Allerlei tensor-vragen

[HansH]

Ik denk dan eerder aan algebraïsche berekeningen ipv visualisaties.

kun je dat eens met de meest simpele berekening laten zien wat kromming nu eigenlijk is?
stel ik heb een 3D ruimte die niet gekromd is. Dat is de standaard manier waarop we normaal met x,y en z coordinaten werken. en nu ga je die ruimte krommen. Hoe kan ik dat dan zien? Je kunt een krom coordinaten stelsel kiezen maar dat maakt de ruimte nog niet gekromd. of betekent het dat je die 3 D ruimte dan gaat indrukken als een soort schuimrubber waardoor je rechte coordinatenstelsel er dan dus krom uit gaat zien?

[wnvl1]

Je neemt een 3+1D ruimte die vlak is. De gebruikte coördinaten kunnen bvb sferisch zijn. Je gebruikt de desbetreffende metriek.

$$ds^2=-c^2 dt^2+dx^2+dy^2+dz^2= dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta\,d\phi^2=
g_{ij}d\xi_id\xi_j$$

Je kiest willekeurig 2 vectoren A en B. Je parallel transporteert een derde vector C over het parallellogram gevormd door A en B. Je gaat zien dat je de parallel getransporteerde C en de originele C gelijk zijn.

Doe dezelfde oefening opnieuw met de Schwarzschild metriek en je komt niet twee keer hetzelfde uit.
Dat is kromming.

Eerste stap is wel leren werken met Christoffel symbolen en covariante afgeleiden, anders lukt zo'n oefening niet.

[HansH]

Je neemt een 3+1D ruimte die vlak is. De gebruikte coördinaten kunnen bvb sferisch zijn. Je gebruikt de desbetreffende metriek.

$$ds^2=-c^2 dt^2+dx^2+dy^2+dz^2= dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta\,d\phi^2=
g_{ij}d\xi_id\xi_j$$

Je kiest willekeurig 2 vectoren A en B. Je parallel transporteert een derde vector C over het parallellogram gevormd door A en B. Je gaat zien dat je de parallel getransporteerde C en de originele C gelijk zijn.

Doe dezelfde oefening opnieuw met de Schwarzschild metriek en je komt niet twee keer hetzelfde uit.
Dat is kromming.

Eerste stap is wel leren werken met Christoffel symbolen en covariante afgeleiden, anders lukt zo'n oefening niet.

Je stapt halverwege in volgens mij net zoals vele anderen en daarom begrijpen mensen het niet. Het gaat juist om de stappen vanaf het begin. Dus uitgelegd voor iemand die niet weet wat metriek is, wat parallel transport is en Schwarzschild metriek.

[HansH]

Je neemt een 3+1D ruimte die vlak is.

De vraag was juist om uit te leggen wat vlak en niet vlak is en liefst in 2d of 3d om het niet onnodig ingewikkeld te maken. Jij begint nu bij de uitkomst nl het nemen van een vlakke ruimte als start, terwijl je daarvoor al moet begrijpen wat vlak en niet vlak is. Dus dan moet je beginnen met iets waar de term vlak of niet vlak nog niet in voorkomt.

[Gast]

Maar je kunt toch in dat filmpje van Eugene Ku-toryanski zien wat vlak is en niet.

Het zijn daar oneindig veel kleine inertiaalstelsel, dus vlakke ruimtetijden met Minkowski metriek. Maar globaal is het nergens vlak en gelden er andere metrieken. (Eigenlijk is nergens de ruimtetijd helemaal vlak, maar kan voor voldoende kleine inertiaalstelsel of ver van zwaartekrachtsbronnen verwaarloosd worden.)

Die visualisaties kunnen (tot zover) idd handig zijn, maar ook "gevaarlijk" voor hardnekkige misvattingen en "tot zover" omdat heel veel nu eenmaal niet te visualiseren valt. Vandaar dat Flappelap zegt "algabraïsche berekening ipv visualisaties" (?). (Veel fysici zijn er nogal op tegen of raden het sterk af, die YouTube video's over moderne fysica. Niet allemaal en ik totaal niet, maar ik begrijp dat wel.)

Maar wat er "gekromd" wordt (en dus niet vlak is) is simpelweg ruimte en/of tijd en wordt er meestal gesproken van gekromde ruimtetijd: voor de uitdijing van het heelal enkel ruimte, FLRW metriek/ruimtetijd .. misschien ook handig om te lezen over een negatief, positief en vlak heelal. En voor zwaartekracht in het Newtoniaanse limiet (zwakke zwaartekrachtsvelden (niet rond zwarte gaten en neutronensterren) en lage snelheden (geen relativistische) speelt alleen de "tijd-kromming" (gravitionele tijd dilatatie) een rol.

Naja, hopelijk voegt dit wat toe. Ik heb het hele topic niet gevolgd .. misschien later.

[Math-E-Mad-X]

Je neemt een 3+1D ruimte die vlak is.

De vraag was juist om uit te leggen wat vlak en niet vlak is en liefst in 2d of 3d om het niet onnodig ingewikkeld te maken.

Een 'vlakke ruimte' is een ruimte waarin de gebruikelijke meetkundige formules die je op school geleerd hebt correct zijn. Oftewel, een ruimte waarin, bijvoorbeeld, de omtrek van een cirkel wordt gegeven door \(2\cdot \pi \cdot r\) en de oppervlakte door \(\pi \cdot r^2\).

In een ruimte die niet vlak is, gelden deze formules niet.

(dit is natuurlijk heel kort door de bocht allemaal, maar dit is de simpelste manier waarop ik het kan uitleggen).

[Professor Puntje]

Vriendelijk verzoek aan HansH om zijn heilloze zoektocht naar een eenvoudige huis-tuin-en-keuken uitleg van de gekromde ruimtetijd en van de ART in een ander eigen topic voort te zetten. Dit topic heb ik specifiek gestart voor vragen over tensoren en hoe je daarmee rekent.

[HansH]

Vriendelijk verzoek aan HansH om zijn heilloze zoektocht naar een eenvoudige huis-tuin-en-keuken uitleg van de gekromde ruimtetijd en van de ART in een ander eigen topic voort te zetten. Dit topic heb ik specifiek gestart voor vragen over tensoren en hoe je daarmee rekent.

Mijn doel was juist om jou te helpen aan methoden te komen om het wel te kunnen begrijpen oa het begrip parallel transport zonder een vlak te moeten buigen naar een hogere dimensie wat een punt dat van jou afkwam. Dus als jij nu de eerste bent die dat niet handig vindt dan ben ik natuurlijk snel klaar.

[Professor Puntje]

Ik begrijp wat het betekent om het coördinatenstelsel op een manifold te verschuiven, maar wat betekent het om een punt van de manifold zelf te verplaatsen? En meer bepaald voor de ruimtetijd manifold, ten opzichte waarvan wordt een punt (= gebeurtenis) van die manifold dan verplaatst?

[wnvl1]

Je neemt een 3+1D ruimte die vlak is. De gebruikte coördinaten kunnen bvb sferisch zijn. Je gebruikt de desbetreffende metriek.

$$ds^2=-c^2 dt^2+dx^2+dy^2+dz^2= dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta\,d\phi^2=
g_{ij}d\xi_id\xi_j$$

Je kiest willekeurig 2 vectoren A en B. Je parallel transporteert een derde vector C over het parallellogram gevormd door A en B. Je gaat zien dat je de parallel getransporteerde C en de originele C gelijk zijn.

Doe dezelfde oefening opnieuw met de Schwarzschild metriek en je komt niet twee keer hetzelfde uit.
Dat is kromming.

Eerste stap is wel leren werken met Christoffel symbolen en covariante afgeleiden, anders lukt zo'n oefening niet.

Je stapt halverwege in volgens mij net zoals vele anderen en daarom begrijpen mensen het niet. Het gaat juist om de stappen vanaf het begin. Dus uitgelegd voor iemand die niet weet wat metriek is, wat parallel transport is en Schwarzschild metriek.

Maar dat is niet te beantwoorden in een post. Je bekijkt dan best in een ART boek de eerste 50 blz over tensoren, metrieken, Christoffelsymbolen, connecties en covariante afgeleiden eerst. En stelt daarover specifieke vragen in aparte topics. Het eerste deel van een klassiek ART boek is eigenlijk het antwoord op jouw vraag. Je kan in een post nog wel de ideeën achter kromming wergeven in woorden, maar niet alle wiskunde stap voor stap uitleggen. Daarvoor zijn er boeken.

[HansH]

[
Maar dat is niet te beantwoorden in een post. Je bekijkt dan best in een ART boek de eerste 50 blz over tensoren, metrieken, Christoffelsymbolen, connecties en covariante afgeleiden eerst. En stelt daarover specifieke vragen in aparte topics. Het eerste deel van een klassiek ART boek is eigenlijk het antwoord op jouw vraag. Je kan in een post nog wel de ideeën achter kromming wergeven in woorden, maar niet alle wiskunde stap voor stap uitleggen. Daarvoor zijn er boeken.

Misschien vraag ik inderdaad te veel. Maar ik begreep dat professor puntje inmiddels een hele kast vol heeft met die boeken en er ook niet veel verder mee komt. Dat motiveert mij niet echt om voor de hobby dat traject te gaan herhalen. Dus ik hoop op wat antwoorden die verhelderend werken.

[Professor Puntje]

@HansH

Ik kom wel verder, maar het gaat langzaam en het is héél zwaar werk. Ik herinner mij nog in mijn eerste jaar op de universiteit aan de prof gevraagd te hebben wanneer we de ART gingen behandelen. Zijn antwoord was dat dat voor ons als eerstejaars nu nog veel te moeilijk was en dat de ART misschien veel later als we een jaar of drie á vier verder waren pas aan bod zou komen. Dat geeft een indruk van de moeilijkheidsgraad van die theorie.

Wat wel redelijk te doen is dat is Taylor & Wheeler Exploring Black Holes waar we je al vaker naar verwezen hebben. Dat boek gebruikt geen tensoren en zou voor iemand met een wiskundeknobbel en een opleiding op minimaal VWO niveau te doen moeten zijn.

[wnvl1]

[
Maar dat is niet te beantwoorden in een post. Je bekijkt dan best in een ART boek de eerste 50 blz over tensoren, metrieken, Christoffelsymbolen, connecties en covariante afgeleiden eerst. En stelt daarover specifieke vragen in aparte topics. Het eerste deel van een klassiek ART boek is eigenlijk het antwoord op jouw vraag. Je kan in een post nog wel de ideeën achter kromming wergeven in woorden, maar niet alle wiskunde stap voor stap uitleggen. Daarvoor zijn er boeken.

Misschien vraag ik inderdaad te veel. Maar ik begreep dat professor puntje inmiddels een hele kast vol heeft met die boeken en er ook niet veel verder mee komt. Dat motiveert mij niet echt om voor de hobby dat traject te gaan herhalen. Dus ik hoop op wat antwoorden die verhelderend werken.

Tot het concept van gekromde ruimten geraken is wel goed te doen hoor. Metrieken, Christoffelsymbolen, covariante afgeleiden, gekromde ruimten valt nog wel mee. Dat moet te doen zijn binnen een hele redelijke tijd. Ik spreek dan wel voor iemand die de klassieke differentiaalrekening wat beheerst. Het is eerder verderop dat het lastiger wordt, vind ik.

[Gast]

@HansH

Wat wel redelijk te doen is dat is Taylor & Wheeler Exploring Black Holes waar we je al vaker naar verwezen hebben. Dat boek gebruikt geen tensoren en zou voor iemand met een wiskundeknobbel en een opleiding op minimaal VWO niveau te doen moeten zijn.

Ja en een goede basis daarvoor is dan "spacetime physics" van dezelfde auteurs:

https://www.eftaylor.com/spacetimephysics/

(En eventueel een basis daar weer voor "Epstein Explains Einstein" en het boek wat daarbij hoort.)

Maar neem vooral je tijd daarmee is mijn advies.

[flappelap]

Ik begrijp wat het betekent om het coördinatenstelsel op een manifold te verschuiven, maar wat betekent het om een punt van de manifold zelf te verplaatsen? En meer bepaald voor de ruimtetijd manifold, ten opzichte waarvan wordt een punt (= gebeurtenis) van die manifold dan verplaatst?

Voor nu even een snelle reactie:

https://plato.stanford.edu/entries/spacetime-holearg/

In mijn boek behandel ik dit ook in hst 7.