Had Aristoteles toch gelijk?

[Michel Uphoff]

Overigens waren het Simon Stevin en Jan Cornets de Groot die in 1586 van de toren van de Nieuwe Kerk in Delft twee loden ballen met een massaverhouding 1:10 (diameter verhouding 1:2,15) lieten vallen. Beneden lag een plank waarop de ballen vielen en iemand met zijn rug naar de plank moest vertellen of hij een of twee ploffen hoorde. Het verschil van ongeveer 0,04 seconden werd niet waargenomen, zo'n plank resoneert ook even.
Ze concludeerden: "dat haer beyde gheluyden een selue clop schijnt te wesen"

 

Hadden ze daarentegen een bal van lood en een van een lichte houtsoort met dezelfde diameter genomen, dan was het verschil ongeveer 0,2 s geweest. Dat was waarschijnlijk wel opgevallen.

 

Het wordt sterk betwijfeld of Galilei wel echt kogels van de toren van Pisa heeft laten vallen, maar zeker is het dat zijn gedachtenexperiment (klik) in Discorsi e dimostrazioni matematiche (1638) de doodssteek voor de opvatting van Aristoteles was.
 
Hoe dan ook, twee bolvormige objecten van gelijke diameter en verschillende massa vallen onder verder gelijke condities rekening houdend met wrijving van een medium nimmer met dezelfde snelheid.

[ReinW]

In bijdrage #30 is de volgende formule gepresenteerd:
dv/dt = g - 3/4 ρ_l/ρ_b C_w/d v² 
Wanneer we hiermee de valtijd van lichte bollen (een pingpongbal) willen berekenen is het nuttig om ook de Archimedes (opwaartse) kracht mee te nemen. De formule wordt dan:
dv/dt = (ρ_b - ρ_l)/ρ_b g - 3/4 ρ_l/ρ_b C_w/d v² 
De vergelijking integreren naar de tijd en in een eenvoudig computerprogramma zetten en we kunnen rekenen.
 
De enige nog niet bekende term is de weerstandscoefficient C_w die voor vaste bollen een functie is van het kental van Reynolds. Nu blijkt dat voor 10³ < Re < 2.10⁵ de C_w nagenoeg constant is. In de literatuur worden waarden tussen 0,40 en 0,47 genoemd; een goed gemiddelde is 0,44.
 
De bollen worden afgeworpen van een toren van 70 m hoog; veel hoger waren ze niet in de tijd van Stevin. Voor bollen van 10 cm diameter en van verschillende materialen met tussen haakjes de dichtheid in kg/m³ vinden we de volgende valtijden: zink (7140) 3,804 s, ijzer (7860) 3,802 s, koper (8900) 3,779 s, lood (11340) 3,794 s. Het grootste verschil is 0,01 s; geen wonder dat Stevin en anderen dit niet gedetecteerd hebben!
Aluminium bestond destijds nog niet; de dichtheid hiervan is 2700 kg/m³, de valtijd is 3,849 s. Het verschil met lood is 0,055 s en zou opgemerkt kunnen zijn.
Men had ook houten bollen kunnen nemen, de dichtheid van eiken, beuken, essen is 700 kg/m³, de valtijd is 4,055 s.
 
Dan hebben we nog een pingpongbal, die een diameter heeft van 4 cm en een gewicht van 2,7 gr. Hieruit berekenen we een schijnbare dichtheid van 80,6 kg/m³. Natuurlijk moeten we met metalen bollen van deze diameter vergelijken. We vinden de volgende valtijden: aluminium 3,95 s, lood 3,82 s en ppbol 8,81 s. De kleinere metalen bollen vallen iets langzamer dan hun grotere soortgenoten; de luchtweerstand heeft iets meer invloed. Uiteraard valt de ppbol veel langzamer. Na 3,5 s en een afstand van 24 m bereikt hij zijn eindsnelheid van 8,54 m/s. De volgende 46 m valt hij eenparig met deze snelheid. Naar mijn gevoel is een vergelijking van een ppbol met metalen bollen weinig zinvol; natuurlijk valt een ppbol veel langzamer.
 
De verschillen tussen de metalen bollen zijn opmerkelijk klein. Het verschil in dichtheid tussen lood en aluminium is een factor 4,2 en het verschil in valsnelheid is maar 0,055 s bij bollen van 10 cm en 0,13 s bij bollen van 4 cm. De opvatting dat een loden bol veel sneller valt vanwege het (primaire) feit dat zijn dichtheid zoveel groter is, is dus onjuist. Het is het (secundaire) effect van de weerstandskracht die bij zwaardere bollen iets minder groot is.

[always]

"De opvatting dat een loden bol veel sneller valt vanwege het (primaire) feit dat zijn dichtheid zoveel groter is, is dus onjuist. Het is het (secundaire) effect van de weerstandskracht die bij zwaardere bollen iets minder groot is."
 
Volgens mij is hier (in dit forum) ook nooit iets anders over beweerd. 

[klazon]

Citaat: Naar mijn gevoel is een vergelijking van een ppbol met metalen bollen weinig zinvol; natuurlijk valt een ppbol veel langzamer.
 
Dit vind ik wel een opmerkelijke opmerking. Het is inderdaad natuurlijk dat een ppbal langzamer valt. Omdat zijn dichtheid kleiner is.
Bij metalen bollen is het net zo natuurlijk, de bol met de grootste dichtheid is het eerst beneden. Ik ga er even vanuit dat je berekeningen goed zijn, ik heb ze niet gecontroleerd. Blijkbaar zijn bij metalen bollen de verschillen zeer klein, en dat is dan ook de reden dat Galilei en Stevin en al die andere wetenschappers uit de oudheid het niet konden vaststellen. Hun meetmethoden waren niet nauwkeurig genoeg.

[ReinW]

always schreef op 19 Dec 2015 - 20:28:

"De opvatting dat een loden bol veel sneller valt vanwege het (primaire) feit dat zijn dichtheid zoveel groter is, is dus onjuist. Het is het (secundaire) effect van de weerstandskracht die bij zwaardere bollen iets minder groot is."
 
Volgens mij is hier (in dit forum) ook nooit iets anders over beweerd. 

 
Nou, "nooit"... Inderdaad zeggen sommigen dat "de zwaardere bol relatief minder last heeft van de luchtweerstand". Of dat relatief veel of weinig is, wordt nergens duidelijk. Aan de andere kant is er veel spraakverwarring met als gevolg onjuiste beweringen.
 
Een eerste uitspraak: "Bij een verschillende massa is de versnelling ten gevolge van de luchtweerstand niet hetzelfde is. Bij een zwaarder voorwerp is de versnelling kleiner".

Het woord "versnelling" is niet onjuist, maar hier heel verwarrend omdat de versnelling negatief is. Terecht heb je zelf opgemerkt, dat daarom het woord vertraging veel beter is.

Maar niemand neemt die term over en dan komen er foute uitspraken:

"De netto versnelling naar de grond toe zal hoger zijn bij het zwaardere voorwerp (indien ze beide dezelfde vorm en beginsnelheid hebben)".

Onjuist, de versnelling van de zwaartekracht is voor alle vallende voorwerpen gelijk. Naarmate het gewicht toeneemt, neemt ten gevolge van de wrijving de versnelling iets af.

Als voorbeeld de zinken en loden bol van 10 cm doorsnede. Ze starten allebei vanaf 70 m hoogte met een versnelling van 9,81 m/s² en op grond is de valversnelling voor de zinken bol nog 9,02 m/s² en voor de loden bol 9,32 m/s².
 
Een volgende bewering: "Aangezien bij het voorwerp met grotere massa het gewicht groter is, manifesteert zich daar een grotere nettokracht en zal het voorwerp met grotere massa sterker versnellen ..." De "grotere nettokracht" is een beetje raadselachtig. En het voorwerp met grotere massa versnelt niet, maar vertraagt in zijn val.
 
Laatste bewering: "Versnelling lichte bol 4 m/s², zware bol 9,4 m/s². De zware bal wint met kop en schouders."

Dezelfde fout als bij de beweringen hierboven: de bollen versnellen niet, de valversnelling is voor beide gelijk en wordt juist iets kleiner door de wrijving. En die "kop en schouders" betekenen niet meer dan 0,06 s verschil in aankomsttijd tussen aluminium en lood.
 
In de wetenschap komt het aan op duidelijk formuleren. Dat probeer ik te doen, maar ik moet direct toegeven dat me dat in mijn eerdere bijdragen ook niet is gelukt.

[ReinW]

Citaat: Naar mijn gevoel is een vergelijking van een ppbol met metalen bollen weinig zinvol; natuurlijk valt een ppbol veel langzamer.
 
Dit vind ik wel een opmerkelijke opmerking. Het is inderdaad natuurlijk dat een ppbal langzamer valt. Omdat zijn dichtheid kleiner is.
Bij metalen bollen is het net zo natuurlijk, de bol met de grootste dichtheid is het eerst beneden.

 
Ik had het wat beter moeten formuleren, want het is wat ingewikkelder. Het gaat niet simpelweg om het verschil in dichtheid. Afgezien van de weerstand van de omringende lucht vallen alle voorwerpen even snel, onafhankelijk van de dichtheid. De luchtweerstand heeft een wat grotere invloed op lichte dan op zware bollen en daarom vallen de zware bollen iets sneller.

De pingpongbol is een speciaal geval, het is geen massief voorwerp, hij bestaat voor het grootste gedeelte uit lucht en is daarom veel lichter. De omringende lucht heeft een veel grotere invloed en remt de ppbol snel af, de valversnelling wordt zelfs nul. Dat is niet het geval bij de veel zwaardere (massieve) bollen.

[Michel Uphoff]

De luchtweerstand heeft een wat grotere invloed op lichte dan op zware bollen en daarom vallen de zware bollen iets sneller.

 
Dat kan je zo niet stellen. Een styrofoam bal van 10 kg valt trager dan een loden balletje van 1 kg en is toch tien keer zo zwaar. Dat komt natuurlijk door het veel grotere oppervlak. De dichtheid bepaalt bij een gelijke massa de grootte van het oppervlak, en daarmee de grootte van de ondervonden luchtweerstand bij een bepaalde snelheid.
 
Wat je wel kan zeggen is dat bij een gelijke diameter de zwaardere bal sneller zal vallen in het geval van wrijving. En omdat de massa's verschillen, maar niet het oppervlak, is het de dichtheid die hier de bepalende factor is.
 

De omringende lucht heeft een veel grotere invloed en remt de ppbol snel af, de valversnelling wordt zelfs nul. Dat is niet het geval bij de veel zwaardere (massieve) bollen.

 
De remmende kracht op een pingpongballetje is bij gelijke snelheid even groot als de remmende kracht op een loden kogel van dezelfde diameter. De grootte van de luchtweerstand is hetzelfde, want alleen afhankelijk van snelheid, vorm en oppervlak en die zijn alle gelijk.
 
Ook zwaardere bollen kennen in lucht een eindsnelheid, die bij gelijke diameter (dus hogere dichtheid) hoger ligt dat die van het pingpongballetje.

[always]

Toch kan ik me wel indenken dat met omringende lucht de opwaartse kracht bedoelt kan zijn en niet de luchtweerstand.

[Michel Uphoff]

Het hangt ervan af of je eenheden van massa of eenheden van gewicht hanteert bij het bepalen van de massa.
 
In de dagelijkse praktijk worden eenheden van gewicht gehanteerd, waarbij de opwaartse kracht van de lucht wegvalt.
Dat gebeurt natuurlijk niet bij zeppelins en luchtballonnen en zo.
 
Zou je eenheden van massa hanteren, dan weegt in lucht gewogen een massa van een kilo lood iets meer dan een kilo piepschuim, omdat de laatste een groter volume heeft en dus meer opwaartse kracht ondervindt. Maar zelfs voor een pingpongballetje is het verschil massa-gewicht maar 40 milligram.
 
Wegen we met een weegschaal, en als we dan 2,700 gram gewicht voor een pingpong balletje meten betekent dat we in feite 2,704 gram massa gewogen hebben en de opwaartse kracht van de atmosfeer hebben verdisconteerd.

[ReinW]

Michel Uphoff schreef op 21 Dec 2015 - 17:52:Michel Uphoff schreef op 21 Dec 2015 - 17:52:

 
1. Dat kan je zo niet stellen. Een styrofoam bal van 10 kg valt trager dan een loden balletje van 1 kg en is toch tien keer zo zwaar. Dat komt natuurlijk door het veel grotere oppervlak. De dichtheid bepaalt bij een gelijke massa de grootte van het oppervlak, en daarmee de grootte van de ondervonden luchtweerstand bij een bepaalde snelheid.
 
2. Wat je wel kan zeggen is dat bij een gelijke diameter de zwaardere bal sneller zal vallen in het geval van wrijving. En omdat de massa's verschillen, maar niet het oppervlak, is het de dichtheid die hier de bepalende factor is.
 
3. De remmende kracht op een pingpongballetje is bij gelijke snelheid even groot als de remmende kracht op een loden kogel van dezelfde diameter. De grootte van de luchtweerstand is hetzelfde, want alleen afhankelijk van snelheid, vorm en oppervlak en die zijn alle gelijk.
 
4. Ook zwaardere bollen kennen in lucht een eindsnelheid, die bij gelijke diameter (dus hogere dichtheid) hoger ligt dat die van het pingpongballetje.

 
Ad. 1. Helemaal waar, maar mijn uitspraak is gedaan onder de randvoorwaarde: bollen van dezelfde diameter. Dat was namelijk de proef van Stevin en anderen. Helaas is deze voorwaarde niet expliciet vermeld, maar ik dacht dat het duidelijk was uit de hele context. Als je uitgaat van bollen met verschillende diameter wordt het erg moeilijk om uit te leggen welke invloed de weerstandskracht op de valtijd heeft.
 
Ad. 2. Ook dit is waar, maar het verband tussen de twee regels is niet duidelijk. De dichtheid is de bepalende factor, maar op welke manier maakt die dan de vertraging van de zwaardere bal kleiner?
 
Ad. 3 en 4. Ook de laatste twee beweringen zijn uiteraard waar, maar voegen mijns inziens niet veel toe aan het inzicht in het probleem. Always is de discussie begonnen met een interessante vraag: Had Aristoteles toch gelijk toen hij beweerde dat een zwaar object sneller valt dan een licht object van dezelfde afmeting. En als dat al dan niet het geval is, willen we ook begrijpen waarom. Dat probeer ik duidelijk te maken aan de hand van de analyse van de bewegingsvergelijking.

always schreef op 21 Dec 2015 - 19:49:

Toch kan ik me wel indenken dat met omringende lucht de opwaartse kracht bedoelt kan zijn en niet de luchtweerstand.

 
(Zie ook het commentaar #39).
In de natuurkunde (bij de stromingsleer) wordt voor zover ik weet altijd de eenheid van massa in kg gehanteerd. Dat is handig omdat het gewicht als een kracht (in N) wordt gezien. Het gewicht uitdrukken in kg_kracht is gelukkig verleden tijd sinds de invoering van het SI stelsel.
 
Daarom is het in de stromingsleer de gewoonte om de opwaartse c.q. Archimedes kracht wel mee te nemen in de krachtenbalans. Daarnaast ontstaat er bij beweging van het voorwerp de luchtweerstand, in het Engels de (form) drag genoemd. Dat vind ik een wat duidelijker term: dank zij de omstroming van (de vorm van) het voorwerp is er een tegenhoudende kracht. Het zijn dus twee aparte krachten.

[ReinW]

Een correctie: ik beweerde dat Stevin een proef deed met bollen van dezelfde diameter. Excuus, dat is onjuist, zoals Michel Uphoff al vermelde waren het twee loden bollen met een massaverhouding van 1:10. Dat is een aardige variant, dezelfde dichtheid en een andere diameter.
Wat is nu de invloed van de diameter op de drag force? Dat laat de gebruikte formule zien:
dv/dt = (ρb - ρl)/ρb g - 3/4 ρl/ρb Cw/d v^2
In de weerstandskracht wordt door de diameter gedeeld.

Kiezen we een bol van 10 en een van 1 kg, dan zijn de bijbehorende diameters 11,9 en 5,52 cm. Stevin wierp de bollen vanaf de toren van de Nieuwe Kerk in Delft, die met spits bijna 109 m hoog is. Laten we voor de afwerphoogte 80 m nemen. Uit de formule volgt dan voor de bol van 10 kg een valtijd van 4,055 s en voor die van 1 kg 4,075 s; een verschil van 0,02 s.

[always]

Maar had Aristoteles nu wel of geen gelijk? Ik weet nl. niet in hoeverre hij in zijn theorie de luchtweerstand meenam of dat hij die theorie in het vacuum bedoelde? Of ontkende hij juist het bestaan van vacuum, en had hij dus bijna 2000 jaar later onverwachts toch gelijk gekregen?
 
Ik vraag me nog wel af wat de resultaten zouden zijn van het gedachte-experiment van Galileo waarin de lichtere bol ín de zwaardere bol zou worden geplaatst. In het vacuum zouden de ballen elkaar niet raken, maar welke massa neem je mee voor de berekening van de opwaartse kracht? Moet je ze optellen of niet?
 
En wat als de vallende bol nou net zo groot zou zijn als de maan (of eventueel een tiende daarvan). Kun je dan zeggen dat de valversnelling van de maan even groot is als die van een bol van 100kg?

[Professor Puntje]

Wat een verwarring! De vraag of Aristoteles wel of niet gelijk had kan niet beantwoord worden zolang we niet heel precies weten waar we het over hebben. Stap 1. is dus:

1. Hoe luidde de theorie van Aristoteles die we willen toetsen. Deze vraag is al omvattend genoeg om een stevig topic te vullen.

Dan komt stap 2.

2. Hoe zetten we die oude theorie om in moderne termen om vergelijking met de huidige natuurkundige inzichten mogelijk te maken? Ook daar zitten weer de nodige haken en ogen aan. Genoeg om een tweede topic te vullen.

Tenslotte krijgen we stap 3.

3. Hoe verhoudt de gemoderniseerde theorie van Aristoteles zich tot onze huidige kennis. Wellicht kan die vraag direct beantwoord worden, en dan zijn we klaar. Maar mogelijk zijn verdere experimenten nodig. Dan valt niet te zeggen wanneer een afsluitend antwoord gegeven kan worden...

(Je zou ook zo kunnen redeneren dat het zeer onwaarschijnlijk is dat Aristoteles' theorie veel voorstelt omdat er in onze leerboeken nauwelijks meer aandacht aan besteed wordt. Maar daarmee blijft de natuurkundige vraag naar de redenen uiteraard onbeantwoord.)

 

[always]

Volgens Dijksterhuis was dit de visie van Aristoteles:

 

Hoe het komt, dat niet alle lichamen even snel vallen, wordt door Aristoteles nergens uitdrukkelijk als zodanig behandeld.

Aristoteles neemt aan, dat de valsnelheid (d.w.z. de gemiddelde snelheid over een zekeren afstand) evenredig is met de zwaarte van het vallend lichaam en omgekeerd evenredig met de dichtheid van het medium; of hij die evenredigheid voor alle gevallen strikt doorgevoerd heeft willen zien, of hij dus de later vaak tegen hem uitgespeelde conclusie, dat een lichaam dat tienmaal zo zwaar is als een ander, in een zelfde medium een zelfden afstand in een tienmaal zo korten tijd zou moeten doorlopen, voor zijn rekening zou hebben willen nemen, kan niet met zekerheid worden gezegd; in een ander soortgelijk geval blijkt hij namelijk een opgestelde evenredigheid slechts binnen zekere grenzen geldig te achten.

Een actueel vacuum is volgens hem onmogelijk.

 
Bron

[Professor Puntje]

Belangrijk in de bovengenoemde bron zijn:

d. Natuurlijke en gedwongen bewegingen

f. Het plaatsbegrip en de onmogelijkheid van het vacuum