Probleem met oneindigheid en kans

[Bartjes]

Hierboven heb ik verwezen naar mogelijkheden om het probleem van MacHans met infinitesimalen op te lossen. Mensen die zich er grondig in willen verdiepen, raad ik aan de daar vermelde links te raadplegen. Om het de lezers van dit forum wat makkelijker te maken, geef ik hier een korte schets waaruit mag blijken dat er in deze richting inderdaad mogelijkheden zijn:



Laat:

ε = (1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... , 1/n, ...) ,

Hierbij speelt ε de rol van een infinitesimaal getal. Rijtjes die voor elke term het zelfde getal hebben, komen overeen met de gewone reële getallen. Zo komen de getallen 1, 2 en √3 overeen met respectievelijk:

(1, 1, 1, 1, ... , 1, ...) ,

(2, 2, 2, 2, ... , 2, ...) ,

(√3, √3, √3, √3, ... , √3, ...) .

De som en het product van het tweede en derde rijtje zijn:

(2+√3, 2+√3, 2+√3, 2+√3, ... , 2+√3, ...) ,

(2 .√3, 2 .√3, 2 .√3, 2 .√3, ... , 2 .√3, ...) .

In het algemeen definiëren we de som en het product van:

a = (a₀ , a₁ , a₂ , a₃ , ... , a_n , ...) ,

b = (b₀ , b₁ , b₂ , b₃ , ... , b_n , ...) ,

als:

a + b = (a₀ + b₀ , a₁ + b₁ , a₂ + b₂ , a₃ + b₃ , ... , a_n + b_n , ...) ,

a . b = (a₀ . b₀ , a₁ . b₁ , a₂ . b₂ , a₃ . b₃ , ... , a_n . b_n , ...) .

Voor het gemak schrijven we nog:

0 = (0, 0, 0, 0, ... , 0, ...) ,

½ = (½, ½, ½, ½, ... , ½, ...) ,

1 = (1, 1, 1, 1, ... , 1, ...) .

De oneindige som:

a + b + c + d + e + ... ,

van de 'rijtjes-getallen':

a = (a₀ , a₁ , a₂ , a₃ , ... , a_n , ...) ,

b = (b₀ , b₁ , b₂ , b₃ , ... , b_n , ...) ,

c = (c₀ , c₁ , c₂ , c₃ , ... , c_n , ...) ,

d = (d₀ , d₁ , d₂ , d₃ , ... , d_n , ...) ,

e = (e₀ , e₁ , e₂ , e₃ , ... , e_n , ...) ,

...

definiëren we als:

(a₀ , a₁ + b₁ , a₂ + b₂ + c₂ , a₃ + b₃ + c₃ + d₃ , a₄ + b₄ + c₄ + d₄ + e₄ , ...) .

Laat nu: A = ε + ε + ε + ε + ε + ... . Dan hebben we:

A = ε + ε + ε + ε + ε + ...

A = (1 , 1/2 + 1/2 , 1/3 + 1/3 + 1/3 , 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 , 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 , ...)

A = (1, 1, 1, 1, 1, ...)

A = 1 .

Toegepast op het geval van een willekeurige keuze van één getal uit alle positieve natuurlijke getallen, zien we dat een kans van ε voldoet. Dat wil zeggen: wanneer de kans dat 1 wordt gekozen ε is, de kans dat 2 wordt gekozen ε is, de kans dat 3 wordt gekozen ε is, enzovoort, dan is de kans dat er uit alle positieve natuurlijke getallen een positief natuurlijk getal wordt gekozen gelijk aan 1. Wat natuurlijk ook zo moet zijn. Wat is de kans een even positief natuurlijk getal te trekken? Laten we die kans B noemen. Dan geldt:

B = 0 + ε + 0 + ε + 0 + ...

B = (0 , 0 + 1/2 , 0 + 1/3 + 0 , 0 + 1/4 + 0 + 1/4 , 0 + 1/5 + 0 + 1/5 + 0 , ...)

B = (0, 1/2, 1/3, 2/4, 2/5, ...)

En de kans een oneven natuurlijk getal te trekken? Laten we die kans C noemen. Dan komt er:

C = ε + 0 + ε + 0 + ε + ...

C = (1 , 1/2 + 0, 1/3 + 0 + 1/3 , 1/4 + 0 + 1/4 + 0 , 1/5 + 0 + 1/5 + 0 + 1/5 , ...)

C = (1, 1/2, 2/3, 2/4, 3/5, ...)

Dus B + C = 1 . En zowel B als C verschillen een infinitesimaal 'rijtjes-getal' met ½. (Op de plaats van de "ongewenste" uitkomsten is steeds een 0 geplaatst.) Het oneindige kennende, zal ook deze benadering met infinitesimalen wel weer ergens spaak lopen. Maar we komen al verder dan mogelijk is wanneer we de kans op 1, 2, 3, ... alleen door reële getallen kunnen aangeven. Dit korte schetsje is natuurlijk geen uitgewerkte theorie, maar dient vooral om te laten zien dat het gebruik van infinitesimalen extra mogelijkheden biedt.

[PeterPan]

Hierboven heb ik verwezen naar mogelijkheden om het probleem van MacHans met infinitesimalen op te lossen.

Er is geen probleem.

Zie mijn commentaar aldaar.

[Rogier]

Hij had zijn oorspronkelijke vraag wat ongelukkig geformuleerd ("tussen 0 en ") maar wat mij betreft is Bartjes uitleg wel een boeiende benadering.

Bartjes, ik had me nog niet in die pagina's verdiept maar je vat het duidelijk samen.

Niet dat we er nu direct concreet mee kunnen kansrekenen, maar ik vind het wel een interessant idee. Waarom weet ik eigenlijk niet, want je voelt op je klompen aan dat "een willekeurig natuurlijk getal trekken" onzin is. Maar toch

[Bartjes]

Dank voor het compliment. Dat een willekeurige keuze van een positief natuurlijk getal onzin is, zie ik echter niet zo. Het lijkt mij niet vreemder dan de keuze van een willekeurig reëel getal tussen 0 en 1. Beide dingen zijn voor aardse stervelingen onmogelijk; maar als ik zou moeten zeggen wat het moeilijkste is, zou ik de keuze van een willekeurig reëel getal tussen 0 en 1 noemen. Daarvan zijn er immers oneindig veel meer, dan van de positieve natuurlijke getallen. Maar goed - in de wiskunde werken we gelukkig met geïdealiseerde voorstellingen.

Als je kansen per se door reële getallen wilt weergeven, kom je bij de keuze van een willekeurig positief natuurlijk getal in de problemen. In plaats van dat gegeven als het laatste woord te beschouwen, vind ik het wel zo interessant om te kijken of er uitbreidingen van de reële getallen zijn die uitkomst bieden...

[Bartjes]

Het zou ook interessant zijn de verdeling van priemgetallen vanuit dit perspectief te bekijken. Zie over de priemgetalstelling hier:

http://nl.wikipedia.org/wiki/Priemgetalstelling

Helaas weet ik daar niet genoeg vanaf. Maar het lijkt mij waarschijnlijk dat een berekening van de kans een priemgetal uit de positieve natuurlijke getallen te trekken, tot interessante wiskunde kan leiden wanneer we ook infinitesimale kansen toelaten. Wie weet daar meer van?

[jhnbk]

Hier staat al iets dat mogelijk interessant is.

\(P(n \,\, \mbox{is priemgetal}) \approx \frac{1}{\log n }\)

[Rogier]

Als X zo'n zogenaamde -uniforme stochast is (d.w.z. "een willekeurig natuurlijk getal"), denk ik dat het wenselijk is dat we met die infinitesimaalrekening voor een bepaalde kans P(X) dezelfde uitkomst verkrijgen als

\(P(X) = \lim_{n\rightarrow\infty}P(X_n)\)

[/quote]

Ik snap uiteraard wat je bedoelt, maar van ieder getal n staat het vast of het priem is of niet.

Dus eigenlijk is het:

\(\pp[n\textrm{ is priem}] = \left\{\startmatrix 1\textrm{ als n priem is} \\ 0\textrm{ anders}\endmatrix\right.\)

[jhnbk]

[quote='Rogier' post='529287' date='25 June 2009, 15:35']

\(\lim_{n\rightarrow\infty}\pp[X_n\textrm{ is priem}]=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\pi(n)}{n}=0\)

[Rogier]

Dat had ik ook bekeken maar het lot wil dat we een discrete verzameling beschouwen

Ja daar had ik het ook over?

Of mis ik iets? Wat bedoel je precies?

Ik had iets anders ingedachte met deze berekening. Via de wet van de totale kans:

De kans dat een willekeurig getal een priemgetal is is dan:

\(P = \lim_{x \to \infty}\sum_{n=1} ^{\infty} \frac{1}{x} \frac{1}{\log n} = 0\)

Ik zie niet helemaal hoe je daar aan komt. Let wel, omdat die som onafhankelijk is van x, staat daar eigenlijk:

\(P = \lim_{x \to \infty}\frac{1}{x}\cdot C\)

met

\(C=\sum_{n=1} ^{\infty} \frac{1}{\log n}\)

Nu bestaat

\(\frac{1}{\log n}\)

niet voor n=1, en als de som vanaf n=2 loopt is C oneindig, dus dan mag je die limiet zo niet uitdrukken.

[Bartjes]

Mooi dat jullie ermee aan de slag zijn. Dat er steeds minder priemgetallen voorkomen naarmate je verder in de rij (positieve) natuurlijke getallen komt, is mij bekend. Dat de kans een priemgetal te trekken - in reële getallen uitgedrukt - dan 0 wordt, zou heel goed kunnen. Maar de grap van het gebruik van infinitesimalen is dat er tussen 0 en een reëel getal groter dan 0, nog heel veel keus is. Mijn vermoeden is dan ook dat de kans een priemgetal uit de positieve natuurlijke getallen te trekken, een interessant infinitesimaal getal oplevert. Vervolgens is het best mogelijk dat dit infinitesimale getal via de een of andere formule weer met een reële constante samenhangt. Ik zal ook nog kijken of ik iets met de vermelde informatie kan.

[Rogier]

Ik probeer een gevoelsmatige interpretatie van zo'n infinitesimaal te krijgen.

Als je hem definieert als 'rijtjesgetal':

\(\epsilon=(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots)\)

dan "komt \(\epsilon\) overeen" (nou ja, een soort van?) met

\(\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\)

.

Dat heeft reële waarde nul, maar op een of andere manier is er wel een verschil met bijvoorbeeld een andere infinitesimaal

\(\delta=(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\cdots)\)

.

Die laatste komt overeen met

\(\lim_{n \to \infty}2^{-n}\)

en is uiteraard ook 0, maar converteert sneller. Dus de infinitesimaal

\(\delta\)

is op een of andere manier "kleiner" dan

\(\epsilon\)

.

Gezien de verdeling van priemgetallen over zou ik stellen dat de infinitesimale kans dat een willekeurig positief geheel getal n een priemgetal is, zoiets is:

\(p=(p_1, p_2, p_3, \cdots)\)

met

\(p_n = \frac{\pi(n)}{n}\)

Dus

\(p=(0,\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{2}{4},\frac{3}{5},\frac{3}{6},\frac{4}{7},\frac{4}{8},\frac{4}{9},\frac{4}{10},\cdots,p_n\approx\frac{1}{\log n},\cdots)\)

(nogmaals,

\(\pi(n)\)

is het aantal priemgetallen [kleinergelijk]n, en dat de termen

\(p_n\)

in rijtjesgetal p steeds meer naar

\(\frac{1}{\log n}\)

gaan komt door de priemgetalstelling).

[Bartjes]

Dat is inderdaad zo ongeveer mijn bedoeling.

[Bartjes]

Het trekken van een willekeurig priemgetal uit de positieve natuurlijke getallen kan nu met een infinitesimale kans beschreven worden. Dat is mooi, want nu zijn we weer een stapje verder. Maar voor de nadere uitwerking van deze infinitesimale kans moeten we nog steeds teruggrijpen op de priemgetalstelling. Dat vind ik dan toch weer jammer. De gewone waarschijnlijkheidsrekening veegt allerlei situaties op één hoop, waar met behulp van infinitesimalen verschillende kanswaarden aan kunnen worden toegeschreven. Daarom zou je verwachten dat we met infinitesimalen bekende resultaten op een alternatieve manier zouden kunnen bewijzen, of zelfs interessante nieuwe resultaten zouden kunnen vinden.

[Rogier]

Wat is het probleem met die priemgetalstelling? De kans dat een willekeurig natuurlijk getal priem is, is een infinitesimale kans uitgedrukt met dit rijtjesgetal:

\(p=(0,\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{2}{4},\frac{3}{5},\frac{3}{6},\frac{4}{7},\frac{4}{8},\frac{4}{9},\frac{4}{10},\cdots)\)

De priemgetalstelling voegt hierin alleen maar informatie toe, namelijk dat de afzonderlijke termen in dat rijtje steeds meer op

\(\frac{1}{\log n}\)

gaan lijken. Lijkt me juist wel handig. Dat wil toch nog niet zeggen dat we de kans daarom meteen moeten reduceren tot een reëel getal? (wat 0 zou zijn)

[Bartjes]

Er is niets mis met de priemgetalstelling. Ik had alleen stilletjes gehoopt op een uitkomst waarmee de meerwaarde van infinitesimale kansen overduidelijk gedemonstreerd zou worden. Wel heb ik nog weer een aanvulling bedacht. Laat:

Ε = (1, 2, 3, 4, 5, ... , n, ...) .

Dan hebben we: E . ε = (1.1, 2.1/2, 3.1/3, 4.1/4, 5.1/5, ... , n.1/n, ...) = (1, 1, 1, 1, 1, ... , 1, ...) = 1 .

Zoals ε voor de kans op een willekeurig positief natuurlijk getal kan worden gebruikt, kan E als totaal aantal positieve natuurlijke getallen dienen.

Laat verder A(n) het aantal positieve natuurlijke getallen x ≤ n zijn die de eigenschap A bezitten. Dan geldt bij een voor de hand liggende generalisatie van A(n) en van de deling voor rijtjesgetallen, dat:

A(Ε) / Ε = (A(1), A(2), A(3), A(4), A(5), ... , A(n), ...) / (1, 2, 3, 4, 5, ... , n, ...) ,

A(Ε) / Ε = (A(1)/1, A(2)/2, A(3)/3, A(4)/4, A(5)/5, ... , A(n)/n, ...) .

Maar dit is juist de kans bij willekeurige trekking van een positief natuurlijk getal, een getal met eigenschap A te trekken. Deze kans kan nu dus ook worden berekend door direct het quotiënt van A(E) en E voor het oneindig grote rijtjesgetal E te nemen. Grappig!