Relativistische golfvergelijking voor gebonden systemen?

[Boormeester]

Relativistisch gebonden deeltje, Boormeester

(692.87 KiB) 298 keer gedownload

  Ik heb een poging gedaan. Zie de bijlage.

[sensor]

Dirac vergelijking geeft de relativistische oplossing voor de gebonden systemen zoals voor het elektron. Er geldt dan dat :
 

\( E =\pm\sqrt{p^{2}c^{2} + m^{2}c^{4}} \)

 
Dit geeft het volgende plaatje

Naamloze afbeelding 1494 keer bekeken

 
Er is dus een positieve en negatieve oplossing (voor positron en elektron )
 
De golffunctie

\( \psi \)

krijgt dan minstens twee waarden en met spin erbij 4 waarden.
 
 
 
Wikipedia geeft de afleiding : http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_equation
 
 
 

[Boormeester]

Wat je aangeeft is de vergelijking voor een ongebonden, dus vrij, elektron. De energie is dan niet gekwantiseerd en kan alle waarden aannemen. De spin is wel gekwantiseerd (deeltje draait om as en het impuls moment is gekwantiseerd).
Waar men naar zoekt is een relativistische golf vergelijking voor een gebonden twee deeltjes systeem waar dus sprake is van een potentiaal (potentiële energie). Bij de Dirac vergelijing is geen sprake van een potentiaal.

[descheleschilder]

Dat ziet er goed uit. De toegestane energiewaarden zijn in ieder geval anders dan in het niet relativistische geval.
Ik denk dat het ook een belangrijke vraag is hoe de potentiaal tot stand komt in een kwantummechanische beschrijving van een gebonden systeem. In de Schrödingervergelijking van een gebonden systeem wordt die met de hand ingevoerd vanuit de klassieke elektrodynamica (semi-klassiek), maar in een relativistische vergelijking voor een gebonden systeem zou je dat niet moeten doen, en in plaats daarvan de potentiaal moeten afleiden uit een wisselwerking die een gevolg is van uitwisseling van fotonen (in de wiskundige uitdrukking voor fotonen gaat men overigens uit van de viervector A^μ, waarin toch weer de potentiaal V (de tijdscomponent) opduikt, terwijl die juist afgeleid moet worden vanuit die fotonenuitwisseling, hetgeen doet denken aan een vicieuze cirkel). In die zin is jouw afleiding ook semi-klassiek.
Verder vraag ik mij af of in de optelling van de v_pen v_mmpde laatste relativistisch is (ik weet niet of hier het equipartitiebeginsel geldt), zodat u=v_p zou kunnen zijn, hetgeen betekent dat de lijnsverbreding meer te wijten is aan v_p dan aan v_mmp.
Een heel klein schoonheidsfoutje in je formule voor de middelpunvliedende kracht: r²⇒r (maar dat weet je zelf ook wel, anders was je niet tot de formule voor m_ev² gekomen)
En er blijft Natuurlijk de vraag of een cirkelbeweging in de SRT mogelijk is (je zou de cirkelbeweging op kunnen vatten als een rechtlijnige beweging in een met het positron meebewegend inertiaalstelsel die continu gecorrigeerd wordt door een infinitesimale Lorenz transformatie, waarop ook de Thomas precessie is gebaseerd).
Tot slot: petje af!

[sensor]

Ik geef toe dat de algemene dirac vergelijking er eenvoudig uitziet maar hier zit toch echt een vector potentiaal in verwerkt. Daarnaast heb je de keuze voor een willekeurig coördinatenstelsel zoals bijvoorbeeld het sferische stelsel. Het genoemde systeem lijkt een beetje op een waterstofatoom hier draait het elektron om het proton. Een stelsel met een elektron en positron zal hiervan niet veel verschillen. 

[sensor]

In tegenstelling tot wat ik in bericht 35 schrijf is een elektron positron combinatie anders. QED beschrijft de wisselwerkingen tussen elektron en positron. Er zal altijd absorptie en emissie van fotonen zijn en elektron en positron vernietigen elkaar of wisselen van gedaante. Er is dus geen statisch systeem en de deeltjes gaan dus geen banen rond elkaar beschrijven.
 
Als we het hebben over relativistische gebonden systemen zou ik als voorbeeld het waterstofatoom met elektron nemen.

[descheleschilder]

Het waterstofatoom is nu juist een voorbeeld van een niet relativistisch gebonden systeem van een proton en een elektron (relativistische effecten, zoals de spin-baan koppeling, of de kwantummechanische Lamb verschuiving, die de splitsing van de emissielijnen veroorzaken buiten beschouwing gelaten). De bindingsenergie van een elektron is 13,6(eV), en zijn massa 511000 (eV). Je kunt ook gebonden toestanden m.b.v. de Schrödingervergelijking oplossen van mesonen die bestaan uit twee zware quarks (bijvoorbeeld ``charmonium``: cc^) maar een gebonden systeem met lichte quarks laat zich moeilijk speciaal relativistisch (de bindingsenergie van de lichte quarks is vergelijkbaar met hun massa) beschrijven, aangezien de kwantumveldentheorie uitgaat van vrije deeltjes, gevolgd door een interactie, waarna de deeltje weer vrij hun weg vervolgen. Dit maakt dat ik toch enige twijfels heb over de juistheid van de berekeningen van Boormeester. Ik bedoel niet dat de berekeningen niet kloppen, maar bepaalde aannames die worden gedaan, zoals de vorm van de potentiaal, die nu juist degene is die moet worden uitgerekend (in het relativistische geval). 

[sensor]

Ik bedoel niet dat de berekeningen niet kloppen, maar bepaalde aannames die worden gedaan, zoals de vorm van de potentiaal, die nu juist degene is die moet worden uitgerekend (in het relativistische geval). 

De berekeningen kloppen dacht ik maar het gaat mij ook om een aantal aannames en wel het gekozen stelsel namelijk een elektron en positron. Vanuit Quantum elektro dynamica weten we dat een elektron en een positron elkaar opheffen of aanpassen (materie en antimaterie) Dit kan met feynman diagrammen als volgt weergegeven worden :
 

qed 1492 keer bekeken

 
 
In diagram 2 ontstaat een foton en daarna weer creatie.
In diagram 1 geeft het elektron een foton af en gaat zelf verder als positron.
 
Een elektron en een positron zullen geen stabiel systeem vormen en gaan niet in banen om elkaar heen bewegen.

[Boormeester]

Reactie op melding # 38: de combinatie elektron - positron leeft lang genoeg om een meetbaar spectrum te verkrijgen (zie Griffith's)

[Boormeester]

In een cirkelbaan (die denk ik wel mogelijk is in de SRT) vind de contractie plaats over de omtrek (richting van de snelheid) en niet op de straal). Je kunt dus gewoon de elektrische potentiaal gebruiken. Op zich maakt het niet uit, want vanuit het positron bekeken vind er in zijn stelsel geen lengte contractie plaats.
Pas in de conversie van de frequentie naar het laboratorium stelsel pas je de tijd dilatatie toe volgens de relativistische doppler formule en de relativistische optelling van 2 snelheden.
In het besproken geval zijn de baansnelheden van elektron en positron relativistisch . De thermische snelheid van het geheel hoeft niet relativistisch te zijn. Maar je moet wel de relativistische formules gebruiken.

[Boormeester]

Reactie op melding # 35: in de Dirac vergelijking zit inderdaad een potentiaal verwerkt maar die heeft betrekking op de spin van het elektron en niet de bindings potentiaal. Daar gaat het om. Het waterstof atoom heeft een proton als kern en die is veel zwaarder dan het elektron en is daarom gedeeltelijk te behandelen via de klassieke Schrodinger vergelijking (stilstaande kern). Mijn stelsel hier is compleet relativistisch.

[Boormeester]

Je kunt wel degelijk spreken van een baan waarin een deeltje beweegt met een bepaalde snelheid, anders zou er geen relativistische behandeling nodig zijn: die is immers afhankelijk van de onderlinge snelheid.

[sensor]

Een elektron en een positron zullen elkaar vernietigen en daarbij een foton uitstralen en dan is het systeem dus verandert en kan je niet meer uitgaan van een cirkelbeweging. Je kan dit proces wel benaderen met de feynman diagrammen en een vergelijking opstellen met in en uitkomende momenten. Hier nog een mooie animatie :
 
http://www.olo.twenteacademy.nl/vakken/40/onderwerpen/350

[Boormeester]

Een elektron en een positron kunnen een kortstondige binding aangaan in de omgeving van een derde deeltje. Als ze elkaar ontmoeten als tweetal vind er direct annihilatie plaats. Als dit gebeurt kun je door de rel. lange levensduur van het gebonden stelsel een spectrum meten.

[sensor]

Een elektron en een positron kunnen een kortstondige binding aangaan in de omgeving van een derde deeltje. Als ze elkaar ontmoeten als tweetal vind er direct annihilatie plaats. Als dit gebeurt kun je door de rel. lange levensduur van het gebonden stelsel een spectrum meten.

Je hebt helemaal gelijk! In feite is hier sprake van een tijdelijk systeem namelijk het Positronium. Tot het moment dat de twee deeltje elkaar opheffen is er sprake van een systeem van twee deeltjes die in een baan rond het gemeenschappelijk middelpunt draaien :
http://en.wikipedia.org/wiki/Positronium
De energie levels zijn inderdaad te berekenen ongeveer zoals je aangaf met een soort bohr straal. Het verhaal klopt dus tot het moment dat de deeltjes elkaar opheffen.