reeks priemgetallen convergeert naar e/4

[317070]

Of - naar ik nu zie - nog algemener. Maar laten we het even op bovenstaande houden. Hoe zou je dat dan bewijzen zonder bijvoorbeeld naar priemgetallen te verwijzen?

Constructie: je telt getallen op tot je strikt groter bent, en dan trek je af tot je strikt kleiner bent.

Bewijs van constructie:

1) Vermits de positieve reeks divergeert, komt er na ieder punt waar je strikt groter bent, een punt waarop je weer strikt kleiner bent.

2) Op het moment dat je net weer omkeert van teken, is de afwijking kleiner dan of gelijk aan het laatste getal. De afwijking blijft kleiner dan of gelijk aan de het laatste getal totdat het teken weer omkeert.

3) de rij van getallen convergeert naar 0

4) uit 2 en 3 volgt dat de afwijking convergeert naar 0, vermits ze positief is en kleiner is dan de rij van getallen die ook naar nul convergeren.

5) als de afwijking convergeert naar nul, wordt een getal willekeurig dicht benaderd.

[Bartjes]

Constructie: je telt getallen op tot je strikt groter bent, en dan trek je af tot je strikt kleiner bent.

Bewijs van constructie:

1) Vermits de positieve reeks divergeert, komt er na ieder punt waar je strikt groter bent, een punt waarop je weer strikt kleiner bent.

2) Op het moment dat je net weer omkeert van teken, is de afwijking kleiner dan of gelijk aan het laatste getal. De afwijking blijft kleiner dan of gelijk aan de het laatste getal totdat het teken weer omkeert.

3) de rij van getallen convergeert naar 0

4) uit 2 en 3 volgt dat de afwijking convergeert naar 0, vermits ze positief is en kleiner is dan de rij van getallen die ook naar nul convergeren.

5) als de afwijking convergeert naar nul, wordt een getal willekeurig dicht benaderd.

Met het rood gemarkeerde deel heb ik moeite wanneer je niet van een monotoon dalende rij termen uitgaat.

Het zou best kunnen dat de afwijking op zeker punt kleiner dan of gelijk aan 1/10 (het laatste getal) is, en je dan te maken krijgt met een volgende term ter grote van 100.000. Of je die nu optelt of aftrekt, de afwijking gaat dan beslist veel groter dan 1/10 worden.

[John57]

Als je nu zo'n reeks als deze hebt , hoe kun je dan achter de functie komen die deze reeks beschrijft?

Helaas ben ik niet zo wiskundig begaafd dat ik dit kan. Sterker nog ik weet niet eens of het wel mogelijk is gezien de wisselende tekens.

Verder had ik een vraagje: is er iemand die deze reeks zoals in de bijlage gegeven eens verder kan doorrekenen en het resultaat hier op de site vermelden.

Ook zit ik me af te vragen of deze reeks iets zegt over de verdeling van de priemgetallen. Op de een of andere wijze lijkt me dit bijna onvermijdelijk gezien het feit dat hij alleen uit priemgetallen bestaat.

B.v.d.,

John57

[Bartjes]

@ John57.

Het is me niet duidelijk wat je wilt. Is het zo dat je een oneindige reeks in gedachten hebt waarvan je wilt weten of deze convergeert, en zo ja wat dan de limiet is? Ik heb je bijlage bekeken maar kon er geen wijs uit worden.

Je hoeft ook niet per se een formule te hebben, een constructie (d.w.z. een regel waarmee je de opeenvolgende termen van de reeks kunt vinden) is ook goed. Probeer nog eens zo duidelijk mogelijk te beschrijven over welke oneindige reeks je het wilt hebben.

[Bartjes]

@ John57.

Bedoel je deze reeks?

\( 1 \, + \, \sum_{i = 2}^{\infty} \frac{s_i}{p_i} \)

,

met:

\( s_i = (-1)^{\frac{p_i - 1}{2}} \)

,

en p_i is het i-de priemgetal.

[317070]

Het zou best kunnen dat de afwijking op zeker punt kleiner dan of gelijk aan 1/10 (het laatste getal) is, en je dan te maken krijgt met een volgende term ter grote van 100.000. Of je die nu optelt of aftrekt, de afwijking gaat dan beslist veel groter dan 1/10 worden.

Maar dan verandert het teken ook opnieuw, en dat wordt daar dus niet meer in meegerekend. De totdat is exclusief het moment waarop het omkeert. Dat er plots een 100.000 tussen zit is voor het bewijs dus geen enkel probleem.

Nu, wiskundig uitgeschreven zou het waarschijnlijk heel erg veel duidelijker zijn, maar daar ga ik even geen tijd in steken

[Bartjes]

Nu, wiskundig uitgeschreven zou het waarschijnlijk heel erg veel duidelijker zijn, maar daar ga ik even geen tijd in steken

Zo denk ik er ook over, het idee is inmiddels wel duidelijk en de bewijstechnische details zijn dan niet zo interessant meer.

We kunnen beter terugkeren naar de reeks van de topic starter om te zien hoe het daarmee gesteld is.

[loof]

<p>

Als je nu zo'n reeks als deze hebt , hoe kun je dan achter de functie komen die deze reeks beschrijft?

zoals aangetoond kan je iedere getal dat begint met 0, (en blijkbaar ook alle grotere getallen, zie post 317070) verkrijgen wanneer je als speling ofwel +/- gebruikt (in je excel) of als speling slechts bepaalde priemgetallen gebruikt (in je openingspost). In principe is er dus niet zo heel veel bijzonders aan, tenzij je de 'speling' in een regel (formule) weet te vatten. Zoals ik in mijn eerdere post ook al zei is dat nu juist de kunst en hetgeen wat het moeilijk of bijzonder maakt.

Helaas ben ik niet zo wiskundig begaafd dat ik dit kan. Sterker nog ik weet niet eens of het wel mogelijk is gezien de wisselende tekens.

Wisselende tekens zijn zeker mogelijk, bijvoorbeeld mbv (-1)^n voor de reeks in je openingspost.

Ook zit ik me af te vragen of deze reeks iets zegt over de verdeling van de priemgetallen. Op de een of andere wijze lijkt me dit bijna onvermijdelijk gezien het feit dat hij alleen uit priemgetallen bestaat.

Zolang er dus een vrije keus is in ofwel de te kiezen getallen, ofwel het gebruik van +/-, is ieder getal te vinden, en dus zegt het niets over de verdeling van priemgetallen. Wanneer je beide aan regels bindt, en er vindt nog steeds een duidelijke convergentie plaats, dan zou het wel iets over de verdeling zeggen.</p></p>

[John57]

@Bartjes.

Wat ik gedaan heb is alle hele positieve hele getallen genomen die niet deelbaar zijn door 2 ( 0,1,3,5,7,9,enz.)

Daarna heb ik er alle priemgetallen er uit gefilterd m.b.v. de gele blokjes met daarachter het nummer van het priemgetal. Het priemgetal heb ik vervolgens een plus of minteken meegegeven zoals het rood/groene veld aangeeft. Het getal dan daarna tot de macht -1 verheven en bij de voorgaande opgeteld. Aldus ontstaat er een reeks met alle priemgetallen en tekens die bepaald worden door de kolom rood/groene velden. Er is in deze reeksen geen sprake van een van een vrije keuze in het teken.

De reeks in de kolom die er naast staat is op dezelfde manier opgebouwd maar dan uit alle getallen die er overblijven. Dit is de verzameling N maar dan zonder priemgetallen en zonder even getallen.

Wat ik zou willen weten is of de reeksen convergeren en zo ja wat dan de limiet is.

Die mooie sigma's die je vermeld hebt kan ik niet lezen. I weet dat het een optelling van de losse termen is Maar weet niet hoe de termen te genereren. Het zou dan ook zomaar kunnen dat het inderdaad de bedoelde reeks omschrijft. Ik zal hier voor alle duidelijkheid de eerste termen vermelden.

Eerste reeks:

1 -3 5 -7 -11 13 17 -19 -23 29 -31 37 -41 53 61 -67 -71 73 -79 -83 89 97 101 -103

De tweede reeks: 9 -15 21 25 -27 33 -35 -39 45 49 -51 -55 57 -63 -75 77 81 85 -87 -91 93 -95 -99 105

[Bartjes]

@ John57.

Mijn bedoelde reeks is ook te schrijven als:

\( 1 + \frac{ -1 }{ 3 } + \frac{ 1 }{ 5 } + \frac{ -1 }{ 7 } + ... + \frac{s_n}{p_n} + ... \)

waarbij:

\( s_n = (-1)^{\frac{p_n - 1}{2}} \)

,

en p_n het n-de priemgetal is.

Dus alle termen waarvoor het priemgetal min 1 een viervoud is krijgen een plusteken, en de andere termen krijgen een minteken.

[John57]

Ook de plaats van de priemgetallen ligt vast.

Waar ik aan zit te denken is om eens te kijken of 1/1- de waarde uit de grafiek van deze reeks wellicht iets zeggen kan over de plaats van het priemgetal. Er is voor mij nog wel het een en ander te doen. Blijft leuk als hobby!!

Volgens mij is het zo dat hoe verder de priemgetallen uit elkaar liggen, het verschil in de grafiek tussen 2 punten ook steeds kleiner wordt. Ook maakt het volgens mij niet uit of dit verschil nu positief of negatief is. Hoe kleiner de relatieve verandering tussen twee punten, hoe verder de priemgetallen uit elkaar moeten liggen.

Verder had ik nog een vraag.

Waar/ hoe kan ik een goed programma vinden om dit soort grafieken zichtbaar te maken? Bij voorkeur gratis.

B.v.d.,

John57

[Bartjes]

Over de verdeling van de priemgetallen is al heel veel bekend. Ik zou ook niet te veel tegelijk overhoop halen.

Bekijk eerst eens of het aannemelijk is dat de eerste reeks een limiet heeft. Door een grafiekje te maken waarin je de som van de reeks uitzet tegen het aantal gebruikte termen moet je een indruk kunnen krijgen of de reeks convergeert. Het bewijs is dan nog weer een ander verhaal.

– Ben je het er overigens mee eens dat je eerste reeks door mijn formule uit berichtje #40 beschreven wordt?

[John57]

@Bartjes

Ik heb het even nagekeken maar deze kan het volgens mij niet zijn want in mijn reeks komen er op een zeker moment 4 mintekens achterelkaar. -199 -211 -223 en -227. Priemgetalnummers 47, 48, 49 en 50. Zo komen er ook vier positieve priemgetallen achterelkaar, 389, 397,401 en 409 met de nr. 77, 78, 79 en 80. Kijk ook eens naar de priemgetallen van 463 t/m 507, zijnde zeven stuks. Priemgetalnr. 93 t/m 98.

John57

[Bartjes]

Dus alle termen waarvoor het priemgetal min 1 een viervoud is krijgen een plusteken, en de andere termen krijgen een minteken.

Voor de priemgetallen 199, 211, 223 en 227 zijn 199-1=198, 211-1=210, 223-1=222, 227-1=226 geen van alle viervouden. Dus die moeten allemaal een min-teken krijgen.

Voor de priemgetallen 389, 397,401 en 409 zijn 389-1=388, 397-1=396, 401-1=400 en 409-1=408 alle viervouden. Dus die moeten allemaal een plus-teken krijgen.

[John57]

@Bartjes

Ik heb er nog eens naar gekeken en zie nu dat je gelijk hebt.

Soms dan wil dit soort dingen bij mij niet zo snel maar in ieder geval bedankt voor het verschaffen van het inzicht.

Zojuist keek ik nog naar die andere reeks en zag dat daar de mintekens verschijnen als "het getal uit de reeks +1" een viervoud is. Wel grappig om te zien dat er nu een +1 van belang is. Toch een soort van spiegeling.

Verder verbaast het me dat je de reeks zo snel herkend hebt. Ik zit me nu af te vragen of deze reeks "bekend" is en wie deze voor het eerst gepubliceerd heeft? Wellicht heeft de reeks een naam?

Wat ik zeker doen zal is dat grafiekje maken zoals jij dat hebt voorgesteld. Heb nog mm-papier van het formaat A3 liggen.

Blijft de vraag over het programma open staan, heb jij misschien info hierover?

B.v.d.,

John57