Kettingfontein (bead chain phenomenon)

[Bartjes]

Aangezien de bolletjes hol zijn, zullen we daarvoor eerder met buiging dan met rek te maken hebben. Een lastig geval.

Een andere mogelijkheid is dat we k uitrekenen voor het geval dat de nieuwe waarde van F_A gelijk is aan 2 keer de oude waarde van F_A. Daarvoor hebben we al genoeg gegevens. Wanneer daar dan een absurde waarde voor k uit komt weten we dat ook deze aanpak geen verklaring biedt voor de precieze hoogte van het boogje.

[Bartjes]

Volgens berichtje #190 hebben we voor 2 maal de oude waarde van F_A :

λ₀ . v₀².

Laten we k in de situatie dat de nieuwe waarde van F_A gelijk is aan 2 keer de oude waarde van F_A voor de duidelijkheid k₂ noemen.

De formule uit berichtje #189 gaat dan over in:

\( \left ( \frac{\mbox{v}_0^2 \lambda_0^2 }{ \mbox{k}_2^2 \mbox{m}^2 } \, - \, \frac{1}{ \mbox{k}_2 \, \mbox{m} } \right ) . \, ( \lambda_0 . \mbox{v}_0^2 )^2 \,\, + \left ( \frac{2 \mbox{v}_0^2 \, \lambda_0 }{ \mbox{k}_2 \, \mbox{m} } \, - \, \frac{2}{\lambda_0 } \right ) . \lambda_0 . \mbox{v}_0^2 \,\, + \,\, \mbox{v}_0^2 \,\, = \,\, 0 \)

\( \left ( \frac{\mbox{v}_0^2 \lambda_0^2 }{ \mbox{k}_2^2 \mbox{m}^2 } \, - \, \frac{1}{ \mbox{k}_2 \, \mbox{m} } \right ) . \, ( \lambda_0 . \mbox{v}_0 )^2 \,\, + \left ( \frac{2 \mbox{v}_0^2 \, \lambda_0 }{ \mbox{k}_2 \, \mbox{m} } \, - \, \frac{2}{\lambda_0 } \right ) . \lambda_0 \,\, + \,\, 1 \,\, = \,\, 0 \)

\( \left ( \frac{\mbox{v}_0^4 \lambda_0^4 }{ \mbox{k}_2^2 \mbox{m}^2 } \, - \, \frac{\mbox{v}_0^2 \lambda_0^2}{ \mbox{k}_2 \, \mbox{m} } \right ) \,\, + \left ( \frac{2 \mbox{v}_0^2 \, \lambda_0^2 }{ \mbox{k}_2 \, \mbox{m} } \, - \, 2 \right ) \,\, + \,\, 1 \,\, = \,\, 0 \)

\( \frac{\mbox{v}_0^4 \lambda_0^4 }{ \mbox{k}_2^2 \mbox{m}^2 } \, + \frac{ \mbox{v}_0^2 \, \lambda_0^2 }{ \mbox{k}_2 \, \mbox{m} } \, - \, 1 \,\, = \,\, 0 \)

\( \left ( \frac{\mbox{v}_0^2 \lambda_0^2 }{ \mbox{k}_2 \mbox{m} } \right )^2 \, + \frac{ \mbox{v}_0^2 \, \lambda_0^2 }{ \mbox{k}_2 \, \mbox{m} } \, - \, 1 \,\, = \,\, 0 \)

\( \left ( \frac{\mbox{v}_0^2 \lambda_0^2 }{ \mbox{k}_2 \mbox{m} } \,\, + \,\, \frac{1}{2} \right )^2 \,\, - \,\, \frac{5}{4} \,\, = \,\, 0 \)

\( \left ( \frac{\mbox{v}_0^2 \lambda_0^2 }{ \mbox{k}_2 \mbox{m} } \,\, + \,\, \frac{1}{2} \right )^2 \,\, = \,\, \frac{5}{4} \)

\( \frac{\mbox{v}_0^2 \lambda_0^2 }{ \mbox{k}_2 \mbox{m} } \,\, + \,\, \frac{1}{2} \,\, = \,\, \sqrt{ \frac{5}{4}} \,\,\,\,\,\,\, \mbox{ (alleen de positieve oplossing is fysisch mogelijk)} \)

\( \frac{\mbox{v}_0^2 \lambda_0^2 }{ \mbox{k}_2 \mbox{m} } \,\, = \,\, - \frac{1}{2} \, + \, \frac{1}{2} \sqrt{5} \)

\( \frac{\mbox{v}_0^2 \lambda_0^2 }{ \mbox{k}_2 \mbox{m} } \,\, = \,\, \left ( \frac{1}{2} \, + \, \frac{1}{2} \sqrt{5} \right ) \,\, - \,\, 1 \)

\( \frac{\mbox{v}_0^2 \lambda_0^2 }{ \mbox{k}_2 \mbox{m} } \,\, = \,\, \varphi \, - \, 1 \)

\( \frac{\mbox{v}_0^2 \lambda_0^2 }{ \mbox{k}_2 \mbox{m} } \,\, = \,\, \frac{1}{\varphi} \)

\( \frac{\mbox{v}_0^2 \lambda_0^2 }{ \mbox{m} } \,\, = \,\, \frac{ \mbox{k}_2}{\varphi} \)

\( \mbox{k}_2 \, = \, \varphi . \frac{\mbox{v}_0^2 \lambda_0^2 }{ \mbox{m} } \)

.

[Bartjes]

Met:

v₀ = 3 m/s ,

λ₀ = 13 . 10^-3 kg/m ,

m = 66 . 10^-6 kg ,

komt er:

\( \mbox{k}_2 \, = \, \varphi . \frac{\mbox{v}_0^2 \lambda_0^2 }{ \mbox{m} } \)

\( \mbox{k}_2 \, = \, 1,618... \,\, . \frac{( 3 \, \mbox{m} \, \mbox{s}^{-1} )^2 ( 13 \, . 10^{-3} \, \mbox{kg} \, \mbox{m}^{-1} )^2 }{ 66 \, . 10^{-6} \, \mbox{kg} } \)

\( \mbox{k}_2 \, = \, 37,3 \,\,\, \frac{ \mbox{m}^2 \, \mbox{s}^{-2} \, \mbox{kg}^2 \, \mbox{m}^{-2} }{ \mbox{kg} } \)

\( \mbox{k}_2 \, = \, 37,3 \,\,\, \mbox{kg} \,\, \mbox{s}^{-2} \)

\( \mbox{k}_2 \, = \, 37,3 \,\,\, \mbox{kg} \,\, \mbox{m} \,\, \mbox{s}^{-2} \, \mbox{m}^{-1} \)

\( \mbox{k}_2 \, = \, 37,3 \,\,\, \frac{\mbox{N}}{\mbox{m}} \)

.

Deze waarde lijkt mij onrealistisch klein. Ook langs deze weg komen we niet verder. Ik laat dit topic (voorlopig) verder rusten. Mijn ideeën zijn uitgeput.

[317070]

Toevallig dit tegengekomen waarbij ze hetzelfde effect krijgen door 'spul' aan water toe te voegen zodat het sneller kan stromen: de kralen zijn dus niet essentieel in het verhaal, maar toch werkt het niet met alles.

Als ik het goed begrijp zou het dus te maken met de lage viscositeit en wrijving van de kralenketting?

[Bartjes]

@ 317070

Ik zie daar alleen de hevelwerking, en niet het opwaartse boogje. Zolang het spul niet "breekt" moet het door het verstoorde evenwicht wel uit de beker blijven stromen. Hoe komen we daar verder mee?

[Esthetisch]

Leuk experiment dit.

Moet de verklaring niet gewoon gezocht worden op de plaats waar de ketting de grond raakt? Op het bolletje dat op de grond ligt werkt voornamelijk alleen de zwaartektacht. Weliswaar werkt het bolletje dat nog in de lucht hangt dankzij de stijfheid van de letting ook een kracht uit op het bolletje op de grond, maar omdat het bolletje in de lucht nog 'vrij' of 'weerstandsloos' kan bewegen in de x-richting, zal die actie/reactiekracht vooral effect hebben op het nog vrije bolletje self, en minder op het bolletje op de grond.

Dit betekent dus dat het bolletje op de grond een kracht uitoefent op het bolletje dat nog zweeft. Die kracht werkt zich door telkens actie\reactie tussen 2 zwevende bolletjes naar boven toe, binnen de jetting zelf kan het zn kracht niet genoeg kwijt. Boven vindt vervolgens een richtingsveracndering plaats waardoor de kracht eindelijk zijn effect kan uitoefenen door de bolletjes iets omhoog Te duwen. De cirkelstraal is dan een bijgevolg van de inwendige krachtenverdeling en stijfheid.

Kronkels in de ketting aan de potkant zouden de stijghoogte dan weer iets minder maken, omdat ze de ketting meer gewicht geven en de opwaardse kracht van de bolletjes aan de grondkant weer teniet doen.

Snijdt dit hout?

[Bartjes]

Dit betekent dus dat het bolletje op de grond een kracht uitoefent op het bolletje dat nog zweeft. Die kracht werkt zich door telkens actie\reactie tussen 2 zwevende bolletjes naar boven toe, binnen de jetting zelf kan het zn kracht niet genoeg kwijt. Boven vindt vervolgens een richtingsveracndering plaats waardoor de kracht eindelijk zijn effect kan uitoefenen door de bolletjes iets omhoog Te duwen. De cirkelstraal is dan een bijgevolg van de inwendige krachtenverdeling en stijfheid.

Of dat klopt weet ik niet, maar het zou wel andere (betere?) formules en uitkomsten opleveren. Tot nu toe ben ik er vanuit gegaan dat de kralenketting alleen trekkrachten en geen drukkrachten kan doorgeven. Wat zou volgens jou dan de snelheid van de ketting moeten zijn? Dan kunnen we kijken of dat overeenkomt met de video's.

Vraag: moet de "inslagkracht" van de op de grond neerkomende ketting gelijk zijn aan het gewicht van het "in de lucht hangende deel" van de ketting?

[Michel Uphoff]

Snijdt dit hout?

Dat zou als resultaat hebben, dat zolang de bolletjes de grond nog niet raken er geen boog kan zijn.

Dat is niet wat waargenomen wordt.

[Bartjes]

Dat zou als resultaat hebben, dat zolang de bolletjes de grond nog niet raken er geen boog kan zijn.

Dat is niet wat waargenomen wordt.

Het zou kunnen zijn dat de vorm van de boog mede afhankelijk is van de "inslagkracht". Maar sowieso heb je nog geen stabiele situatie zolang de ketting de grond nog niet raakt.

[Michel Uphoff]

Dat laatste ben ik met je eens. Zolang het vallende deel van de ketting groter wordt, neemt de valsnelheid toe.

Met toenemende valsnelheid neemt ook de booghoogte toe.

Nadat het eerste bolletje de grond raakt, begint de boog te stabiliseren.

Beide waarnemingen lijken mij in tegenspraak met die drukkrachthypothese.

[Bartjes]

Beide waarnemingen lijken mij in tegenspraak met die drukkrachthypothese.

Ik vind het ook een vreemde gedachte dat de kralenketting een drukkracht zou kunnen doorgeven, en ik ben daar in mijn formules ook niet vanuit gegaan. Dat neemt niet weg dat er een verband zou kunnen bestaan tussen de "inslagkracht" en het gewicht van het vliegende deel van de ketting. Als zo is, zou dat wellicht een eenvoudige schatting van de hoogte van het boogje mogelijk kunnen maken. Maar op het moment zie ik nog hoe je dat zou moeten aanpakken en onderbouwen.

Wellicht moet je uitgaan van het zwaartepunt van het gehele toestel, en de krachten op de twee bakjes?

[Esthetisch]

Of dat klopt weet ik niet, maar het zou wel andere (betere?) formules en uitkomsten opleveren. Tot nu toe ben ik er vanuit gegaan dat de kralenketting alleen trekkrachten en geen drukkrachten kan doorgeven. Wat zou volgens jou dan de snelheid van de ketting moeten zijn? Dan kunnen we kijken of dat overeenkomt met de video's.

De snelheid van de ketting daar zou ik even over na moeten denken. Wat ik wel kan zeggen is dat de stijging van de boog t.o.v. het glas evenredig is aan het deel dat op de grond ligt min de kronkels tussen de pot en de boog. De snelheid van de ketting zou denk ik iets lager moeten worden op het vallende deel. Waarschijnlijk heb je door de wisselwerking tussen bolletjes voor 1 specifiek bolletje niet 1 snelheid, maar 2, namelijk een snelheid als gevolg van trekkrachten, en een snelheid als gevolg van drukkachten. Trekkrachten zijn in principe continu, drukkrachten zijn er 1 voor 1. Maar belangrijker: de trekkrachten kunnen ook bij de boog gewoon doorgang vinden, terwijl de drukkrachten door de richtingsverandering niet meer door de ketting naar de pot verplaatst/overgedragen kunnen worden.

Vraag: moet de "inslagkracht" van de op de grond neerkomende ketting gelijk zijn aan het gewicht van het "in de lucht hangende deel" van de ketting?

Het is dus niet zozeer de inslagkracht, maar eerder de tegenwerkende kracht van het bolletje dat al op de grond ligt. Die tegenwerkende kracht kan alleen plaatsvinden door de opvallende opbouw/stijfheidsverdeling van zo’n specifieke ketting.

[Bartjes]

Het is dus niet zozeer de inslagkracht, maar eerder de tegenwerkende kracht van het bolletje dat al op de grond ligt. Die tegenwerkende kracht kan alleen plaatsvinden door de opvallende opbouw/stijfheidsverdeling van zo’n specifieke ketting.

Wat zou er volgens jou gebeuren met een kralenketting waarvan de kralen met buigzame (dus niet-stijve) touwtjes aan elkaar zitten?

[Bartjes]

Wellicht moet je uitgaan van het zwaartepunt van het gehele toestel, en de krachten op de twee bakjes?

Als op een samengesteld mechanisch systeem (zoals de opstelling van dit topic) met totale massa m een resulterende kracht F werkt, geldt dan voor de versnelling a van het zwaartepunt van dat systeem dat F = m.a ? Zo ja - dan kunnen we eraan rekenen.

[Bartjes]

Even een plaatje voor de duidelijkheid:

ketting-i 674 keer bekeken

Hierin is:

m_A = de massa van het deel van de ketting dat nog in bakje A ligt.

m_B = de massa van het deel van de ketting dat al in bakje B ligt.

m_v = de massa van het deel van de ketting dat zich (door de lucht) van bakje A naar bakje B begeeft.

N_A = de normaalkracht die het bakje A op zijn plaats houdt.

N_B = de normaalkracht die het bakje B op zijn plaats houdt.

F_i = de inslagkracht van de in bakje B neerkomende ketting.

(Voor het gemak nemen we aan dat de bakjes A en B zelf nagenoeg niets wegen.)