[wiskunde] integralen / integreren

[RaYK]

qua integratie zou dat toch goed moeten lukken via substitutie, mss dat ik dit eerst eens probeer

[dirkwb]

Substitutie? Dat lijkt me niet nodig, deze kan je direct integreren.

[RaYK]

met substitutie kom ik tot

\(\int \cos(2\omega t) dt\)

sub

\(u =2 \omega t \)

\(du = d(2\omega t) = \frac {1}{2\omega}du\)

\(\frac{1}{2\omega}\int \cos(u)du = \frac{\sin(2\omega t)}{2\omega} + C\)

[foodanity]

Als je substitutie toepast zie je dat bijvoorbeeld:

\(\int \sin ({ax+b})dx\)

met

\(u=ax+b \Rightarrow \frac {du}{dx} = a\)

en dus is

\(dx=\frac {1}{a}du\)

En dat geldt dus voor alles waar de afgeleide een constante is, en dus geen variabele erbij staat.



Edit: Wat je hierboven doet klopt!!

[RaYK]

ik heb alles nog eens nagerekend en het klopt nu, ik heb de oplossing ook staan op de volgende pagina: Wikipedia: RMS

maar ik reken het liever zelf uit, zo train ik mijn integralen tegelijkertijd. Kan er mij mss wel iemand uitleggen waarom ze daar op die pagina Ip omdat het een positieve constante is helemaal vooraan schrijven? zelf voor de wortel?

Ik begrijp dat een constante in een integraal, voor de integraal dus buiten de integraal mag geschreven worden, wat ik niet begrijp is dat als de integraal onder een wortel staat, dat je dan die constante ook voor die wortel mag schrijven ?? :s

thx,

Rayk

[TD]

Die Ip staat onder de wortel in het kwadraat, dus komt gewoon als Ip buiten de wortel (want positief).

[Safe]

Hoi

wie kan mij helpen met deze integraal:

\(\int_{0}^{\infty} \frac{x}{e^x - 1} dx\)

Dankje!!

Stel een nieuwe var y=e^x-1, denk aan je grenzen.

[kirsten2]

dan bekom ik:

\(\int_{0}^{\infty} \frac{\log{y+1}}{y(y+1)} dy\)

en kan ik weer niet verder

Nogmaals bewerkt. Je moet tex-haken voor en achter je code zetten! Dus:

Code: Selecteer alles

[tex]\int_{0}^{\infty} \frac{\log{y+1}}{y(y+1)} dy[/tex]

-Phys-[/size]

[/color]

[dirkwb]

\(\int_{0}^{\infty}\frac{x}{e^x-1}dx=\int_{0}^{\infty}\frac{x e^{-x}}{1-e^{-x}}dx=\)

Nu is

\(\frac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty}u^n\)

en volgt er

\(\frac{1}{1-e^{-x}}=\sum_{n=0}^{\infty}(e^{-x})^n\)

Dus is de integraal:

\(\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}x e^{-x(1+n)}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{\pi^2}{6}\)

[foodanity]

Ik zit met een probleem:

\(\int _{- \infty}^{\infty} \frac {1 + x}{1+x^2}dx\)

Ik heb deze berekend door:

\(\int _{- \infty}^{\infty} \frac {1 + x}{1+x^2}dx\)

=

\(\lim _{t \to \infty}\int _{-t}^{t} \frac {1 + x}{1+x^2}dx\)

Met partiele integratie krijg je:

\(\int \frac {1+x}{1+x^2}dx\)

\(u = 1+x\)

------------

\(dv = \frac {1}{1+x^2} dx\)

\(du = dx\)

-------------

\(v = \arctan (x)\)

\(\int \frac {1+x}{1+x^2}dx = \arctan (x) + x \arctan (x) - \int \arctan (x) dx\)

dan de standaard primitieve van (desnoods ook met partiele integratie):

\(\int \arctan (x)dx\)

\(= x \arctan (x) - {1 \over 2} \ln \left( 1 + x^2 \right) + C\!\)

dus:

\(\int \frac {1+x}{1+x^2}dx\)

=

\( \arctan (x) + {1 \over 2} \ln \left( 1 + x^2 \right) + C\!\)

en nu:

\(\lim_{t \to \infty} (\arctan (t) + {1 \over 2} \ln \left( 1 + t^2 \right)) - (\arctan (-t) + {1 \over 2} \ln \left( 1 + (-t)^2 \right))\)

\({1 \over 2} \pi + \lim_{t \to \infty} {1 \over 2} \ln \left( 1 + t^2 \right)) + {1 \over 2}\pi - \lim_{t \to \infty} {1 \over 2} \ln \left( 1 + t^2 \right))\)

en dat is gelijk aan

\(\pi\)

dus:

\(\int _{- \infty}^{\infty} \frac {1 + x}{1+x^2}dx = \pi\)

Echter, volgens het antwoordenboek moet het geen pi, maar oneindig zijn. Hoe zit dat?

[stoker]

\(\int _{- \infty}^{\infty} \frac {1 + x}{1+x^2}dx\)

=

\(\lim _{t \to \infty}\int _{-t}^{t} \frac {1 + x}{1+x^2}dx\)

ik weet niet of je antwoord hierdoor fout is, maar dit mag je niet doen, als de limiet bestaat moet die bestaan voor elke opvulling van de reele as, boven en ondergrens moeten dus onafhankelijk van elkaar naar oneinig naderen

[TD]

Dat ligt aan de definitie van de oneigenlijke integraal, het is niet:

\(\int_{ - \infty }^{ + \infty } f = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \int_{ - t}^t f \)

,

maar wel:

\(\int_{ - \infty }^{ + \infty } f = \int_{ - \infty }^a f + \int_a^{ + \infty } f = \mathop {\lim }\limits_{s \to - \infty } \int_s^a f + \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \int_a^t f \)

,

waarbij a een reëel getal is. Je krijgt dus twee limieten en het resultaat is in dit geval onbepaald: de integraal bestaat niet.

Jouw manier (die ik hier als eerst gaf) bestaat ook en wordt de "(Cauchy) hoofdwaarde" genoemd, in dit geval inderdaad pi.

[TD]

Het centraliseren van alle vragen in verband met integralen in deze topic had voor- en nadelen. Onlangs hebben we besloten deze topic te sluiten en vanaf nu verder te gaan met afzonderlijke topics, zoals voor overige huiswerkvragen het geval is.

Vooral het zoeken naar een bepaalde vraag/integraal is erg onhandig in zo'n grote topic en het overzicht geraakt ook vaak verloren, wanneer er bijvoorbeeld verschillende vragen door elkaar werden gesteld.

Nieuwe vragen kunnen vanaf nu in aparte topics gesteld worden, deze topic wordt gesloten en behouden als archief.