afbuiging licht rond zware objecten via grondbeginselen relativiteitstheorie

[Professor Puntje]

Ik dacht dat je formule (2) niet vertrouwde, die probeer ik te bewijzen.

[HansH]

Ik dacht dat je formule (2) niet vertrouwde, die probeer ik te bewijzen.

nee het ging om de formule c(r) die daar blijkbaar uit volgt.
die formule vertrouw ik niet omdat er nog een x in voorkomt terwijl c(r) geen x mag bevatten.
zie bijgaand essentieel stukje uit de mathpages link:

mathpages1

(179.55 KiB) 130 keer gedownload

volgens een andere site kwam er uit:

die formule vertrouw ik wel en geeft ook de dubbele afbuiging over het hele trajekt dus niet de 2 pieken.

[Professor Puntje]

Met iedere x correspondeert een r(x) dus mag x er best in voorkomen.

[Professor Puntje]

Kennelijk komt je formule hier vandaan: https://galileo-unbound.blog/2019/07/29 ... lack-hole/

Maar dat verhaal is gebaseerd of een radiaal lichtpad, wat bij lichtbuiging duidelijk niet het geval is.

[HansH]

Het zwaartekrachtsveld van de zon is bolsymmetrisch, dus volgens mij kan c daardoor alleen maar een functie zijn van r anders zou het immers asymmetrich worden in x richting . Dus een extra component in x richting in die formule lijkt me hoogst onwaarschijnlijk. Het feit dat een lichtstraal een bepaald pad volgt heeft geen invloed op de formule van c(r) waarmee je dat berekent maar is er juist het gevolg van volgens mij.

[HansH]

Kennelijk komt je formule hier vandaan: https://galileo-unbound.blog/2019/07/29 ... lack-hole/

Maar dat verhaal is gebaseerd of een radiaal lichtpad, wat bij lichtbuiging duidelijk niet het geval is.

maar ze berekenen er wel deze lichtbanen mee. niet echt radiaal dus.

[HansH]

Zie ook dit over de mathpages:
https://www.physicsforums.com/threads/a ... om.146391/
Onduidelijk wie de auteur is, dus lastig na te gaan of informatie die daar gepost wordt van een betrouwbare bron komt en lastig ingeval van twijfel.

[Professor Puntje]

Zie ook dit over de mathpages:
https://www.physicsforums.com/threads/a ... om.146391/
Onduidelijk wie de auteur is, dus lastig na te gaan of informatie die daar gepost wordt van een betrouwbare bron komt en lastig ingeval van twijfel.

Zoals ook in je link staat is de auteur Kevin Brown, en men is daar vrij positief over zijn werk. Zijn boeken zijn ook gewoon te koop: https://www.lulu.com/search/?contributo ... _rating=00

.

[Professor Puntje]

Kennelijk komt je formule hier vandaan: https://galileo-unbound.blog/2019/07/29 ... lack-hole/

Maar dat verhaal is gebaseerd of een radiaal lichtpad, wat bij lichtbuiging duidelijk niet het geval is.

maar ze berekenen er wel deze lichtbanen mee. niet echt radiaal dus.
photoncurves.gif

Inderdaad - een twijfelachtige geval dus. Wonderlijk dat je dat dan weer wel betrouwbaar vindt.

[Professor Puntje]

Het zwaartekrachtsveld van de zon is bolsymmetrisch, dus volgens mij kan c daardoor alleen maar een functie zijn van r anders zou het immers asymmetrich worden in x richting . Dus een extra component in x richting in die formule lijkt me hoogst onwaarschijnlijk. Het feit dat een lichtstraal een bepaald pad volgt heeft geen invloed op de formule van c(r) waarmee je dat berekent maar is er juist het gevolg van volgens mij.

\( r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \)

\(\)

Je kunt dus een r in de formule door een uitdrukking in x, y en z vervangen. Verder geldt z=0 omdat het licht in het xy-vlak beweegt en geldt er in de buurt van de zon waar de meeste buiging plaats vindt y ≈ R.

[HansH]

Op deze manier gaat het nog 300 berichten duren voor we eruit zijn. Zoveel energie ga ik er niet meer instoppen Kan iemand met inzicht aangeven of de formule c(r) op de mathpages site klopt of niet op basis van een helder te volgen redenatie of analyse? dan kunnen we echt convergeren.

[Gast]

De lichtstraal beweegt zich in het xy-vlak dus θ = π/2 en dθ = 0. Dat levert:

\(\)

\( (\mathrm{d}\tau)^2 = (1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}) (\mathrm{d} t)^2 - \frac{(\mathrm{d}r)^2}{1 - \frac{2 \mathrm{m}}{r}} - r^2 (\mathrm{d} \varphi)^2 \)

Ja en geldt phi=0. (Je, gebruikt phi daar al niet meer zie ik nu. Eerst eens wakker worden Tommy.)

@HansH Wat had je dan eerder gebruikt voor gtt en gxx?

Het is een heel ontrafelen van een kluwen aan .. vraagstukken, lijkt het. Wat het erg moeilijk maakt. (Onoverzichtelijk.)

[Gast]

Ik bedoel "kijk hier, kijk daar" .. en ik zeg kijk hier (vooral in de comments, zonder mij uit te lachen! (Ik begrijp het niet helemaal):

https://www.quora.com/How-is-it-possibl ... srid=zjz6K

Alleen ik hoef dat dus allemaal ook niet te begrijpen. Ik denk niet dat ik ooit de "buiging" van licht langs een massief object ga berekenen. En daarmee ontgaat mij het uiteindelijke doel van dit "project" nu ook (weer).

[Gast]

Zou het niet handig zijn om een "rapportje" te maken van wat je nu precies gedaan hebt en wat je je nu nog precies afvraagt/wilt weten/wilt leren?

En dan in verschillende topics vragen stellen.

Umm. Maar voor nu vraag je je enkel af of een bepaalde formule van die mathpages website klopt?

[flappelap]

Ik zou graag deze berekening wat vollediger willen doen in een eigen set aantekeningen, maar gezien een baby en een schooljaar dat in alle hevigheid is losgebarsten kom ik daar niet aan toe. Ik zal daarom alleen wat toelichting geven bij

https://www.mathpages.com/rr/s8-09/8-09.htm

zonder alle berekeningen na te zijn gegaan. Ik heb er echter alle vertrouwen in dat deze kloppen.

Dus wat doen we: we willen weten hoe een lichtstraal wordt afgebogen in een Schwarzschild-ruimtetijd. Laten we eerst kijken hoe een lichtstraal zich gedraagt in Minkowski ruimtetijd. Zo'n lichtstraal legt een zogenaamde null-curve af, in Cartesische coördinaten (!) gegeven door:

\(
ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 = 0
\)

De metriek componenten (van de Minkowskimetriek) kun je aflezen met de definitie

\(
ds^2 = g_{tt}dt^2 + g_{xx}dx^2 + g_{yy}dy^2 + g_{zz}dz^2
\)

In de vlakke ruimtetijd beschrijven de resulterende curves de gebruikelijke lichtkegels. Dit kun je nagaan door de coördinatensnelheid uit te rekenen. Stel, we nemen een lichtstraal in de x-richting, zodat dy=dz=0, dan


\(
ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 = 0 \rightarrow cdt = \pm dx \rightarrow \frac{dx}{dt} = \pm c
\)

Dit zijn precies de inkomende (-) en uitgaande (+) lichtstralen. Merk op voor uitgaande stralen:

\(
c = \sqrt{-\frac{g_{tt}}{g_{xx}}}
\)

De lichtsnelheid is keurig overal gelijk aan de constante c, zoals we gewend zijn voor vlakke ruimtetijden. Nu gaan we exact hetzelfde doen met de Schwarzschild-ruimtetijd, die een bolsymmetrische massa M beschrijft. Het ruimtetijd interval wordt in bolcoördinaten (!) dan

\(
ds^2 = -(1-\frac{2GM}{r c^2})c^2 dt^2 + (1-\frac{2GM}{r c^2})^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2
\)

waarbij het laatste stuk met Omega domweg het hoekgedeelte is; daar gaan wij ons wat minder om bekommeren. We kunnen dit interval ook schrijven in termen van de metriekcomponenten die je daarmee kunt aflezen:

\(
ds^2 = g_{tt} dt^2 + g_{rr} dr^2 + g_{\theta\theta}d\theta^2 + g_{\phi\phi}d\phi^2
\)

Als je nu lichtstralen bekijkt die in radiële richting bewegen, dus met constante hoeken phi en theta, dan worden die, analoog aan hierboven, beschreven door null-curves

\(
ds^2 = -(1-\frac{2GM}{r c^2})c^2 dt^2 + (1-\frac{2GM}{r c^2})^{-1} dr^2 = 0 \rightarrow (1-\frac{2GM}{r c^2})c^2 dt^2 = (1-\frac{2GM}{r c^2})^{-1} dr^2
\)

De coördinatensnelheid dr/dt van deze lichtstraal kun je hieruit oplossen:

\(
\frac{dr}{dt} = \pm (1-\frac{2GM}{r c^2}) c
\)

Deze coordinatensnelheid kun je c(r) noemen: de lichtsnelheid op afstand r van de oorsprong, zoals gemeten door een buitenstaander. Laten we even uitgaande lichtstralen nemen, dus het plus-teken. Dan kunnen we deze c(r) ook domweg schrijven als de verhouding tussen de metriek componenten

\(
\frac{dr}{dt} = \sqrt{-\frac{g_{tt}}{g_{rr}}}
\)

Je ziet dat als r de Schwarzschildstraal nadert, deze coördinatensnelheid voor de lichtstraal naar nul gaat. Dat is het beroemde statement dat een buitenstaander meet dat "de lichtsnelheid nul wordt op de waarnemershorizon". Wij passen de oplossing echter niet toe op zwarte gaten, maar op de zon; de straal van de zon is veel groter dan zijn schwarzschildstraal, dus onze oplossing is alleen geldig voor waarden van r groter dan de straal van de zon.

Vervolgens beschouwt het artikel een lichtstraal die langs de zon scheert, zoals in de figuur ("as depicted in the figure below".). Wij hebben dan de coördinatensnelheid van de lichtstraal uitgerekend als dr/dt, maar de lichtstraal in onze berekening beweegt zich nu in het {xy}-vlak (z=0). Daarvoor moeten we een nare berekening doen (die ik ooit heb gedaan, en niet nog es ga doen): we moeten de tensorcomponenten van de Schwarzschildmetriek in bolcoördinaten omrekenen naar die Cartesische coördinaten. Wel, de berekening geeft het antwoord in formule (2). In het bijzonder kun je het volgende uitrekenen (dit is simpelweg de transformatiewet voor tensoren):

\(
g_{xx} = \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial r}{\partial x} g_{rr} + \frac{\partial \theta}{\partial x} \frac{\partial \theta}{\partial x} g_{\theta\theta} + \frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{\partial \phi}{\partial x} g_{\phi\phi}
\)

Het resultaat daarvan is blijkbaar te schrijven als de formule die volgt op "with varying spatial coefficients. In particular, we have". Aangezien je voor de berekening middels Huygens principe de snelheid

\(
c(x) = \frac{dx}{dt} = \sqrt{-\frac{g_{tt}}{g_{xx}}}
\)

nodig hebt (die de auteur c(r) noemt, maar hey, r(x) is immers weer een functie van x), wordt het resultaat de formule na "Therefore, the speed of light (along this path) is actually given by..." waarbij er nog een Taylor benadering wordt gemaakt. Dat is volledig terecht: de Schwarzschildstraal van de zon is immers zo'n 3 km, terwijl de daadwerkelijke straal zo'n 700.000 km is, dus

\(
\frac{2GM}{r c^2} \approx 4 \times 10^{-6}
\)

Daarna wordt het principe van Huygens toegepast, maar daar ging het verder volgens mij niet om.