Kettingfontein (bead chain phenomenon)

[Bartjes]

Dan doe je jezelf toch te weinig eer aan. De aanpak in dit topic is net zo wetenschappelijk als de PDF waarnaar je verwijst.

Dank je.

De PDF is zeker interessant, bekijk ook vooral de link die erin genoemd staat

Die link ken ik al. De link bevestigt de juistheid van onze eenvoudige benadering, maar helpt ons helaas niet verder dan we al waren.

In de pdf wordt bij 'Model Calculations' het volgende opgemerkt:

Also, distance between the point on the falling chain at the same height as the beaker and the latter is roughly that same as the height h above the beaker of the top of the chain’s trajectory.

Lees ik het goed dat hier bedoeld wordt dat op bekerhoogte de horizontale afstand tussen ketting en beker ongeveer gelijk is aan de hoogte van de boogtop boven de beker?

Die zin vond ik ook moeilijk te begrijpen.

Dat wordt met het filmpje van dit bericht m.i. dan wel ontkracht.

Het zou jammer zijn als die uitleg klopt, want dan zou het gevonden energetische rendement enkel maar voor het specifieke door McDonald bekenen boogje opgaan.

Maar er is nog een sprankje hoop: misschien is de breedte van het boogje te berekenen uit de horizontale impuls van de ketting. McDonald heeft over die impuls het een en ander te melden. Zie formule 7., en verder:



As the chain pulls on beads initially at rest in the beaker, it gives them momentum. However, this momentum becomes part of that accounted for in eq. (7) and so does not change the value of P_x.

If the chain hits the floor with a nonzero horizontal velocity, then momentum would be transferred from the chain to the floor, and P_x would decrease. The empirical evidence is that the chain is rather vertical as it approaches the floor, such that transfer of momentum to the floor appears to be a rather small effect, and P_x is essentially constant at the initial value given by pulling on the chain to start its motion.

In the model given below for the steady-state trajectory of the chain, its reaches the floor with a small horizontal component v_x to its velocity, whereas the actual v_x at the floor appears to be negligible.

Wanneer dat klopt, heeft P_x gewoon een bij het starten aan de ketting meegegeven beginwaarde, en ligt de breedte van de boog daarmee vast. Je zou de breedte van de boog dan moeten kunnen beïnvloeden door de wijze waarop de ketting in beweging wordt gezet!

[Wien Ee]

Nu je het zo hebt over een horizontale impuls. Het lijkt er wel op dat schakels van de ketting eerst horizontaal in de pot worden bewogen, en pas even later verticaal omhoog.

kogeltjesketting-11 624 keer bekeken

bron

Zo'n horizontale beweging gaat dan over in een slingering van de ketting. Stel dat die slingering evenveel energie vraagt als het verticaal versnellen van de ketting. Dan zal de ketting veel minder hoog uit de pot komen dan we eerder hadden afgeleid.

[Michel Uphoff]

Je zou de breedte van de boog dan moeten kunnen beïnvloeden door de wijze waarop de ketting in beweging wordt gezet!

Ik denk niet dat dat gebeurt. Ik heb zelf een paar maanden terug met een lang touw geëxperimenteerd, en het touw met grote snelheid horizontaal uit de pot getrokken. Vrij snel was de horizontale snelheid er uit, en viel het touw weer in een kleine boog vertikaal. Ook theoretisch is dat onlogisch, de zwaartekracht werkt louter vertikaal. Er zijn dus behalve de rand van het glas en de centrifugaalkracht geen andere invloeden op het horizontale momentum. Wrijving zorgt ervoor dat een evt. met de hand meegegeven momentum snel verdwijnt.

Een factor die de boogbreedte dus beïnvloedt is naast de centrifugale kracht m.i. de uittredehoek die de ketting kan nemen, en die is beperkt door de rand van de pot. Deze hoek wordt sterk beïnvloed door de hoogte-breedte verhoudingen van de pot en de plaats waar het uit de pot getrokken bolletje zich bevindt.

potjes 641 keer bekeken

Links lage, brede pot en recht hoge smalle pot. Tussen de rode lijnen de gemiddelde variabiliteit van de kettinghoek als de pot vol is, en de blauwe lijnen bij een vrijwel lege pot. M.a.w. met vorm en de positie van de pot wordt de ketting 'gericht'. Daar is ook een voorbeeldje van te vinden, waarbij de pot schuin wordt gehouden, dán schiet de ketting ook schuin uit de pot omdat er nu door de pot gedwongen een grotere horizontale component in het momentum zit.

[Bartjes]

Zo'n horizontale beweging gaat dan over in een slingering van de ketting. Stel dat die slingering evenveel energie vraagt als het verticaal versnellen van de ketting. Dan zal de ketting veel minder hoog uit de pot komen dan we eerder hadden afgeleid.

Ik begrijp niet wat je met die slingering bedoelt...

Ik denk niet dat dat gebeurt. Ik heb zelf een paar maanden terug met een lang touw geëxperimenteerd, en het touw met grote snelheid horizontaal uit de pot getrokken. Vrij snel was de horizontale snelheid er uit, en viel het touw weer in een kleine boog vertikaal.

Helaas is een touw voor dergelijke experimenten ongeschikt omdat dit de buigzaamheid van de kralenketting mist.

Ook theoretisch is dat onlogisch, de zwaartekracht werkt louter vertikaal. Er zijn dus behalve de rand van het glas en de centrifugaalkracht geen andere invloeden op het horizontale momentum.

De centrifugaalkracht is een schijnkracht en mag enkel als rekentruc gebruikt worden. Op de ontwikkeling van de impuls in het "laboratoriumframe" heeft de centrifugaalkracht geen invloed. De rand van het glas speelt wel een rol zolang de ketting tegen het glas aan botst. Tenslotte is er nog de inslag van de ketting in bakje B. Daar wordt door de minieme horizontale component van de kralenimpuls aan het bakje en vervolgens aan de aarde horizontale impuls overgedragen. De horizontale impuls die daar weglekt is vermoedelijk verwaarloosbaar, maar dat moet zo nodig ook na te rekenen zijn. Zodra de ketting op gang is en niet meer tegen de rand van het glas aan botst lekt er dus geen noemenswaardige horizontale impuls meer weg.

Wrijving zorgt ervoor dat een evt. met de hand meegegeven momentum snel verdwijnt.

Dat is in strijd met bovenstaande. Bovendien kan de stationaire horizontale impuls niet verdwijnen wegens formule 7 van McDonald.

Een factor die de boogbreedte dus beïnvloedt is naast de centrifugale kracht m.i. de uittredehoek die de ketting kan nemen, en die is beperkt door de rand van de pot. Deze hoek wordt sterk beïnvloed door de hoogte-breedte verhoudingen van de pot en de plaats waar het uit de pot getrokken bolletje zich bevindt.

[attachment=14201:potjes.gif]

Links lage, brede pot en recht hoge smalle pot. Tussen de rode lijnen de gemiddelde variabiliteit van de kettinghoek als de pot vol is, en de blauwe lijnen bij een vrijwel lege pot. M.a.w. met vorm en de positie van de pot wordt de ketting 'gericht'. Daar is ook een voorbeeldje van te vinden, waarbij de pot schuin wordt gehouden, dán schiet de ketting ook schuin uit de pot omdat er nu door de pot gedwongen een grotere horizontale component in het momentum zit.

Inderdaad legt de vorm van de pot beperkingen op aan de uittreedhoek. Overigens is daarmee niet gezegd dat er dus een stationair boogje zal ontstaan met een binnen die grenzen liggende uittreedhoek. Het kan ook gebeuren dat er geen stationair boogje maar een met horten en stoten verlopende beweging ontstaat wanneer de ketting niet die stationaire vorm kan aannemen die bij de overige gegeven omstandigheden hoort.

[Michel Uphoff]

Zodra de ketting op gang is en niet meer tegen de rand van het glas aan botst lekt er dus geen noemenswaardige horizontale impuls meer weg.

Wat voedt de horizontale impuls volgens jou dan? Het beetje impuls is door wrijving zo verdwenen, dus moet er een bron zijn. Maar ook met een kralenketting is de eenmalige impuls van een horizontale ruk aan de ketting m.i. zo verdwenen.

Moet op de filmpjes ook wel te zien zijn. De een laat de ketting verticaal vallen, en de ander geeft er een ruk horizontaal aan, maar een echt verschil in de boog is er na korte tijd niet meer, althans dat is mijn indruk. Ik zoek nog wel een voorbeeld op als ik het terug kan vinden.

[Bartjes]

Wat voedt de horizontale impuls volgens jou dan? Het beetje impuls is door wrijving zo verdwenen, dus moet er een bron zijn. Maar ook met een kralenketting is de eenmalige impuls van een horizontale ruk aan de ketting m.i. zo verdwenen.

Volgens mij (en McDonald) hoeft die horizontale impuls niet 'gevoed' te worden. Als de zaak eenmaal op gang is kan die impuls immers nergens meer heen, en blijft zodoende behouden.

- Waar zit volgens jou dan de wrijving waaraan die horizontale impuls opgaat?

- Verder zou de breedte van het boogje wanneer er wel een dergelijke wrijving bestaat steeds kleiner moeten worden (bij constant veronderstelde snelheid van de ketting).

Moet op de filmpjes ook wel te zien zijn. De een laat de ketting verticaal vallen, en de ander geeft er een ruk horizontaal aan, maar een echt verschil in de boog is er na korte tijd niet meer, althans dat is mijn indruk. Ik zoek nog wel een voorbeeld op als ik het terug kan vinden.

Beter zou zijn om in het tweede geval een heel stuk ketting tegelijk horizontaal weg te werpen. Of nog beter om de rand van het glas met twee wieltjes kunstmatig te verbreden. Maar helaas lijdt dit Wetenschapsforum aan een chronisch gebrek aan handige experimentatoren, en ik ben dat zelf ook niet.

[Michel Uphoff]

- Waar zit volgens jou dan de wrijving waaraan die horizontale impuls opgaat?

Luchtweerstand, interne wrijving. Als er behalve een eerste ruk verder geen enkele bron is die de horizontale component van het momentum voedt, moet deze afnemen. Er blijft inderdaad een boogje over, zo'n ketting heeft natuurlijk een minimale radius, dus dat zal m.i. een rol spelen.

[Bartjes]

Luchtweerstand, interne wrijving.

Luchtweerstand klopt (er wordt ietsjes impuls aan de omringende lucht overgedragen), maar bij interne wrijving kan geen impuls verdwijnen omdat zoiets de wet op impulsbehoud zou schenden.

Als er behalve een eerste ruk verder geen enkele bron is die de horizontale component van het momentum voedt, moet deze afnemen. Er blijft inderdaad een boogje over, zo'n ketting heeft natuurlijk een minimale radius, dus dat zal m.i. een rol spelen.

Dat de impuls van het systeem door lek naar de omgeving zal afnemen ben ik met je eens, de vraag is alleen hoe groot deze lek is. Volgens mij zou je daar pas iets van merken wanneer het systeem heel lang zou werken. In de praktijk belandt de ketting in korte tijd van het ene in het andere potje, en heb je daar geen last van. Bij de berekening van de snelheid van de ketting houden we met de luchtweerstand ook geen rekening, of bijvoorbeeld met het feit dat het systeem geluid maakt. De minimale radius van een kettingboogje is steeds veel kleiner dan de boogjes die we in de praktijk zien, dus dat effect is volgens mij ook verwaarloosbaar.

Zien we het boogje in de video's dan smaller worden?

[Michel Uphoff]

maar bij interne wrijving kan geen impuls verdwijnen omdat zoiets de wet op impulsbehoud zou schenden.

Dat zou je inderdaad zeggen, maar ik bedenk mij het volgende:

De crux zit hem in het woordje intern, want als het werkelijk daartoe beperkt zou blijven heb je natuurlijk gelijk.

Toch lijkt het mij goed voorstelbaar dat een gaandeweg stijver wordende ketting, die na een bepaalde tijd met een vaste snelheid valt (het zwaartepunt wijzigt dan niet meer), naarmate de weerstand tegen buiging toeneemt gaandeweg langzamer zal vallen. En dan gaat er impulsmoment verloren door interne wrijving, maar voor een individueel kogeltje externe oorzaak.

[Bartjes]

Toch lijkt het mij goed voorstelbaar dat een gaandeweg stijver wordende ketting, die na een bepaalde tijd met een vaste snelheid valt (het zwaartepunt wijzigt dan niet meer), naarmate de weerstand tegen buiging toeneemt gaandeweg langzamer zal vallen. En dan gaat er impulsmoment verloren door interne wrijving, maar voor een individueel kogeltje externe oorzaak.

Dat begrijp ik niet, de ketting zelf wordt niet stijver. Bovendien moet de horizontale impuls dan ergens aan worden overgedragen, of door een tegengestelde impuls van buitenaf worden opgeheven. Impuls kan niet zoals energie worden opgestookt. Ik zie geen mechanisme dat de horizontale impuls van een stationaire ketting noemenswaardig kan verminderen. En als dat wel zou bestaan zou je het boogje snel smaller moeten zien worden. Mijn indruk is dat die breedte juist betrekkelijk constant is.

Wellicht is het interessanter om wat schattingen te maken van zowel de bij het starten toegevoegde horizontale impuls en van de horizontale impuls van het ontstane stationaire boogje. Dan kunnen we experimenteel nagaan of het verhaal klopt.

(Onder de horizontale startimpuls verstaan we daarbij de horizontale impuls van de ketting zodra deze niet langer tegen de rand van het bakje aan botst. Het is die horizontale impuls die volgens mij nagenoeg constant blijft.)

[Michel Uphoff]

Neem twee kettingen met gelijke massa en afmetingen. Het enige verschil tussen de twee kettingen is, dat de een meer weerstand tegen buiging heeft dan de andere.

De ketting met de minste buigweestand zal sneller vallen dan de andere, omdat er zowel in de pot als in de boog buiging optreedt, en door de verschillende weerstand tegen buiging zal er bij de ene ketting dus meer potentiële energie en dus momentum (zowel bij de horizontale als de verticale component) in warmte worden omgezet.

[Bartjes]

Zodra de ketting een noemenswaardige niet-volledig elastische weerstand tegen buiging vertoont wordt alles anders. Een deel van de vrijkomende potentiële energie zal dan gaan zitten in het buigen van de ketting, en bij het weer strekken van de ketting op weg naar beneden zal dat niet helemaal meer worden teruggewonnen. De ketting zal daardoor inderdaad minder snel gaan bewegen, en ter compensatie zal de ketting iets opwarmen. De energetische kant van je verhaal klopt.

De vraag is echter of bij het starten in de ketting gestopte horizontale impuls uit de ketting kan verdwijnen zolang er een boogje in stand blijft. Ik zie nog steeds geen mechanisme waardoor dat zou kunnen gebeuren. Ook als de snelheid van de ketting in de twee geschetste gevallen verschillend is, kunnen er nog best boogjes met gelijke horizontale impuls maar verschillende breedte ontstaan.

Overigens denk ik dat we de stijfheid van de gebruikte kralenkettingen gerust kunnen verwaarlozen omdat de praktisch optredende boogjes veel groter zijn dan het kleinst mogelijke boogje van zo'n ketting.

[Bartjes]

@ Michel Uphoff.

Ben je het eens met onderstaande?

De horizontale impuls P_h van de ketting is gelijk aan:

P_h = λ.v.b ,

waarin λ de gemiddelde lineaire massadichtheid van de ketting is, v de snelheid van de ketting is, en b de breedte van het boogje is (in overeenstemming met formule 7. van McDonald).

[Bartjes]

Nu je het zo hebt over een horizontale impuls. Het lijkt er wel op dat schakels van de ketting eerst horizontaal in de pot worden bewogen, en pas even later verticaal omhoog.

[attachment=14200:kogeltjesketting-11.PNG]

bron

Dat klopt met P_h = λ.v.b en de veronderstelling dat de horizontale impuls behouden blijft. Immers v neemt bij het opstarten toe, zodat b kleiner moet worden. Daartoe zal de ketting dan geleidelijk aan met een grotere hoek (bijna loodrecht) uit de pot getrokken worden.

[Michel Uphoff]

P_h = λ.v.b

Dat lijkt mij correct.

Maar de constante breedte b van het boogje is de crux. Volgens mij gebeurt er ongeveer dit als je de ketting initieel met een forse snelheid horizontaal uit de pot trekt (excuus voor de wat knullige schets):

Image1 623 keer bekeken