Ordinale getallen voorbij de welordening van r?

[Bartjes]

Ik zal mijn vraag wat anders stellen:

De verzameling

\(\rr\)

van de reële getallen kan welgeordend worden. Ik weet dat er tot nog toe geen concrete welordening bekend is. Toch zou men wel zekere eigenschappen voor dergelijke welordeningen moeten kunnen afleiden. Niet alles voldoet immers. Waar kan ik daar meer over vinden?

[Phys]

De verzameling

\(\rr\)

[Dat betekent niet dat die welordening expliciet te geven is (met een formule). Sterker nog, het is consistent met ZFS+keuze-axioma+veralgemeende continuümhypothese dat zo'n formule niet te geven is. Een review van het artikel waarin dat wordt aangetoond is hier te vinden.]

Ik kan je verder niet helpen, want ik heb voorlopig nog te weinig kennis van deze materie. Wellicht staat hier of hier iets nuttigs voor je, en in het algemeen de resultaten van deze zoektocht.

[Bartjes]

Dank voor je reactie. Ik ben nu al een tijdje op zoek. Over de cardinaliteit van de verzameling der reële getallen is vrij veel bekend. Over de mogelijke welordeningen van de reële getallen kan ik echter bijna niets vinden. Inderdaad zijn veel van dergelijke zaken uitgaande van ZFC onbeslisbaar. Zoals bijvoorbeeld de Continuum Hypothese. Dat welordeningen van

\(\rr\)

maar ook van veel grotere verzamelingen bestaan kunnen we echter wel bewijzen. Maar een formule zit er kennelijk niet in. Wat ik me dan afvraag is hoeveel meer we daar nog van kunnen weten. Niet alles kan immers voor een welordening door gaan.

Verder ga ik er van uit dat ZFC nog niet "af" is, en er nog extra axioma's bij moeten. Welke weet ik niet. Ook zou het kunnen dat het gebrek hem niet in de axioma's zit, maar in de gebruikte bewijsmethoden.

Het naspeuren van en discussiëren over zulke zaken is een geschikte methode om in korte tijd veel bij te leren.

Vraag voor PeterPan: hoe verhoudt je bewering dat

\(\rr\)

en de klasse van alle ordinaalgetallen gelijkmachtig zijn, zich tot de Continuum Hypothese?

[PeterPan]

Vraag voor PeterPan: hoe verhoudt je bewering dat

\(\rr\)

en de klasse van alle ordinaalgetallen gelijkmachtig zijn, zich tot de Continuum Hypothese?

Die twee zaken hebben niets met elkaar gemeen. Als ik in het weekend tijd heb zal ik een bewijs geven dat de verzameling van ordinaalgetallen gelijkmachtig is met

\(\rr\)

. Daarvoor moet je wel de "cursus" begrijpen.

[Bartjes]

Die twee zaken hebben niets met elkaar gemeen. Als ik in het weekend tijd heb zal ik een bewijs geven dat de verzameling van ordinaalgetallen gelijkmachtig is met

\(\rr\)

. Daarvoor moet je wel de "cursus" begrijpen.

Ik ben heel benieuwd! Ik neem aan dat je zowel de cardinaal- als de ordinaalgetallen door middel van equivalentieklassen definieert?

[Bartjes]

We kunnen de ordinaalgetallen gebruiken om de elementen van welgeordende verzamelingen te nummeren. Zie:

http://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_numbe...ses_of_ordinals

Omdat de verzameling

\(\mathcal{P}\)

(

\(\rr\)

) welgeordend kan worden, kunnen we de ordinaalgetallen dus ook gebruiken om de elementen van de verzameling

\(\mathcal{P}\)

(

\(\rr\)

) te nummeren. De verzameling

\(\mathcal{P}\)

(

\(\rr\)

) bevat volgens Cantor's Theorema:

http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_theorem

méér elementen dan de verzameling

\(\rr\)

. Er zijn dus ook meer ordinaalgetallen dan reële getallen. Een bijectie tussen de klasse van alle ordinaalgetallen en

\(\rr\)

is dus niet mogelijk.

[Bartjes]

Op de website van Andrés Eduardo Caicedo is het nodige te vinden over welordeningen van de reële getallen. Zie hier:

http://math.boisestate.edu/~caicedo/

Helaas blijkt het een zeer specialistisch onderwerp. Waar veel beschouwingen over de kardinaliteit van het continuum voor niet-specialisten nog wel te volgen zijn, is dat hier niet meer het geval. Jammer, maar helaas...