[wiskunde] integralen / integreren

[EvilBro]

zie hier en hier.

Je zou dus op (ln(4)-ln(3)) uit moeten komen.

[Antoon]

daar kwam ik ook op uit, dat zit dus goed. nu wil ik even iets controleren.

Ik moest op mijn proefwerk de oppervlakte onder een bijzondere boog uitrekenen.

de boog bestond uit 2 delen van een cirkel die tegen elkar gezet zijn.

het was zo:



hij bestaat dus uit 2 delen van een zelfde cirkel. de cirkel had een straal van 6 dus het laat zich beschrijven met (het eerst deel)

y= 36-(x-6)²

de oppervlakte onder deze bogen was volgens mij (als ik het dus begrepen heb)



omdat het geheel 6 breed was (het middel punt van 1 deel van de bogen zat dus aan de onderkant van de andere)

dit heb ik door mijn rekenmachine laten oplossen en kwam op 22.11 uit.

Heb ik nou juist niets begrepen van intergreren of juist wel?

[TD]

Voor zover ik de opgave begrepen heb (en de juiste grenzen heb genomen) ziet het er goed uit. Exact kom ik op 12 - 9[wortel]3.

[Antoon]

hoe kom je aan de exacte oplossing?

[TD]

Door het niet in een GRM te steken maar effectief te integreren (niet numeriek benaderen).

In dit geval zou dat met een goniometrische substitutie gaan.

Ik zou dan wel met de andere cirkelboog werken en die van 3 tot 6 integreren, dat is y = (36-x²).

Edit: ik heb het een beetje voor je uitgeschreven.

[Antoon]

in die arcsin kan ik wel inkomen nu. (frapant) maar met substitutie methodes voor intergratie ben ik niet bekend

[TD]

Vooraleer je integralen via goniometrische substitutie gaat bepalen zou je natuurlijk best al bekend zijn met 'gewone' (i.e. eenvoudigere) substituties. Het idee is dat via het invoeren van een nieuwe variabele, de integraal makkelijker te bepalen wordt.

Enkele voorbeelden:

(2x+1)/(x²+x-4) dx

stel y = x²+x-4 dy = 2x+1 dx

=> dy/y = ln(y) + c => ln(x²+x-4) + c

[int]x e^x² dx

stel y = x² dy = 2xdx 1/2 dy = xdx

=> 1/2 e^y dy = 1/2e^y + c => 1/2e^x² + c

cos(x) sin²(x) dx

stel y = sin(x) dy = cos(x) dx

=> y² dy = y³/3 + c => sin³(x)/3 + c

Bij jouw integraal kiezen we die substitutie zodanig dat we onder de wortel kunnen gebruik maken van 1-sin²x = cos²x om dan de vierkantwortel kwijt te spelen.

[Koen2704]

Wat is de primitieve van (1/cos(x))dx en hoe berekent men die?

[TD]

Zie hier.

[Koen2704]

Wat is de primitieve van 1/(x*wortel(1-x^4) en hoe berekent men die ?

[TD]

Wat is de primitieve van 1/(x*wortel(1-x^4) en hoe berekent men die ?

Dat kan bijvoorbeeld met deze substitutie, het eindresultaat is evt. nog wat te herschrijven.

[kans]

cos (x)/ (2+ sin (x))

[ln (2+sin (x))]

maar ik snap dit niet eigenlijk, hoe is dit zo gekomen?

[EvilBro]

cos (x)/ (2+ sin (x))  

[ln (2+sin (x))]

maar ik snap dit niet eigenlijk, hoe is dit zo gekomen?

kettingregel:

afgeleide ln(f(x)) naar x = (1/(f(x)))*f'(x)

afgeleide (2+sin(x)) naar x = cos(x)

[TD]

De kettingregel geldt natuurlijk voor het afleiden en je moet dus oppassen met het gewoon in de omgekeerde richting te gebruiken o.i.d.

Substitutie: y = 2+sin(x) dy = cos(x) dx

=> dy/y = ln|y| + C = ln|2+sin(x)| + C

[kans]

De kettingregel geldt natuurlijk voor het afleiden en je moet dus oppassen met het gewoon in de omgekeerde richting te gebruiken o.i.d.

Substitutie: y = 2+sin(x) dy = cos(x) dx

=> dy/y = ln|y| + C = ln|2+sin(x)| + C

ja, formule kaart zegt ook,

1/x

ln |x|+c

maar omdat mijn teller niet 1 is, dacht ik... ja... ik wist niet hoe ik