[wiskunde] integralen / integreren

[TD]

Waarom is dit zo?

Waarom is wat zo?

Dat je dat zo moet doen? Dat is de "regel", anders werkt het breuksplitsen niet.

Of waarom de ontbinding zo is? Werk (1-y)(1+y) terug uit, je zal 1-y² vinden...

Deze integraal was toch iets lastiger dan ik had gedacht, zonder hyperbolische functies ^^

Zoals ik je had gezegd is het hyperbolisch eenvoudiger, maar ook hier kon je je wat werk besparen door eerst die stap met partiële integratie te doen.

[Gerben1974]

Ik heb ook een vraag over een integraal.

Ik heb een functie met als vorm: dy/dx=A+B*y

Zonder die A kan ik hem wel oplossen, maar nu kom ik er niet uit.

Of is hier geen eenduidige oplossing voor? (Het is geen schoolopgave, maar een praktijkvraag.)

[Phys]

als

\(\frac{dy}{dx}=A+By\)

(met

\(A,B\in\rr\)

) dan geldt

\(\int \frac{dy}{A+By}=\int dx\)

Dit is niet zo'n lastige integraal. Je zegt dat als A=0, je de primitieve weet. Nou, de A gooit helemaal geen roet in het eten! Wat is

\(\int \frac{dy}{By}\)

?

[Gerben1974]

Volgens mij is dat 1/B * Ln(y) (+een constante)

[TD]

Als je weet wat substitutie is, stel A+By = z en je zult zien dat het eenvoudig is.

Als dat niet lukt: wat is de afgeleide van 1/B ln(y)? En die van 1/B ln(A+By)...?

[Gerben1974]

Bedankt.

[TD]

Prima! Verder een detail, maar wel van belang als je ooit bepaalde integralen moet doen: de primitieve van 1/x schrijf je beter als ln|x| (+c). Met deze absolute waarde erbij geldt het ook voor negatieve x.

[foodanity]

A+By = z

\(\frac {dz}{dy} = B \Rightarrow \frac {1}{z} dy = \frac {1}{Bz} dz\)

dus integraal gaat over in:

\(\int \frac {1}{Bz} dz = \frac {1}{B} \int \frac {dz}{z}\)

Primitieve:

\( \frac {1}{B} \cdot ln|z| \Rightarrow \frac {ln|z|}{B}\)

Terugsubstitueren:

\( \Rightarrow \frac {ln|A+By|}{B}\)

Klopt dat?

Maar waarom moet die absolute waarde er dan eigenlijk bij? -a voor x is toch niet hetzelfde als x is a in dit geval? Waarom wel?

[TD]

(...)

Klopt dat?

Dat klopt (plus nog de integratieconstante).

Maar waarom moet die absolute waarde er dan eigenlijk bij? -a voor x is toch niet hetzelfde als x is a in dit geval? Waarom wel?

De functie ln(x) bestaat alleen voor x>0. Maar de functie 1/x, bestaat ook voor x<0. De primitieve daarvan is ln(-x), je kunt dit handig samennemen door ln|x| als primitieve te schrijven voor 1/x (voor alle x behalve 0).

[foodanity]

Enig idee hoe ik deze doe:

\( \int \frac {ln (x)}{\sqrt x}dx\)

?

[dirkwb]

Partieel integreren.

[foodanity]

Hmm, oke eerste keer dat ik nu zelf ga proberen partieel te integreren (wel gezien hoe het moest, maar nooit zelf gedaan):

\( \int \frac {ln (x)}{\sqrt x}dx\)

Regel:

\(\int u\, dv=uv-\int v\, du.\!\)

\(u = ln x\)

--------------

\(dv = x^{-\frac {1}{2}}\)

\(du = 1/x \)

------- ----

\( v = 2 \sqrt x \)

\( \int \frac {ln (x)}{\sqrt x}dx = 2 \sqrt x \cdot ln (x) - \int \frac { 2 \sqrt x}{x}dx\)

\(\int \frac { 2 \sqrt x}{x}dx = 2 \int x^{-\frac {1}{2}}dx \Rightarrow 4 \sqrt x\)

\(2 \sqrt x \cdot ln (x) - 4 \sqrt x = 2 \sqrt x (ln (x) - 2)\)

Dus:

\( \int \frac {ln (x)}{\sqrt x}dx\)

=

\(2 \sqrt x \cdot ln (x) - 4 \sqrt x = 2 \sqrt x (ln (x) - 2)\)

Klopt het zo een beetje?

[dirkwb]

Volgens mij wel.

[Phys]

Perfect!

[TD]

Als je ooit je resultaat wil controleren, kan je deze site ook gebruiken.