Logaritme en ln

[Safe]

nee, nog niet met die definitie, die is voor mij compleet nieuw

Ok, dat is op dit moment geen probleem. Behalve dan dat je op deze manier het getal a, wat we voortaan (internationaal) als e zullen noteren, definieert.

Maw de functie e^x heeft als afgeleide in x=0 de waarde 1, raaklijn in dat punt heeft rc 1.

Dit heeft als gevolg dat de functie f(x)=e^x als afgeleide functie f'(x)=e^x, maw we hebben een functie waarvan de afgeleide de functie zelf is.

Laten we eens uitgaan van deze eigenschap:

f'(x)=f(x)

We beginnen met f(x)=1+x => f'(x)=1

aanpassen geeft: f(x)=1+x+x²/2 => f'(x)= 1+x

aanpassen ...

Nu jij!

[datenshi]

Ok, dat is op dit moment geen probleem. Behalve dan dat je op deze manier het getal a, wat we voortaan (internationaal) als e zullen noteren, definieert.

Maw de functie e^x heeft als afgeleide in x=0 de waarde 1, raaklijn in dat punt heeft rc 1.

Dit heeft als gevolg dat de functie f(x)=e^x als afgeleide functie f'(x)=e^x, maw we hebben een functie waarvan de afgeleide de functie zelf is.

Laten we eens uitgaan van deze eigenschap:

f'(x)=f(x)

We beginnen met f(x)=1+x => f'(x)=1

aanpassen geeft: f(x)=1+x+x²/2 => f'(x)= 1+x

aanpassen ...

Nu jij!

hier volg ik het niet echt

wat bedoel je precies met 'aanpassen'?

en hoe ben je aan de afgeleide van f(x)=1+x+x²/2 gekomen? f(x)=1+x+x² zou lukt mij wel, maar f(x)=1+x+x²/2 niet

[Safe]

en hoe ben je aan de afgeleide van f(x)=1+x+x²/2 gekomen? f(x)=1+x+x² zou lukt mij wel, maar f(x)=1+x+x²/2 niet

Dat meen je niet, hoe lees jij x²/2 ?

[datenshi]

Dat meen je niet, hoe lees jij x²/2 ?

als x² delen door 2

[Safe]

Ok, dan kan je toch de afgeleide bepalen ...

Wat bedoel ik met aanpassen, dat we streven naar f(x)=f'(x)

We beginnen met:

f'(x)=1 => f(x)=1+x

f'(x)=1+x => f(x)=1+x+x²/2

...

[datenshi]

Ok, dan kan je toch de afgeleide bepalen ...

Wat bedoel ik met aanpassen, dat we streven naar f(x)=f'(x)

We beginnen met:

f'(x)=1 => f(x)=1+x

f'(x)=1+x => f(x)=1+x+x²/2

...

f'(x)=1+x+x²/2 => f(x)=1+x+x²+x³/6

zo ver kom ik, anders zou ik het niet weten

[Safe]

Mooi, kan je nog een stap verder gaan?

[datenshi]

f'(x)=1+x+x²+x³/6 => f(x)=1+x+x²+x³/3+x⁴/24

Het lijkt mij dat de formule steeds langer wordt

[Safe]

Dat klopt.

Alleen moet het zijn: f(x)=1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+...=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+...

Wat is nu: f'(x)=...

Kan je nu een algemene vorm geven?

Opm: schrijf ook met Latex.

[datenshi]

ik heb een beeld van de algemene vorm, maar ik weet de notatie daarvan niet

en wat houden die uitroeptekens precies in? zo'n notatie heb ik nog nooit geleerd

de algemene vorm lijkt me zoiets als:

\(f(x)=1+x^n/n!\)

maar ik weet niet hoe je dan noteert dat het stukje '

\(x^n/n!\)

' zich dan steeds herhaalt voor iedere waarde van n

is het voor de afgeleide iets zoals:

\(f'(x)=x^{(n-1)}/(n-1)!\)

maar dan nog met die herhaling waarvan ik niet weet hoe ik het moet noteren?

[Safe]

ik heb een beeld van de algemene vorm, maar ik weet de notatie daarvan niet

en wat houden die uitroeptekens precies in? zo'n notatie heb ik nog nooit geleerd

de algemene vorm lijkt me zoiets als:

\(f(x)=1+x^n/n!\)

maar ik weet niet hoe je dan noteert dat het stukje '

\(x^n/n!\)

' zich dan steeds herhaalt voor iedere waarde van n

is het voor de afgeleide iets zoals:

\(f'(x)=x^{(n-1)}/(n-1)!\)

maar dan nog met die herhaling waarvan ik niet weet hoe ik het moet noteren?

en wat houden die uitroeptekens precies in?

Ken je de notatie (bv) 5! niet? Uitspraak: 5 faculteit. Definitie: 5!= 1*2*3*4*5 en 0!=1.

Je RM/GRM heeft er een toets voor ... , ga na wat 0! is

Ken je het somteken ... ?

\(\sum_{k=1}^5 k=1+2+3+4+5\)

Afgezien hiervan,

Heb je door dat f(x)=f'(x) voor alle x?

Nu 'de klap op de vuurpijl', deze functie noemen we nu per definitie e^x, dus:

\(e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}\)

Bereken e nu eens in 4 decimalen ...