Afleiding abc-formule

[Safe]

@aadkr

Daar is niets mis mee! Het valt zomaar 'op je bord'...

Het vereist wel enige voorbereiding, zie mijn opmerking!

Laten we de TS maar reageren?!?

[Jana Verhoeven]

Stel je hebt: x^2+4x=5, je maakt er van: x^2+4x+...=5+...,

Dwz, je vult links aan met een getal zodanig dat er een geheel kwadraat staat van de vorm (A+B)^2

Wat is (A+B)^2=... , (ik hoop dat je dit kan aanvullen)

Wat staat in het vb op de plaats van A, wat moet dus B zijn?

Natuurlijk moet wat je links optelt ook rechts optellen ...



Opm: ik probeer je zoveel mogelijk zelf te laten ontdekken met hetgeen je weet.

Dan krijg je dus het volgende:

(A+B)^2=A²+2AB+B²

Stel je hebt: x^2+4x=5, je maakt er van:

x^2+4x+2²=5+2² = (x+2)²=5+4

In het vb staat x op de plaats van A en B is dan 2.

[Th.B]

Heel goed! De vergelijking (x+2)(x+2) = 9 heeft als oplossingen...? Zie je hoe je dat trucje voor elke vierkantsvergelijking kunt toepassen? Als je dus gewoon de a, b en c laat staan in de oorspronkelijke formule en nu het kwadraat afsplitst en de vergelijking oplost, krijg je er de abc-formule uit. Is niet zo makkelijk hoor, zeker niet als je niet eerst met 4a vermenigvuldigt in het begin!

[Safe]

Dan krijg je dus het volgende:

(A+B)^2=A²+2AB+B²

Stel je hebt: x^2+4x=5, je maakt er van:

x^2+4x+2²=5+2² = (x+2)²=5+4

In het vb staat x op de plaats van A en B is dan 2.

Mooi! Is het nu altijd mogelijk om B te bepalen ...

Vb

x^2-5x=11/4

2x^2+5x=-9/16

[Jana Verhoeven]

Maar krijg je dan niet?:

(x+2)²=9

<=> (x+2)²-9=0

<=> (x+2)²-3²=0

Wat ook een merkwaardig product is en dus als volgt opgelost worden?

(x+2)²-3²=0

<=> ((x+2)-3)*((x+2)+3)=0

<=> (x+2-3)*(x+2+3)=0

<=> (x-1)*(x+5)=0

<=> x=1 of x=-5

[Jana Verhoeven]

Mooi! Is het nu altijd mogelijk om B te bepalen ...

Vb

x^2-5x=11/4

2x^2+5x=-9/16

Bij x^2-5x=11/4 is 5/2 B want:5/2*1=5/2

Dan krijg je:

x^2-5x+(5/2)²=11/4+5/2

<=> (x-5/2)²=11/4+10/4

<=> (x-5/2)²=21/4

<=>x-5/2=√21/√4

<=>x=√21/2+5/2

<=>x=(√21+5)/2

Bij 2x^2+5x=-9/16 krijg je 5/4 als B, want: 5/2*2= 5/4

2x^2+5x=-9/16

<=>2x^2+5x+(5/4)²=-9/16+5/4

<=>((√2)x+5/4)²=-9/16+20/16

<=>((√2)x+5/4)=-√11/√16

<=>(√2)x=-√11/4-5/4

<=>2x=(-√11-5)*√2/4

<=>2x=(-√22-5√2)/4

<=>x=(-√22-5√2)/4*2

<=>x=(-√22-5√2)/8

[Safe]

Bij x^2-5x=11/4 is 5/2 B want:5/2*1=5/2

Dan krijg je:

x^2-5x+(5/2)²=11/4+5/2

<=> (x-5/2)²=11/4+10/4

<=> (x-5/2)²=21/4

<=>x-5/2=√21/√4

<=>x=√21/2+5/2

<=>x=(√21+5)/2

x^2-5x+(5/2)²=11/4+(5/2)^2

<=> (x-5/2)²=11/4+25/4

Bij 2x^2+5x=-9/16 krijg je 5/4 als B, want: 5/2*2= 5/4

Pas op wat is hier A?

Deel eerst door 2 links en rechts, waarom?

Maar krijg je dan niet?:

(x+2)²=9

(x+2)²=9 => x+2=... of x+2=...

(in feite gebruik je hier wat je hieronder afleidt ...)

Wat ook een merkwaardig product is en dus als volgt opgelost worden?

(x+2)²-3²=0

<=> ((x+2)-3)*((x+2)+3)=0

<=> (x+2-3)*(x+2+3)=0

<=> (x-1)*(x+5)=0

<=> x=1 of x=-5

Goed gezien, prima!

[Safe]

x^2-5x+(5/2)²=11/4+(5/2)^2

<=> (x-5/2)²=11/4+25/4

Belangrijk: je schrijft B=5/2 dan ga je uit van (A-B)^2=... ! Ga dat na ...

[Jana Verhoeven]

​x^2-5x+(5/2)²=11/4+(5/2)^2

<=> (x-5/2)²=11/4+25/4

Waarom moet je het kwadraat nemen van 5/2 in het rechter lid?

[Jana Verhoeven]

Bij 2x^2+5x=-9/16 krijg je 5/4 als B, want: 5/2*2= 5/4

Pas op wat is hier A?

Deel eerst door 2 links en rechts, waarom?

2x^2+5x=-9/16

<=> x²+5/2*x=-9/19*1/2

<=> x²+5/2*x=-9/38

Nu is A gelijk aan x

en B is 5, want 2*1*(5/2)=5

x²+5/2*x=-9/38

<=> x²+5/2*x+5²=-9/38+5²

<=>( x+5)²=-9/38+950/38

<=>( x+5)²=941/38

<=>x+5=√941/√38

<=>x=√941/√38 -5

[aadkr]

die derde regel in je bericht zie ik rechts van het = teken staan -9/38

moet dat niet zijn -9/32?

[Safe]

Waarom moet je het kwadraat nemen van 5/2 in het rechter lid?

Wat doe je links? Dus wat doe je rechts?

2x^2+5x=-9/16

<=> x²+5/2*x=-9/19*1/2

<=> x²+5/2*x=-9/38

Er staat -9/16 (ipv -9/19)

Nu is A gelijk aan x

en B is 5, want 2*1*(5/2)=5

Dit begrijp ik niet!

Vergelijk A^2+2AB+B^2 met x^2+5/2*x+...=x^2+2*x*5/4+...

Dus B=..., ga dit zorgvuldig na!

[Jana Verhoeven]

Oh ja, per ongeluk het verkeerde getal getypt en daarmee verder gerekend.

2x^2+5x=-9/16

<=> x²+5/2*x=-9/16*1/2

<=> x²+5/2*x=-9/32

Nu is A gelijk aan x

en B is 5/4, want 5/2*2*1=5/4

x²+5/2*x=-9/32

<=> x²+5/2*x+(5/4)²=-9/32+5²

<=>( x+5/4)²=-9/32+5²

<=>x+5/4=√9/√(16*2) +√5²

<=>x+5/4=3/4√2 +5

<=>x=3/4√2 +20/4-5/4

<=>x=3/4√2 +15/4

[aadkr]

ik zie maar 1 oplossing voor x maar D>0 dus moeten er 2 verschillende oplossingen voor x uitkomen.

als ik mij niet vergis bedoeld Safe dat je gebruik moet maken van het volgende merkwaardig product

\({\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2\)

\(x^2+2 \cdot \frac{5}{4}x=-\frac{9}{32} \)

zie je het nu?

[Safe]

Oh ja, per ongeluk het verkeerde getal getypt en daarmee verder gerekend.

2x^2+5x=-9/16

<=> x²+5/2*x=-9/16*1/2

<=> x²+5/2*x=-9/32

Nu is A gelijk aan x

en B is 5/4, want 5/2*2*1=5/4

x²+5/2*x=-9/32

<=> x²+5/2*x+(5/4)²=-9/32+

<=>( x+5/4)²=-9/32+

<=> x²+5/2*x+(5/4)²=-9/32+

Wat heb je links gedaan? Dus rechts ...