[wiskunde] integralen / integreren

[foodanity]

\(\int \sqrt {1+x^2}dx\)

met

\(x = tan (u)\)

\( \frac {dx}{du} = 1+tan^2(u) \Rightarrow dx = 1+tan^2(u) du\)

dan gaat de integraal over in:

\(\int \sqrt {1+tan^2 (u)} \cdot (1+tan^2 (u))du = \int sec (u)sec^2 (u) du = \int sec^3(u)du\)

En nu??? Hoe primitiveer ik die?

[TD]

Ofwel:

\(\sec ^3 x = \frac{{\cos x}}{{\cos ^4 x}} = \frac{{\cos x}}{{\left( {1 - \sin ^2 x} \right)\left( {1 - \sin ^2 x} \right)}}\)

En nu y = sin(x) en breuksplitsen. Dat wordt een beetje werk, maarja...

Ofwel eerst partiële integratie om de macht alvast te verlagen (zie hier), dan hetzelfde trucje (maar korter).

[jhnbk]

Nu merk je ook ineens waarom hyperbolische substitutie handiger is

\(\int \sqrt{1+x^2} dx\)

stel

\(x= \sinh u\)

dan is

\(dx= \cosh u \, du\)

en

\(I= \int \cosh^2 u\, du = \cdots\)

[foodanity]

\(\sec ^3 x = \frac{{\cos x}}{{\cos ^4 x}} = \frac{{\cos x}}{{\left( {1 - \sin ^2 x} \right)\left( {1 - \sin ^2 x} \right)}}\)

Wooh, daar was ik dus never nooit niet opgekomen he .

\(\int \frac{{\cos x}}{{\left( {1 - \sin ^2 x} \right)\left( {1 - \sin ^2 x} \right)}}dx \Rightarrow y = sin (x) \Leftrightarrow dy = cos(x)dx \)

dus:

\(\int \frac {dy}{(1-y^2)(1-y^2)}\)

hoe splits ik deze? Sry, heb nooit breuksplitsen gehad, heb het mezelf een beetje aangeleerd maar bij deze lukt het me niet, omdat er een kwadraat in de noemer staat...

[jhnbk]

\(\frac{1}{(1-y^2)(1-y^2)}= \frac{A}{1+y}+\frac{B}{(1+y)^2}+\frac{C}{1-y}+\frac{D}{(1-y)^2}\)

nu weet je het wel verder zeker?

EDIT: ik schoot een fameuze kemel en heb het even aangepast

[TD]

Je kan het zo doen, maar ik raad de stap met partiële integratie wel aan.

Daarna hou je gewoon de integraal van 1/cos(x) over, dat is al beter te doen.

[dirkwb]

1 605 keer bekeken

[foodanity]

Oke die partiele integratie snap ik, maar nu wil ik ook wel weten hoe het met dat breuksplitsen moet . Kan iemand me zeggen hoe je dat zo doet als jhnbk? Ik kan dat totaal niet zien, is het gewoon een kwestie van vaker hebben gedaan of moet je dit gewoon met inzicht zien?

\(\frac{1}{(1-y^2)(1-y^2)}= \frac{A}{1+y}+\frac{B}{(1+y)^2}+\frac{C}{1-y}+\frac{D}{(1-y)^2}\)

nu weet je het wel verder zeker?

EDIT: ik schoot een fameuze kemel en heb het even aangepast

\(\frac {1}{4} \int \frac {1}{(x+1)^2} - \frac {1}{x-1} + \frac {1}{x+1} + \frac {1}{(x+1)^2}dx\)

en die uitwerken lukt wel..

[TD]

\(\frac {1}{4} \int \frac {1}{(x+1)^2} - \frac {1}{x-1} + \frac {1}{x+1} + \frac {1}{(x+1)^2}dx\)

en die uitwerken lukt wel..

Klopt op een typfoutje na, ergens moet je (x-1)² in de noemer hebben.

Wat begreep je niet aan het voorstel van jhnbk? Dat volgde de algemene regels...

Een noemer van de vorm (x-a)ⁿ laat je n keer voorkomen (alle exponenten van 1 tot en met n), al deze breuken krijgen een constante teller als voorstel (A, B, ...)

Een noemer van de vorm (ax²+bx+c)ⁿ (met b²-4ac<0, anders verder ontbinden) laat je ook n keer voorkomen (alle exponenten van 1 tot en met n), al deze breuken krijgen een lineaire teller als voorstel (Ax+B, Cx+D, ...).

Andere noemers zijn nog te ontbinden naar één van bovenstaande vormen.

[foodanity]

Ik zie niet hoe je dat zo opsplitst in 4 breuken... kijk als er iets staat als:

\(\frac {16x-4}{(2x-3)(5x+6)}\)

dan zie ik dat je

\(\frac {A}{2x-3} en \frac {B}{5x+6}\)

krijgt

Maar met die

\(\frac{1}{(1-y^2)(1-y^2)}\)

zie ik dat dus niet... die algemene regels van breuksplitsen die je voorstelde begrijp ik niet zo goed, hoezo komt er dan een plus bij?

[dirkwb]

\(\frac{1}{1-y^2} = \frac{1}{(1+y)(1-y)} \)

[TD]

Een kwadratische factor mag je alleen zo laten staan als de discriminant kleiner is dan 0. Dat is niet het geval bij 1-y², dus moet je dit nog verder ontbinden in twee lineaire factoren, zoals dirkwb je heeft getoond.

[foodanity]

Die van dirkwb ontbinden lukt wel, maar het probleem is dus dat ik nu daar het kwadraat van moet nemen dus:

\(\frac {1}{4} \cdot (\frac {1}{1+y} + \frac {1}{1-y})^2\)

en dan? Of sla ik nu helemaal de verkeerde richting in?

[TD]

Ontbinden:

\(\frac{1}{{\left( {1 - y^2 } \right)^2 }} = \frac{1}{{\left( {\left( {1 - y} \right)\left( {1 + y} \right)} \right)^2 }} = \frac{1}{{\left( {1 - y} \right)^2 \left( {1 + y} \right)^2 }}\)

Nu heb je twee lineaire factoren in de noemer, beide in het kwadraat. In je voorstel tot splitsing moeten ze dan zowel tot de eerste, als tot de tweede macht voorkomen. Je krijgt dus vier termen, zoals hier.

[foodanity]

En dat was dus die regel waar je het over had? Aha, dan snap ik het denk ik.. maar:

Een kwadratische factor mag je alleen zo laten staan als de discriminant kleiner is dan 0. Dat is niet het geval bij 1-y², dus moet je dit nog verder ontbinden in twee lineaire factoren, zoals dirkwb je heeft getoond.

Waarom is dit zo?

Deze integraal was toch iets lastiger dan ik had gedacht, zonder hyperbolische functies ^^