1e orde differentiaalvergelijking met een kwadraat

[reinoudb]

Hieronder de uitwerking van de DV

m/c [A/(v-sqrt(F/C))+/(v+sqrt(F/C))] dv =dt

A(v+sqrt(F/c))+B(v-sqrt(F/c))=1 > A=1/(2sqrt(F/c)), B=- 1/(2sqrt(F/c))

>m/ 2 c sqrt(F/c))[1/(v-sqrt(F/c)) - 1/(v+sqrt(F/c))]dv = dt

Na integreren:

m/ 2 c sqrt(F/c)) [ln(v-sqrt(F/c) - ln (v+sqrt(F/c))] = t+C

Wil graag weten of dit nog klopt. En ik denk ook dat het nog vereenvoudigd kan worden.

[Flisk]

Het lijkt mij dat je A en B hebt omgewisseld. Dat zorgt dus voor een fout.

Hierdoor heb je twee tekenfouten.

Werk die eens weg.

De rest ziet er goed uit.

(Je bedoelt toch m/(2csqrt(F/c)? Want je bent een haakje vergeten denk ik.)

Je wil v in functie van t, niet t in functie van v.

Je kan dus inderdaad nog vereenvoudigen, probeer v te isoleren.

Tip:

Kijk volgend voorbeeldje:

ln(a)=b <=> e^ln(a)=e^b<=> a=e^b

[reinoudb]

Ik zie even niet wat ik fout doe met A en B. Maakt het uit of je die omwisselt?

Ik bedoel idd m/(2csqrt(F/c). dit is toch gelijk aan m^2/4cF^2?

Als ik dan e.e.a vereenvoudig kom ik op (als het voorgaande klopt):

m^2/4cF^2 [ln((v-(sqrt(F/c))/(v+sqrt(F/c))] = t +C

Dit moet dan nog omgwerkt worden naar een functie van v. Daar ga ik gelijk al de mist in..

ln((v-(sqrt(F/c))/(v+sqrt(F/c))= 4cF^2/m^2 [t+C]

De c (weerstand) staat hier in de teller ipv de noemer. Het zou dus eerder een beperkende factor moeten zijn voor de snelheid ipv andersom.

[Flisk]

Werkt gewoon de som uit om zo je A en B te vinden:

\((\frac{1}{\frac{F}{c}-v^2})dv=(\frac{A}{\sqrt{\frac{F}{c}}-v}+\frac{B}{\sqrt{\frac{F}{c}}+v})dv = (\frac{A\sqrt{\frac{F}{c}}+Av+B\sqrt{\frac{F}{c}}-Bv}{\frac{F}{c}-v^2})dv\)

Stel de teller gelijk aan 1 in de meest rechtse uitdrukking. Dat was immers de oorspronkelijke teller (zie de meest linkse uitdrukking).

Zoals je kan zien maakt het wel degelijk uit wanneer je A en B verwisselt (er staat immers een -teken voor die laatste B).

Ik bedoel idd m/(2csqrt(F/c). dit is toch gelijk aan m^2/4cF^2?

Ik snap niet wat je hier doet. Waarom kwadrateer je dat en deel je door F? Dat is niet nodig en is trouwens fout. Neem bijvoorbeeld m=c=f=1 en je krijgt 1/2=1/4 wat dus niet klopt. Behalve A en B waren alle stappen in post 31 goed.

Bekijk nog eens rustig hoe je die A en B vind, je had ze gewoon verwisseld dus ik denk dat je juist hebt geredeneerd maar gewoon fout had overgeschreven of zo. Daarna kijken we wel eens naar die vereenvoudiging.

[reinoudb]

Kom nu uit op:

A= 1/(2sqrt(F/c), B= 1/(2sqrt(F/c)

>m/(2c sqrt(F/c)) [1/(sqrt(F/c)-v) + 1/((sqrt(F/c)+v)]dv =dt

Na integreren:

m/(2c sqrt(F/c)) [-ln(sqrt(F/c)-v)+ln(sqrt(F/c)+v)] = t+C

[Flisk]

Dit klopt.

Ik heb

\(t=\frac{m}{2\sqrt{Fc}}(ln(1+\sqrt{\frac{c}{F}v})-ln(1-\sqrt{\frac{c}{F}}v))+C_1\)

Dit is hetzelfde op een constante term na. Als ik bijvoorbeeld neem:

\(C_1=C_2+\frac{2m}{2\sqrt{Fc}}ln(\sqrt{\frac{F}{c}})\)

Dan krijg ik:

\(t=\frac{m}{2\sqrt{Fc}}(ln(1+\sqrt{\frac{c}{F}}v)-ln(1-\sqrt{\frac{c}{F}}v))+C_2+\frac{2m}{2\sqrt{Fc}}ln(\sqrt{\frac{F}{c}})\)

\(=\frac{m}{2\sqrt{Fc}}(2ln(\sqrt{\frac{F}{c}})+ln(1+\sqrt{\frac{c}{F}}v)-ln(1-\sqrt{\frac{c}{F}}v))+C_2\)

en omdat ln(a)+ln(b)=ln(a.b):

\(=\frac{m}{2\sqrt{Fc}}(ln[\sqrt{\frac{F}{c}}(1+\sqrt{\frac{c}{F}}v)]-ln[\sqrt{\frac{F}{c}}(1-\sqrt{\frac{c}{F}}v)])+C_2\)

\(=\frac{m}{2\sqrt{Fc}}(ln(\sqrt{\frac{F}{c}}+v)-ln(\sqrt{\frac{F}{c}}-v))+C_2\)

Wat dus is wat jij hebt.

Nu nog omvormen naar v.

[reinoudb]

Ok mooi dat het klopt. Mis alleen de c in de noemer bij jou plus dat je daar F vermenigvuldigt met c onder de wortel.

Ik heb daar m/(2c sqrt(F/c))

Maar goed alles moet nu nog omgewerkt worden..

Ik ga een poging doen.

m/(2c sqrt(F/c)) ln[(sqrt(F/c)+v)/(sqrt(F/c)-v)] = t+C

>ln[(sqrt(F/c)+v)/(sqrt(F/c)-v)] = (2c sqrt(F/c))/m [t+C]

>(sqrt(F/c)+v)/(sqrt(F/c)-v) =(2c sqrt(F/c))/m [e^t + e^C]

en dan..

[Flisk]

Je kan die c binnen het wortelteken brengen bekijk immers volgende rekenregel:

\(a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}\)

I.v.m. het uitwerken naar v:

Nu heb je een term v in de noemer staan. Die moet eruit.

[reinoudb]

Zag het al dat je het zo kon vereenvoudigen. Verder had ik ook nog een foutje in m'n vorige post.

Heb nu :

(sqrt(F/c)+v)/(sqrt(F/c)-v) = e^((2sqrt(Fc)t)/m) + C

Hoe kan ik v uit de noemer weg werken?

[Flisk]

Door simpelweg beide leden te vermenigvuldigen met de noemer.

Rekenregel:

a/b=c <=> a=c*b

[reinoudb]

sqrt(F/c)+v = (sqrt(F/c)-v) (e^((2sqrt(Fc)t)/m) + C)

> sqrt(F/c)+v = sqrt(F/c) ((e^((2sqrt(Fc)t)/m) + C) - v (e^((2sqrt(Fc)t)/m) + C)

> v = sqrt(F/c) ((e^((2sqrt(Fc)t)/m) + C) - v (e^((2sqrt(Fc)t)/m) + C) - sqrt(F/c)

Hoewel ik het idee heb dat het niet heel moeilijk kan zijn zie ik even niet hoe ik hier uit kom.

[Flisk]

Echt raar, je kan perfect een (moeilijke) integraal uitrekenen maar je hebt nu een beetje moeite met basic wiskunde.

Ik denk dat je in de war bent door de grote hoeveelheid symbolen. Negeer dat gewoon allemaal en stel ze gelijk aan 'constanten'.

Zie rekenregel:

ab+ac=a(b+c)

[reinoudb]

Tja gebruik wiskunde te weinig. Is al ff geleden dat ik afgestudeerd ben. Probeer het weer op te pakken. Maar ik zie het denk ik idd niet door de hoeveelheid symbolen.

[Flisk]

Bekijk het zo, alleen v is nu van belang. Behandel al de rest als constanten. Zie je nu wat je moet doen?

Ga terug naar de eerste gelijkheid in je post 41

Daar heb je iets staan als:

v=(a-v)b <=> ...

[reinoudb]

v= sqrt(F/c) [(1+e^((2sqrt(FC)t)/m)+C)/(1-e^((2sqrt(FC)t)/m)+C)]