken in de ene volgorde, maar wél in de andere. Succes nog!

[RaYK]

Hey,

ik zit nog met een vraagje ivm een integraal dat ik hier niet opgelost krijg..

\(\int \frac {1}{\sqrt{1+x^3}} dx \)

ik weet dat volgende basisintegraal bestaat

\(\int \frac{1}{\sqrt{a^2 \pm x^2}} dx = \ln | x + \sqrt{x^2 \pm a^2}| + C \)

maar ik weet niet hoe ik tot die basis integraal moet geraken :s

thx,

Rayk

[TD]

Ben je zeker van die opgave, of moet die x³ een x² zijn?

[foodanity]

hoe pak in deze eigenlijk aan?:

\(\int \sqrt {1+x^2}dx\)

ik heb m een keer opgelost door imaginaire getallen te gebruiken, maar dat was niet mijn bedoeling... ik wilde eigenlijk de algemene zien te vinden

[TD]

Heb je al hyperbolische of goniometrische substituties gezien?

[RaYK]

de opgave is in principe

\(f(x,y) = \frac {1}{\sqrt{1+x^3}} dx \)

\(A: x = 0, y = 1, y = \sqrt{x}\)

[foodanity]

Ik weet wel hoe je bijvoorbeeld

\(\int \sqrt {1-x^2}dx\)

oplost, dan stel je x = sin t omdat

\( \sqrt {1-sin (t^2)}dx = cos t \)

Andere substituties heb ik me nog niet aan gewaagd, hyperbolische functies ben ik ook niet bekend mee, ik weet alleen dat het zeg maar sinus, cosinus en tangens en cotangens, etcetera, voor de oplossing

\(x^2 - y^2 = 1\)

zijn.. en dat ze veel met imaginaire getallen te doen hebben.. meer niet

[TD]

de opgave is in principe

\(f(x,y) = \frac {1}{\sqrt{1+x^3}} dx \)

\(A: x = 0, y = 1, y = \sqrt{x}\)

Dat verandert de zaak, anders was het niet zomaar mogelijk.

Integreer in dat geval maar eerst volgens y, daarna naar x...

[TD]

Ik weet wel hoe je bijvoorbeeld

\(\int \sqrt {1-x^2}dx\)

oplost, dan stel je x = sin t omdat

\( \sqrt {1-sin (t^2)}dx = cos t \)

Andere substituties heb ik me nog niet aan gewaagd, hyperbolische functies ben ik ook niet bekend mee, ik weet alleen dat het zeg maar sinus, cosinus en tangens en cotangens, etcetera, voor de oplossing

\(x^2 - y^2 = 1\)

zijn.. en dat ze veel met imaginaire getallen te doen hebben.. meer niet

Als je bekend bent met hyperbolische functies gaat dat wat eenvoudiger, maar gewone goniometrie kan ook. Net zoals je cos²t = 1-sin²t kan uitbuiten voor wortelvormen van 1-x², kan je nu de identiteit sec²t = 1+tan²t uitbuiten voor de wortelvorm van 1+x². Stel dus x = tan(t) enz.

[RaYK]

Dat verandert de zaak, anders was het niet zomaar mogelijk.

Integreer in dat geval maar eerst volgens y, daarna naar x...

de eerste manier dus? maar ik weet niet wat ik moet doen met die

\( \frac {1}{\sqrt{1+x^3}} \)

[jhnbk]

Zoek zelf de grenzen van

\(\int \! \! \int \frac {1}{\sqrt{1+x^3}} dy \, dx\)

en het komt wel in orde dan

[TD]

de eerste manier dus? maar ik weet niet wat ik moet doen met die

\( \frac {1}{\sqrt{1+x^3}} \)

Hiervan bestaat geen "gewone" primitieve (naar x). Gelukkig is het een dubbele integraal, zodat je eerst naar y kan integreren in plaats van naar x. Als je naar y integreert, kan je deze uitdrukking (in x) als een constante beschouwen. Na integratie naar y (grenzen invullen enz.) is de integratie naar x wel mogelijk.

[dirkwb]

Je moet ervan bewust zijn dat bij opgaves met dubbele integralen, grenzen verwisselen altijd een optie is. Als je een integraal niet kan of een makkelijker weg ziet via grenzenverwissling ziet dan moet je die uitvoeren.