Vermenigvuldigen van natuurlijke getallen

[hendrik h]

Je 'logica' is niet consistent. Ik ga de volgende verdeelsleutel gebruiken. Oneven getallen stop ik in verzameling 1. Als ik het oneven getal k in verzameling 1 stop, dan stop ik het even getal (2*k) in verzameling 2 en het getal (2*k+2) in verzameling 3. Op deze manier verdeel ik alle natuurlijke getallen in 3 verzamelingen met evenveel elementen. Nu zou jij, volgens jouw logica, moeten zeggen dat er dus

\(\frac{\infty}{3}\)

natuurlijke getallen in elke verzameling zitten. De eerste verzameling is echter de verzameling van oneven natuurlijke getallen en daar had je al een ander aantal voor bedacht.

EvilBro, ik kan beter met je discussiëren, dat natuurlijke getallen verdelen.

Verzameling 1: k = 1, 3, 5, 7, 9, 11, enz

Verzameling 2: 2*k = 2, 6, 10, 14, 18, 22, enz

Verzameling 3: 2*k + 2 = 4, 8, 12, 16, 20, 24, enz

Volgens mij zitten alle oneven natuurlijke getallen in verzameling 1. Het aantal is 1/2*

\(\infty\)

Volgens mij zitten de helft van de even natuurlijke getallen in verzameling 2. Het aantal is 1/2*1/2*

\(\infty\)

In verzameling 3 zit ook een helft van de even natuurlijke getallen. Het aantal is 1/2*1/2*

\(\infty\)

.

Omdat deze aantallen van dezelfde orde van grootte zijn kan ik ze optellen:

1/2*

\(\infty\)

+ 1/2*1/2*

\(\infty\)

+ 1/2*1/2*

\(\infty\)

= 1*

\(\infty\)

[hendrik h]

Ik heb begrepen, dat ik een bericht in 15 minuten moet maken.

De drie voorbeelden geven in 15 minuten lukt mij niet. Daarom maak ik 3 berichten.

Ik wil zoveel mogelijk samengestelde natuurlijke getallen scheiden van de priemgetallen.

Alle natuurlijke getallen {n}=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, .......N........... Het aantal is

\(\infty\)

Ik ga deze getallen verdelen in 2 kolommen a en b. Ik a komen de oneven en in b de even getallen. Ik neem 0 niet mee.

a b

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11 12

De getallen in kolom b zijn allemaal deelbaar door 2. Ook 2 is deelbaar door 2. Omdat 2 een priemgetal is noteer ik 2 apart en laat de veelvouden van 2 weg. Ik heb een kolom met alle oneven getallen.

Het is een rekenkundige rij {o}= 1, 3, 5, o = 2*n +1 met 1 =0, 1, 2, 3, ... ,

\(\infty\)

De kolom met oneven getallen bevat priemgetallen en samengestelde getallen. Geen van beide getallen vallen op.

Volgende bericht

[hendrik h]

Tweede bericht.

Alle natuurlijke getallen {n}=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, .......N........... Het aantal is

\(\infty\)

Ik ga deze getallen verdelen over 6 kolommen a, b, c, d, e, en f. 6 = 2 x 3, het product van de twee kleinste priemgetallen. De natuurlijke getallen worden op volgorde verdeeld over de kolommen.

a b c d e f

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30

31 32 34 35 36 37

In de kolommen b, d, e en f staan alleen veelvouden van 2. In kolom c staan alleen veelvouden van 3. De kolommen b, c, d en f kan ik weglaten omdat daar, afgezien van 2 en 3 geen priemgetallen liggen. Deze twee priemgetallen zet ik even apart.

Het resultaat na het weglaten van de veelvouden van 2 en 3 is:

a e

1 5

7 11

13 17

19 23

25 29

31 37

In deze twee kolommen staan alle priemgetallen uitgezonderd 2 en 3. Er staan ook nog samengestelde getallen in.



Noch de priemgetallen noch de samengestelde getallen vallen op.

[hendrik h]

Derde bericht.

Alle natuurlijke getallen {n}=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, .......N........... Het aantal is

\(\infty\)

Ik ga deze getallen over 30 kolommen verdelen. Ik verdeel ze op volgorde.

30 = 2*3*5, de drie kleinste priemgetallen.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 76 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

( Als getal a deelbaar is door c en getal b is deelbaar door c dan is (a + b) deelbaar door c.

c is hier 30 en 30 is deelbaar door 2 en 3 en 5.)



De getallen in een kolom waarin het eerste getal deelbaar is door 2, zijn allemaal veelvouden van 2.

De getallen in een kolom waarin het eerste getal deelbaar is door 3, zijn allemaal veelvouden van 3.

De getallen in een kolom waarin het eerste getal deelbaar is door 5, zijn allemaal veelvouden van 5.

Na het weglaten van de veelvouden van 2, 3 en 5 blijven de volgende getallen over.

De priemgetallen 2, 3 en 5 en

1 7 11 13 17 19 23 29

31 37 41 43 47 49 53 59

61 67 71 73 77 79 83 87

91 97

Ik zet ook getal 1 en 7 in de aparte rij. Dan staan alle priemgetallen van één cijfer met getal 1 apart.

11 13 17 19 23 29 31 37

41 43 47 49 53 59 61 67

71 73 77 79 83 89 91 97 aangevuld met

101 103 107 109 113 119 121 127

131 133 137 139 143 149 151 157

Het verschillen tussen de getallen op een rij zijn voor ieder rij hetzelfde.

2, 4, 2, 4, 6, 2, 6 en tussen het laatste getal van een rij en het eerste getal van de volgende rij is 4.

Vanaf (11, 13) liggen er drie priemparen in een rij en de priemparen liggen onder elkaar. De getallen van het betreffende paar moeten dan beide priem zijn.

Let wel op in deze 8 kolommen liggen alle priemgetallen met een aantal samengestelde getallen.

Er kunnen dus maximaal 8 priemgetallen in 30 opeenvolgende getallen liggen.

Deze matrix is uit te breiden met alle natuurlijke getallen.

In een volgend bericht zal ik laten zien, dat de veelvouden van de priemgetallen in vaste patronen liggen.

[EvilBro]

Verzameling 1: k = 1, 3, 5, 7, 9, 11, enz

Verzameling 2: 2*k = 2, 6, 10, 14, 18, 22, enz

Verzameling 3: 2*k + 2 = 4, 8, 12, 16, 20, 24, enz

Volgens mij zitten alle oneven natuurlijke getallen in verzameling 1. Het aantal is 1/2*

\(\infty\)

Volgens mij zitten de helft van de even natuurlijke getallen in verzameling 2. Het aantal is 1/2*1/2*

\(\infty\)

In verzameling 3 zit ook een helft van de even natuurlijke getallen. Het aantal is 1/2*1/2*

\(\infty\)

.

Dit kan echter niet. In alle drie de verzamelingen zitten evenveel elementen. Je kan niet ervoor kiezen om dit even anders te beschouwen puur omdat je anders je verkeerde conclusie niet meer kunt handhaven.

[Drieske]

Het nut van je voorbeelden ontgaat mij eerlijk gezegd... Verder bevat je tweede voorbeeld sowieso een fout. Je zegt

a b c d e f

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30

31 32 34 35 36 37

In de kolommen b, d, e en f staan alleen veelvouden van 2. In kolom c staan alleen veelvouden van 3. De kolommen b, c, d en f kan ik weglaten omdat daar, afgezien van 2 en 3 geen priemgetallen liggen. Deze twee priemgetallen zet ik even apart.

Het resultaat na het weglaten van de veelvouden van 2 en 3 is:

a e

1 5

7 11

13 17

19 23

25 29

31 37

Dit klopt niet. De vetgedrukte 37 staat in de zesde kolom (de f-kolom) en moet een 36 zijn. Dus heb je niet alle priemgetallen met kolom 1 en 5.

EDIT: misgekeken. Die 37 klopt inderdaad niet, maar dit komt doordat je 33 in je eerste tabel bent vergeten. Bijgevolg komt 37 op de volgende rij te staan. En moet 37 eigenlijk 35 zijn.

Verder denk ik dat je je best eens verdiept in de kardinaliteit van verzamelingen. Want je begaat helaas, zoals al eerder gezegd, een paar fouten hiertegen. Dus: ken je het begrip bijectie? En ben je het er mee eens dat als ik een bijectie tussen een verzameling A en een verzameling B kan leggen, dat dan verzameling A en B evenveel elementen hebben? Voor een intuïtievere aanpak hierrond, zie de post van 317070.

[Drieske]

De vraag ivm offline berichten typen is verplaatst naar dit topic.

[Bartjes]

Gegeven de rij van natuurlijke getallen (exclusief 0):

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ... .

Halen we daar telkens de getallen op even posities uit weg dan krijg je de onderstaande rijen:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ... ;

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, ... ;

1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, ... ;

1, 9, 17, 25, 33, 41 49, ... ;

Etc.

De rode getallen vormen nu wéér een oneindige rij natuurlijke getallen:

1, 3, 9, 25, ... ;

die intuïtief een kleinere fractie van de natuurlijke getallen zou moeten bevatten dan elk van de bovenstaande rijen.

Als we nu door positieve reële getallen zouden willen aangeven welke fracties van de natuurlijke getallen in de rijen zitten, zouden we intuïtief gesproken krijgen:

1 voor:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ... ;

1/2 voor:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, ... ;

1/2 . 1/2 voor:

1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, ... ;

1/2 . 1/2 . 1/2 voor:

1, 9, 17, 25, 33, 41 49, ... ;

Etc.

Dus zou de fractie voor de rij:

1, 3, 9, 25, ... ;

intuïtief kleiner moeten zijn dan 1, dan 1/2, dan 1/2 . 1/2, dan 1/2 . 1/2 . 1/2, enz. Binnen de reële getallen kom je dan op nul, wat geen intuïtief bevredigende uitkomst is.

Uit bovenstaande volgt dat het door de topic starter begonnen project binnen de reële getallen tot mislukken gedoemd is. Er zijn wel mogelijkheden wanneer we gebruik mogen maken van een uitbreiding van het reële getallensysteem (met infinitesimalen) of van alternatieve vormen van waarschijnlijkheidsrekening.

[hendrik h]

Gegeven de rij van natuurlijke getallen (exclusief 0):

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ... .

Halen we daar telkens de getallen op even posities uit weg dan krijg je de onderstaande rijen:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ... ;

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, ... ;

1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, ... ;

1, 9, 17, 25, 33, 41 49, ... ;

Etc.

De rode getallen vormen nu wéér een oneindige rij natuurlijke getallen:

1, 3, 9, 25, ... ;

die intuïtief een kleinere fractie van de natuurlijke getallen zou moeten bevatten dan elk van de bovenstaande rijen.

Jouw conclusie dat de rode getallen weer een oneindige rij vormen is fout.

Je begint met de natuurlijke getallen. Dat zijn er

\(\infty\)

.

Daarna laat je de helft weg. Je houdt dan over:

\(\infty\)

- 1/2*

\(\infty\)

= 1/2*

\(\infty\)

Met deze rij gaat je verder. Dit zijn 1/2*

\(\infty\)

getalen plus 1 en dat is geen

\(\infty\)

.

Dus je kan geen oneindig lange rij vormen.

Je kan zeggen de berekening is fout.

Dat zal ik even uitleggen waarom ik gelijk heb.

Er zijn afrondingen van de eerste orde, tweede orde en hoger orden.

Er zijn fouten van de eerste orde, tweede orde en hoger orden.

Ik neem de functie f(n) = n³ + n² + n +7 op het gebied 1, 2, ....1000.

Als n = 1000 dan is 1000³ >>1000² >>1000 >>7.

Als ik 7 weglaat maak ik een erg kleine fout. Laat ik 1000 weg dan maak ik een fout. En 1000² zou ik niet weglaten omdat ik dan met een heel andere functie krijgt.

\(\infty\)

is ontzettend groot.

Als ik bij het berekenen van

\(\infty \)

-1000 de 1000 weg laat dan maakt ik een zeer kleine fout.

Als ik bij

\(\infty\)

- 1/2*

\(\infty\)

de 1/2*

\(\infty\)

weg laat dan maak ik een fout van 50%.

Ik reken met oneindig als de getallen die van oneindig afgetrokken worden dezelfde orde van grootte hebben.

Het aantal natuurlijke getallen is

\(\infty\)

.

Het aantal even natuurlijke getallen is 1/2*

\(\infty\)

Het aantal veelvouden van 5 van de natuurlijke getallen is 1/5*

\(\infty\)

.

Zo kan ik er nog een paar opnoemen. Ik houd me wel aanbevolen voor andere grote getallen in de orde van

\(\infty\)

[hendrik h]

De natuurlijke getallen kunnen gebruikt worden om te tellen. Je begint bij 0 en je kan tot

\(\infty\)

gaan. De afstand tussen twee opeenvolgende getallen is steeds 1 dus

\(\infty\)

*1 =

\(\infty\)

.

Dat is de grootte van het interval waarop alle natuurlijke getallen liggen.

Stel het is een hotel met

\(\infty\)

aantal kamers. De eerste kamer heeft getal 0, de tweede kamer 1, de derde kamer 2 enz. De laatste kamer heeft nummer

\(\infty\)

, de één voorlaatste heeft nummer

\(\infty\)

- 1 en de twee voorlaatste kamer heeft nummer

\(\infty\)

- 2.

Per axioma zijn er

\(\infty\)

kamers. Kamernummer

\(\infty\)

+1 bestaat niet.

Zeg nu niet kamernummer

\(\infty\)

-5 is net groot als kamernummer

\(\infty\)

-1 dus dit zijn dezelfde kamers.

Dan de grootte van

\(\infty\)

.

\(\infty\)

is groter dan het grootste getal. Dus

\(\infty\)

-1000 is

\(\infty\)

zonder een grote fout te maken.

De helft van de natuurlijke getallen is even. Om de 5 natuurlijke getallen zijn deelbaar door 5.

Het aantal natuurlijke getallen is

\(\infty\)

.

Het aantal even natuurlijke getallen is 1/2*

\(\infty\)

.

Het aantal veelvouden van 5 in de natuurlijke getallen is 1/5*

\(\infty\)

.

Dus als iemand gaat roepen allemaal een kamer opschuiven, want er komt nog een gast erbij, weet niet wat voor onzin hij uithaalt.

[hendrik h]

Het nut van je voorbeelden ontgaat mij eerlijk gezegd... Verder bevat je tweede voorbeeld sowieso een fout. Je zegt

Dit klopt niet. De vetgedrukte 37 staat in de zesde kolom (de f-kolom) en moet een 36 zijn. Dus heb je niet alle priemgetallen met kolom 1 en 5.

EDIT: misgekeken. Die 37 klopt inderdaad niet, maar dit komt doordat je 33 in je eerste tabel bent vergeten. Bijgevolg komt 37 op de volgende rij te staan. En moet 37 eigenlijk 35 zijn.

Verder denk ik dat je je best eens verdiept in de kardinaliteit van verzamelingen. Want je begaat helaas, zoals al eerder gezegd, een paar fouten hiertegen. Dus: ken je het begrip bijectie? En ben je het er mee eens dat als ik een bijectie tussen een verzameling A en een verzameling B kan leggen, dat dan verzameling A en B evenveel elementen hebben? Voor een intuïtievere aanpak hierrond, zie de post van 317070.

Bedankt voor de correcties. Het valt niet mee om online veel cijfers foutloos te typen.

Ik heb mij in de ideeën van Cantor verdiept. Bij een bijectie wordt iedere element van de ene verzameling afgebeeld op slecht één element van de andere verzameling.

Volgens mij zijn er

\(\infty\)

natuurlijke getallen. Dus de kardinaliteit is

\(\infty\)

.

Er zijn 1/2*

\(\infty\)

even getallen. De kardinaliteit is 1/2*

\(\infty\)

Wil je aangeven hoe je alle beeldlijnen tekent om om een bijectie te maken?

[Bartjes]

Jouw conclusie dat de rode getallen weer een oneindige rij vormen is fout.

Als die rij niet oneindig veel getallen bevat, waren er om te beginnen al geen oneindig aantal "verdunde" rijen. Anders zouden we de rij rode getallen immers gewoon kunnen vormen door de getallen op de diagonaal te nemen. En als er geen oneindig aantal verdunde rijen waren, is het kennelijk niet steeds mogelijk om bij een oneindige rij de getallen op even posities weg te laten, om daarmee een verder verdunde oneindige rij getallen te krijgen...

Ik zie geen enkele reden waarom dit spaak zou lopen, en daarom acht ik mijn redenering ook geldig. Bovendien ben ik zeer benieuwd na de hoeveelste rij mijn procedure van verdunning volgens jou niet meer lukt, en waarom precies daar?

Je gegoochel met symbolen vormt geen tegenbewijs, daarvoor zou je je theorie eerst wiskundig verantwoord moeten opbouwen. Je zult mij niet horen zeggen dat dit onmogelijk is, maar als het je lukt zal er naar alle waarschijnlijk iets uitkomen dat naast de standaard benadering staat, en er géén weerlegging voor levert. Ongeveer zoals het bestaan van voetbal geen weerlegging van dammen vormt.

[hendrik h]

Als die rij niet oneindig veel getallen bevat, waren er om te beginnen al geen oneindig aantal "verdunde" rijen. Anders zouden we de rij rode getallen immers gewoon kunnen vormen door de getallen op de diagonaal te nemen. En als er geen oneindig aantal verdunde rijen waren, is het kennelijk niet steeds mogelijk om bij een oneindige rij de getallen op even posities weg te laten, om daarmee een verder verdunde oneindige rij getallen te krijgen...

Ik zie geen enkele reden waarom dit spaak zou lopen, en daarom acht ik mijn redenering ook geldig. Bovendien ben ik zeer benieuwd na de hoeveelste rij mijn procedure van verdunning volgens jou niet meer lukt, en waarom precies daar?

Je gegoochel met symbolen vormt geen tegenbewijs, daarvoor zou je je theorie eerst wiskundig verantwoord moeten opbouwen. Je zult mij niet horen zeggen dat dit onmogelijk is, maar als het je lukt zal er naar alle waarschijnlijk iets uitkomen dat naast de standaard benadering staat, en er géén weerlegging voor levert. Ongeveer zoals het bestaan van voetbal geen weerlegging van dammen vormt.

Schrijf de getallen 1 t/m 32 op een rij.

Schrijf er onder de getallen die overblijven als je de getallen op de even positief weglaat.

Na 4 of 5 keer heb je nog één getal. Tel de rode getallen op en tel uit je winst.

[Bartjes]

Stel het is een hotel met

\(\infty\)

aantal kamers. De eerste kamer heeft getal 0, de tweede kamer 1, de derde kamer 2 enz. De laatste kamer heeft nummer

\(\infty\)

, de één voorlaatste heeft nummer

\(\infty\)

- 1 en de twee voorlaatste kamer heeft nummer

\(\infty\)

- 2.

Dat is niet de bedoeling. Jouw voorstelling correspondeert met een oneindig lang hotel met aan de ene kant van de gang de kamers met de nummers 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... en aan de andere kant van de gang de kamers met nummers ∞, ∞-1, ∞-2, ∞-3, ∞-4, ∞-5, ... . Als je nu iedereen aan beide kanten van de gang (in tegengestelde richting) één plaats laat opschuiven komt er aan de ene kant van de gang een kamer vrij en aan de andere kant een kamer tekort. Maar Hilberts hotel werkt in essentie maar met één kant van de gang. Als je de gasten in kamer 1 naar kamer 2 stuurt, die in kamer 2 naar kamer 3, etc. krijg je wel een kamer vrij.

Voor de wiskundige kant van deze zaak moet je je verdiepen in ordetypen:

http://mathworld.wolfram.com/OrderType.html

En daar laat ik het bij. De kans dat je op dit gebied verder komt wanneer je kritiek niet serieus neemt is nihil.

[Drieske]

Bij deze ook een oproep aan hendrik h om een paar van voorgaande reacties inhoudelijk goed door te nemen. Een discussie is enkel mogelijk indien men bereid is om bij te leren en vooral om in te gaan op inhoud. Blijft men hier blind voor, zal er helaas een slotje volgen voor dit topic.