Twee pieken of toch maar één?

[Professor Puntje]

@ flappelap

Dank voor de video! De ART is inderdaad net zoiets voor mij als QFT voor de maker van die video is. De piekenkwestie is een goede aanleiding om de tensor-formulering van de ART nog eens te proberen te begrijpen. Ik studeer het beste met een duidelijk doel voor ogen. Als ik eenmaal weet hoe je geometrie in gekromde ruimtetijd toepast moet dat mij weer wat verder helpen met het piekenprobleem.

[Professor Puntje]

(...) Er is inderdaad een tricky punt in mijn afleiding namelijk dat ik in navolging van MathPages aanneem dat ik voor relatief zwakke velden zoals die van onze zon met inachtneming van de Schwarzschild metriek toch de "gewone" meetkunde van het xy-vlak mag blijven gebruiken. Over het hoe en waarom daarvan kon ik geen nadere informatie vinden. Als die aanname niet juist is dan is ook mijn afleiding ongeldig.

Dit is iets dat ik hier nog niet heb nagetrokken. Maar de afgelopen dagen heb ik een manier gevonden om zonder gebruikmaking van de euclidische meetkunde een formule voor \( \frac{dx^2}{dt^2} \) af te leiden. En ik kan alvast verklappen dat die formule anders is dan de eerder gevonden formule (6). Vandaag hoop ik mijn resultaten hier te plaatsen. Grote vraag: vinden we ook daarbij nog steeds die twee pieken of wordt het er dan maar één?

[Professor Puntje]

Het xy-frame vinden we vanuit het aan Schwarzschild ontleende rα-frame met behulp van de transformatie:

\(\)

\( x = r \cos(\alpha) \\ y = r \sin(\alpha) \)

\(\)

Zodat geldt:

\(\)

\( x^2 + y^2 = r^2 \)

\(\)

Verder nemen we ook hier aan dat y op dat deel van de lichtbaan waarop een noemenswaardige afbuiging plaats vindt (bij goede benadering) constant is. En dat geeft:

\(\)

\( 2x dx + 0 = 2r dr \)

\(\)

\( dr = \frac{x}{r} dx \)

\(\)

En:

\(\)

\( x = r \cos(\alpha) \)

\(\)

\( dx = dr \cos(\alpha) - r \sin(\alpha) d \alpha \)

\(\)

\( dx = dr \frac{x}{r} - r \frac{y}{r} d \alpha \)

\(\)

\( dx = \frac{x}{r} dx \frac{x}{r} - r \frac{y}{r} d \alpha \)

\(\)

\( r \frac{y}{r} d \alpha = \frac{x^2}{r^2} dx - dx \)

\(\)

\( y d \alpha = (\frac{x^2}{r^2} - 1) dx \)

\(\)

\( d \alpha = \frac{1}{y} (\frac{x^2}{r^2} - 1) dx \)

\(\)

\(\)

Ten slotte is de Schwarzschild metriek ook hier:

\(\)

\( 0 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 dt^2 + \frac{dr^2}{1 - \frac{r_s}{r} } + r^2 d \alpha^2 \,\,\,\,\,\, (2) \)

\(\)

Dus:

\(\)

\( 0 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 dt^2 + \frac{\frac{x^2}{r^2} dx^2}{1 - \frac{r_s}{r} } + \frac{r^2}{y^2} (\frac{x^2}{r^2} - 1)^2 dx^2 \)

\(\)

\( (1 - \frac{r_s}{r})c^2 dt^2 = \left \{ \frac{\frac{x^2}{r^2} }{1 - \frac{r_s}{r} } + \frac{r^2}{y^2} (\frac{x^2}{r^2} - 1)^2 \right \} dx^2 \)

\(\)

\( (1 - \frac{r_s}{r})^2 c^2 dt^2 = \left \{ \frac{x^2}{r^2} + \frac{r^2}{y^2} (1 - \frac{r_s}{r} ) (\frac{x^2}{r^2} - 1)^2 \right \} dx^2 \)

\(\)

\( \frac{ dx^2 }{ dt^2 } = \frac{ (1 - \frac{r_s}{r})^2 }{ \frac{x^2}{r^2} + \frac{r^2}{y^2} (1 - \frac{r_s}{r} ) (\frac{x^2}{r^2} - 1)^2 } c^2 \,\,\,\,\,\,\,\, (39) \)

[Marko]

Het xy-frame vinden we vanuit het aan Schwarzschild ontleende rα-frame met behulp van de transformatie:

\(\)

\( x = r \cos(\alpha) \\ y = r \sin(\alpha) \)

\(\)

Zodat geldt:

\(\)

\( x^2 + y^2 = r^2 \)

\(\)

Dit is toch gewoon de transformatie van polaire naar carthetische coördinaten binnen de Euclidische meetkunde?
En voor y=R, wat is er dan precies anders dan aan de afleiding van (6)?
Met andere woorden, zijn beide uitdrukking niet equivalent aan elkaar?

[Professor Puntje]

Wat anders is dat is dat ik hier geen tekeningetjes gebruik om deelformules af te leiden. Ik gebruik in deze nieuwe afleiding ook geen eigenschappen van de euclidische meetkunde, maar enkel maar de Schwarzschild metriek, de definitie van de gebruikte transformatie, en de benadering y=constant. Of de formules (6) en (39) equivalent zijn moet nog blijken. Ik vermoed zelf op grond van een proef-plotje met Python dat ze niet equivalent zijn.

[Marko]

\( \frac{\mathrm{d}x^2}{\mathrm{d}t^2} = \frac{(1 - \frac{r_s}{r})^2}{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \cdot c^2 \,\,\,\,\,\,\,\, (6) \)

\( \frac{ dx^2 }{ dt^2 } = \frac{ (1 - \frac{r_s}{r})^2 }{ \frac{x^2}{r^2} + \frac{r^2}{y^2} (1 - \frac{r_s}{r} ) (\frac{x^2}{r^2} - 1)^2 } c^2 \,\,\,\,\,\,\,\, (39) \)

De teller is gelijk, dus het gaat om het eventuele verschil tussen

\(\frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} \)

\(\)

en

\(\)

\( \frac{x^2}{r^2} + \frac{r^2}{y^2} (1 - \frac{r_s}{r} ) (\frac{x^2}{r^2} - 1)^2\)

Noem \(p=\frac{x^2}{r^2}\). Dan kun je (6) herschrijven als:

\(\)

\(\frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} = \frac{r_s}{r} (p-1) + 1\)

\(\)

En voor 39:

\(\)

\( \frac{x^2}{r^2} + \frac{r^2}{y^2} (1 - \frac{r_s}{r} ) (\frac{x^2}{r^2} - 1)^2 = p + \frac{r^2}{y^2} (1 - \frac{r_s}{r} ) (p - 1)^2\)

\(= p + \frac{r^2}{r^2-x^2} (1 - \frac{r_s}{r} ) (p - 1)^2\)

\(\)

\(=p + \frac{1}{1-p} (1 - \frac{r_s}{r} ) (p - 1)^2\)

\(\)

\(=p - \frac{1}{p-1} (1 - \frac{r_s}{r} ) (p - 1)^2\)

\(\)

\(=p - (1 - \frac{r_s}{r} ) (p - 1)\)

\(\)

\(=p - (p - 1 - \frac{r_s}{r} p + \frac{r_s}{r} )\)

\(\)

\(=1 + \frac{r_s}{r} p - \frac{r_s}{r}\)

\(\)

\(=1 + \frac{r_s}{r} (p-1)\)

[Professor Puntje]

Nou breekt m'n klomp! Ik zie daar geen fout in, dus zal ik mijn Python progje nog eens goed onder de loep nemen.

[Professor Puntje]

Mijn Python progje blijkt bij zorgvuldig nakijken inderdaad een fout te bevatten: ik heb ergens r0 staan waar r hoort te staan. Na die correctie keren de twee (hier omgekeerde) pieken in de plot even zo vrolijk weer terug.

[Professor Puntje]

Dan is mogelijk toch de onschuldig lijkende benadering y=constant de kwaaie pier? Zo veel andere opties zijn er niet meer....

[Professor Puntje]

Het xy-frame vinden we vanuit het aan Schwarzschild ontleende rα-frame met behulp van de transformatie:

\(\)

\( x = r \cos(\alpha) \\ y = r \sin(\alpha) \)

\(\)

Zodat geldt:

\(\)

\( x^2 + y^2 = r^2 \)

\(\)

Verder nemen we nu aan dat y = f(x) voor een zekere functie f. Dat geeft:

\(\)

\( 2x dx + 2 f(x) f'(x) dx = 2r dr \)

\(\)

\( x dx + f(x) f'(x) dx = r dr \)

\(\)

\( (x + f(x) f'(x)) dx = r dr \)

\(\)

\( dr = \frac{x + f(x) f'(x)}{r} dx \)

\(\)

Laat: \( S = \frac{x + f(x) f'(x)}{r} \) zodat:

\(\)

\( dr = S dx \)

\(\)

\(\)

En:

\(\)

\( x = r \cos(\alpha) \)

\(\)

\( dx = dr \cos(\alpha) - r \sin(\alpha) d \alpha \)

\(\)

\( dx = dr \frac{x}{r} - r \frac{f(x)}{r} d \alpha \)

\(\)

\( dx = S dx \frac{x}{r} - f(x) d \alpha \)

\(\)

\( f(x) d \alpha = S \frac{x}{r} dx - dx \)

\(\)

\( f(x) d \alpha = (S \frac{x}{r} - 1) dx \)

\(\)

\( d \alpha = \frac{S \frac{x}{r} - 1}{f(x)} dx \)

\(\)

Laat \( T = \frac{S \frac{x}{r} - 1}{f(x)} \) zodat:

\(\)

\( d \alpha = T dx \)

\(\)

\(\)

Ten slotte is de Schwarzschild metriek ook hier weer:

\(\)

\( 0 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 dt^2 + \frac{dr^2}{1 - \frac{r_s}{r} } + r^2 d \alpha^2 \,\,\,\,\,\, (2) \)

\(\)

Dus:

\(\)

\( 0 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 dt^2 + \frac{S^2 dx^2}{1 - \frac{r_s}{r} } + r^2 T^2 dx^2 \)

\(\)

\( (1 - \frac{r_s}{r})c^2 dt^2 = \frac{S^2 dx^2}{1 - \frac{r_s}{r} } + r^2 T^2 dx^2 \)

\(\)

\( (1 - \frac{r_s}{r})c^2 dt^2 = ( \frac{S^2}{1 - \frac{r_s}{r} } + r^2 T^2 ) dx^2 \)

\(\)

\( (1 - \frac{r_s}{r})^2 c^2 dt^2 = ( S^2 + r^2 ( 1 - \frac{r_s}{r} ) T^2 ) dx^2 \)

\(\)

\( \frac{dx^2}{dt^2} = \frac{ (1 - \frac{r_s}{r})^2 }{ S^2 + r^2 ( 1 - \frac{r_s}{r} ) T^2 } c^2 \,\,\,\,\,\,\, (40)\)

[Professor Puntje]

Voortbouwend op een eerder topic moet het nu mogelijk zijn om uitgaande van een exacte uitdrukking voor de lichtbaan met Python een plot te genereren van \( \frac{dx^2}{dt^2} \) als functie van x. Ik ben daar al wat mee aan het experimenteren, maar omdat een foutje maar zo gemaakt is en ik nog pas weinig ervaring met Python heb hou ik de voorlopige resultaten nog maar even voor me. Misschien willen meer computervaardige leden er ook wel mee aan de slag?

[wnvl1]

Neem je y of f(x) als constante bij het plotten van vgl 40?
Het nut van de manier waarop 40 uitgeschreven is hierboven, ontgaat mij.

Ik denk dat je dichter moet blijven bij de manier van werken zoals ze op mathpages. Ze passen ook wel benaderingen toe en ik durf ook niet te zeggen dat he Hughens zomaar mag toepassen. Je kan evt hun integralen opnieuw maken en eens parametriseren in functie van x ipv theta. Al zal dat aan de grond van de zak ook niet veel veranderen. Ik moet toegeven, de twee pieken kan ik ook moeilijk geloven.

[Professor Puntje]

Probleem is dat ik een groentje in het gebruik van Python ben, en een foutje dan heel gemakkelijk gemaakt is. Maar het voorlopige resultaat dat ik nu gevonden heb is verbijsterend. Wat heb ik gedaan? Ik ben uitgegaan van het artikel: https://www.researchgate.net/publicatio ... s_approach

Daarin staan exacte oplossingen voor de lichtbaan. In het topic "Python en Jacobi" zijn we daar al eens uitgebreid mee in de weer geweest. Gebruik makend van die eerdere resultaten heb ik een programmaatje in elkaar geflanst dat uitgaat van de exacte lichtbaan en dus niet van de benadering y=constant. Dat programmaatje plot \( \frac{dx^2}{dt^2} \) als functie van x. Daarbij komen dus ook verder geen benaderingen meer te pas, behalve dan de numerieke methoden die Python zelf gebruikt. Dat lijkt mij in principe de meest betrouwbare methode om te achterhalen hoe de grafiek van \( \frac{dx^2}{dt^2} \) als functie van x eruit hoort te zien. Misschien kan iemand het aantal toppen ook analytisch bepalen of met een programma voor symbolische bewijzen, maar met pen en papier lijkt mij dat geen doen.

De grafiek van \( \frac{dx^2}{dt^2} \) als functie van x zal ons leren hoe onschuldig de benaderingen van MathPages zijn tot op het punt vlak voor de toepassing van Huygens' principe. Overigens vind ikzelf de uitleg op MathPages ook verwarrend en onvolledig, en daarom heb ik in het begin van dit topic het bewijs ook als het ware gereconstrueerd en de missende delen toegevoegd.

[Professor Puntje]

Dit zijn de gebruikte exacte formules uit het gelinkte artikel:

e 717 keer bekeken

tau 717 keer bekeken

(Let op: de boven vermelde "x" is niet onze coördinaat x.)

[Professor Puntje]

Dit kan met behulp van de schwarzschildstraal \( r_s \) van de zon vereenvoudigd worden tot:

\( e_1 = \frac{r_0 - r_s + \sqrt{(r_0 - r_s)(r_0 + 3r_s)}}{2 r_s r_0} \,\,\,\,\,\,\, (I) \)

\(\)

\( e_2 = \frac{1}{r_0} \,\,\,\,\,\,\, (II) \)

\(\)

\( e_3 = \frac{r_0 - r_s - \sqrt{(r_0 - r_s)(r_0 + 3r_s)}}{2 r_s r_0} \,\,\,\,\,\,\, (III) \)

\(\)

\( \tau = \sqrt{ \frac{ r_s (e_1 - e_3)}{ 4 }} \,\,\,\,\,\,\, (IV) \)

\(\)

\( h = \sqrt{ \frac{ e_2 - e_3}{ e_1 - e_3 }} \,\,\,\,\,\,\, (V) \)

\(\)

\( r = \frac{1}{ e_3 + (e_2 - e_3) \mathrm{sn}^2( \tau \varphi + \sigma ; h^2)} \,\,\,\,\,\,\, (VI) \)

\(\)

Verder is \( r_0 \) de kleinste afstand r van de lichtbaan tot het centrum van de zon in de gebruikelijke schwarzschildcoördinaten.

Voor de schwarzschildradius r_s en straal r₀ van onze zon hebben we:

\(\)

\( \left. \begin{array} {lcrr} r_s = 2,95.10^3 \, \mathrm{m} \\ r_{0} = 7,0.10^8 \, \mathrm{m} \end{array} \right \} \,\,\,\,\,\, (VII) \)

Bron: https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_radius