maakt de bolschilstelling een fout, de wereld is toch niet plat?

[Michel Uphoff]

Als je goed kijkt zie je dat aan de linker kant de werkelijke (lichtblauwe) bolschil verder weg lig, en dat aan de rechter kant de werkelijke (lichtblauwe) bolschil dichterbij ligt. Het enige argument dat ik dan nog zou kunnen bedenken waarom deze twee werkelijk (lichtblauwe) segementen elkaar toch nog zouden kunnen uitbalanceren zou iets zijn met massaverdeling over de (lichtblauwe bolschil), maar eigenlijk geloof ik het niet.

 

Image1 693 keer bekeken

 
Newton levert in Lemma 7 het meetkundige bewijs dat de twee driehoeken abp en dcp gelijkvormig moeten zijn. Zie voor nadere toelichting ook hier en hier.

Lemma VII 693 keer bekeken

 
En vervolgt later met het shell theorema:

Shell theorema 693 keer bekeken

 
In bericht 7 heb ik vier dieper gaande papers over dit onderwerp geplaatst.
 
Topicstarter stelt dat het shell theorema niet klopt, "de mist ingaat".
Ik denk niet dat bijdragen inzake het niet rigoureus genoeg zijn van de onderliggende wiskunde gaan helpen bij het ontkrachten van dat idee, dat leidt alleen maar af. Ik denk dat topicstarter met een eenvoudig meetkundige stelling á la Newton zou moeten komen waarmee aannemelijk wordt gemaakt dat Newton (en allen daarna) het bij het verkeerde eind hebben. Als dat er eenmaal ligt, dan kan er wellicht eens in de nooks and crannies van de wiskunde gedoken worden om te zien of dat dan ook rigoureus te bewijzen valt.

[Professor Puntje]

Topicstarter stelt dat het shell theorema niet klopt, "de mist ingaat".
Ik denk niet dat bijdragen inzake het niet rigoureus genoeg zijn van de onderliggende wiskunde gaan helpen bij het ontkrachten van dat idee, dat leidt alleen maar af. Ik denk dat topicstarter met een eenvoudig meetkundige stelling á la Newton zou moeten komen waarmee aannemelijk wordt gemaakt dat Newton (en allen daarna) het bij het verkeerde eind hebben. Als dat er eenmaal ligt, dan kan er wellicht eens in de nooks and crannies van de wiskunde gedoken worden om te zien of dat dan ook rigoureus te bewijzen valt.

 
Daar kan ik mij in vinden. Ik heb de topic starter inmiddels genoeg aanwijzingen gegeven langs welke weg de zaken wel rigoureus bewezen kunnen worden. In de tijd van Newton en Leibniz was dat nog niet mogelijk.
 
Voor wie dat interesseert vermeld ik nog dat binnen de topologie en analyse een aantal tegenintuïtieve resultaten zijn bewezen. Daar hebben de natuurkundigen en technici echter maar weinig last van omdat het nogal exotische zaken betreft. Voor de zuiver wiskundige die op sluitende bewijzen is gesteld, zijn zij echter wel interessant.
 
Verder laat ik dit topic nu rusten, tenzij de topic starter nog met een interessante bewijspoging komt dat de bolschilstelling onjuist zou zijn.

[tempelier]

Bij #31
 
Die gelijkvormigheid volgt direct uit de stelling dat omtrekshoeken die op de zelfde boog staan even groot zijn.
(en de helft van het aantal boograden van die boog).
 
Wordt hier niet iets veel te moeilijk gemaakt?

[tuander]

Newton levert in Lemma 7 het meetkundige bewijs dat de twee driehoeken abp en dcp gelijkvormig moeten zijn. Zie voor nadere toelichting ook

Ik geloof ook wel dat de driehoeken (bolsegmenten) even groot zijn. Maar daar gaat het niet om. Het gaat om de gravitatiekracht die ze genereren. Ik heb even je plaatje geleend, ik hoop dat je me vergeeft. Om meteen duidelijk te zijn dat deze gelijke bolsegementen elkaar in balans houden om punt 'p' staan de driehoeken verkeerd gedraaid. Als 1 van de driehoeken gespiegeld zou zijn, zouden de driehoeken elkaars gravitatiekracht opheffen in punt 'p'. Zie het linker plaatje.

repost-28644-0-18293000-1469970944 692 keer bekeken

 
Maar de driehoeken staan dus verkeerd om. Dit betekent dat de massa's van de driehoeken elkaar niet automatisch in balans houden om punt 'p'. Om te kijken of  er toevalligerwijs toch sprake is van balans, moet je gaan kijken naar het 'zwaartepunt' van de driehoek (bolsegment) links en naar het zwaartepunt van de driehoek(bolsegment) rechts. Eerst de driehoek links, omdat, in het oorspronkelijke plaatje, 'a' dichter bij 'p' staat dan 'b' ligt het zwaartepunt  niet midden op de lijn a-b, maar dichter bij 'a'. Voor de driehoek rechts: omdat 'd' dcihter bij 'p' staat dan 'c' ligt het zwaartepunt dichter bij 'd' dan bij 'c'. Het 'nulpunt' tussen deze twee zwaartepunten bevindt zich op een lijn door deze twee zwaartepunten. En volgens mij gaat deze lijn (groen) niet door punt 'p'. Met andere woorden, punt 'p' zal dan een resultante gravitatiekracht ondervinden van deze twee bolesegmenten die niet nul is.
 
Maar ik geef meteen toe dat dit geen rigoureus wiskundig bewijs is. Ik ben ook maar een geïnterresseerde belangstellende / amateur. Ik heb de aangeleverde teksten ook nog niet gelezen, ben druk met andere dingen. Maar ik twijfel inmiddels wel steeds meer aan de aanames van newton. Nou ja, laat ik maar gewoon zeggen dat ik newton op dit moment niet meer geloof. Maar ik sta open voor argumenten.

[Michel Uphoff]

Als 1 van de driehoeken gespiegeld zou zijn, zouden de driehoeken elkaars gravitatiekracht opheffen in punt 'p'. Zie het linker plaatje.

 
Ik denk dat je de essentie van de redenering van Newton mist. Maak de tophoek (bij P) eens extreem klein, en de bolschil extreem dun. Dan blijven alleen de afstanden van de minuscule oppervlakjes op de bolschil tot P, de omgekeerde kwadratenwet van de zwaartekracht, en het gegeven dat de oppervlakjes zich verhouden als het kwadraat van de afstand tot P over. En vervolgens kan je dan concluderen dat dit geldt voor iedere mogelijke rechte lijn die door P te trekken is, dus voor de gehele bolschil.
 

Nou ja, laat ik maar gewoon zeggen dat ik newton op dit moment niet meer geloof.

 
Prima, maar met 'geloof' kom je op een wetenschapsforum niet weg, wel met bewijs. In de gegeven bijlagen staat het nodige grondiger bewijs. Dat mag je negeren, maar dan ben je waarschijnlijk alleen een 'geloof' aan het propageren en niet wetenschappelijk bezig.

[tempelier]

Het voortdurend door elkaar haspelen van namen en soms het gebruik van verkeerde namen maakt alles er niet duidelijker op.
Het is me daardoor niet goed helder wat tuander nu eigenlijk bedoeld.
 
Zo is een bolschil wat ander dan een bolschijf, maar hier wordt daar nogal wat mee afgetrommeld.

[tuander]

Het voortdurend door elkaar haspelen van namen en soms het gebruik van verkeerde namen maakt alles er niet duidelijker op.
Het is me daardoor niet goed helder wat tuander nu eigenlijk bedoeld.
 
Zo is een bolschil wat ander dan een bolschijf, maar hier wordt daar nogal wat mee afgetrommeld.

 
Daar heb je helemaal gelijk in. Mijn nederige excuses. Ik ga mijn best doen om dit in de toekomst te voorkomen
 

 
Ik denk dat je de essentie van de redenering van Newton mist. Maak de tophoek (bij P) eens extreem klein, en de bolschil extreem dun. Dan blijven alleen de afstanden van de minuscule oppervlakjes op de bolschil tot P, de omgekeerde kwadratenwet van de zwaartekracht, en het gegeven dat de oppervlakjes zich verhouden als het kwadraat van de afstand tot P over. En vervolgens kan je dan concluderen dat dit geldt voor iedere mogelijke rechte lijn die door P te trekken is, dus voor de gehele bolschil.

 [.....]

 
Dank voor de uitleg. Ik ga toch een iets andere redenatie volgen, maar kom er dan geloof ik toch op uit dat ik Newton / de bolschil beter ga begrijpen.
 
Ik ben erg visueel ingesteld, dus ik heb weer een plaatje gemaakt. Het plaatje is van een cirkel. De aanpak is om van een cirkel een veelhoek (polygoon) te maken, met als middelpunt de excentrische puntmassa 'p' (rode stip). Vervolgens ga ik 2 tegenoverliggende segmenten bekijken (paars en geel).
 

cirkel newton stralen exp res 693 keer bekeken

 
Deze segmenten krijg ik door een lijn door 'p' te tekenen, een soort 'middellijn' (groen). Dan teken ik om deze middellijn een 'kegelvorm', deze kegelvorm strekt zich uit in twee richtingen om punt 'p'. in het platte vlak zijn dat twee lijnen door 'p' met een even grote negatieve en positieve hoek met de 'middellijn. Dan ga ik de 2 raaklijnen tekenen van de 'middellijn' met de cirkel (bolschil). Het paarse en het gele segment worden begrensd door deze 2 raaklijnen aan de cirkel, en de lijnen van de kegelvorm.
 
Nu ga ik elk segment van de bolschil massa geven, deze massa verspreid ik gelijkmatig over de vlakken van de polygoon/ veelhoek. De dichtheid van de gelijkmatig verdeelde massa is overal gelijk, op elke segment maar ook over de buitenkant (de rechte raaklijn) gelijkmatig en even groot.
 
Nu ga ik de twee zwaartepunten (t.o.v. punt 'p') bekijken (blauwe stip) van deze 2 rechte vlakken. Ik heb dit niet berekend, maar ik neem aan dat beide zwaartepunten zich op de 'middellijn' (groen) bevinden. Dus ik neem aan dat punt 'p' (rood) en de 2 zwaartepunten (blauw) en de 2 toepasselijk snijpunten van de polygoon met de werkelijke bolschil zich bevinden op de 'middellijn' (groen).
 
Omdat ik moeite heb met de massa-symmetrie overwegingen van Newton, ga ik een kunstgreep toepassen, ik ga het paarse segment spiegelen om de 'middellijn'. Hierdoor komen de  polygoon-vlakjes van het paarse en van het gele segment vrijwel parallel te liggen. Waarschijnlijk zelfs helemaal parallel, maar ik heb dit niet nagerekend. Nu is de massa-symmetrie veel duidelijker, de gelijkmatig verdeelde massa's op de parallelle vlakjes die begrensd worden door de kegelvorm heffen elkaar heel mooi op.
 
Als voorlaatste stap kun je in gedachten deze behandeling voor alle tegenoverliggende segmenten in deze cirkel doen. En tot slot kun je een werklijke cirkel gaan benaderen door de segmentjes telkens kleiner te maken, dit doe je door de hoek van de kegelvormen telkens kleiner te maken, waardoor je de cirkel in meer segmentjes opdeelt. Uiteindelijk krijg je een bijna perfecte cirkel op deze manier.
 
Ik doe flink wat aannames bij deze benadering. Een aantal mogelijke fouten:

• een cirkel is plat en geen driedimensionale bolvorm. En een polygoon is ook plat en niet driedimensionaal. Mogelijk mag je deze platte benadering niet overzetten in de driedimensionale werkelijkheid
• de raaklijnen die de polygoon definiëren snijden de bolvorm mogelijk niet op de 'middellijn' (groen)
• de zwaartepunten van de vlakken van de polygoon (blauwe stippen) liggen mogelijk niet op 'middellijn' (groen)
• je mag het paarse segment mogelijk niet spiegelen om de middellijn. Ik neem aan dat dit wel mag, omdat zowel het zwaartepunt (blauwe stip) als punt 'p' (rode stip) zich bevinden op deze middeliijn (groen). Maar dit is toch een mogelijke fout.
• De buitenvlakken van het gele segment en het tegenoverliggende gespiegelde paarse segment liggen mogelijk toch niet precies evenwijdig.
• Als je het aantal segmenten laat toenemen tot oneindig en je een perfecte cirkel krijgt, is de massa mogelijk toch niet perfect gelijkmatig verdeeld over de cirkel / bolschil.
• Deze benadering is mogelijk niet dezelfde benadering die newton doet

 
Maar mocht dit allemaal kloppen, dan geloof ik dat ik Newton op dit punt ga geloven. Ik heb nog wel een aantal andere problemen met Newton's zwaartekrachtstheorie, maar daar gaat dit topic niet over

[tuander]

Om dingen wat te verduidelijken een analyse van zwaartepunten en een plaatje over massasymmetrie. Ik moet toegeven dat vooral ook het uitpluizen van zwaartepunten verhelderend was voor mezelf. Ik schaam me behoorlijk dat ik het tot nu toe precies verkeerd om had begrepen. Voel me zo nederig.
 

Eerst een analyse van zwaartepunten. Ik beschouw een object bestaande uit slechts twee gelijke puntmasa's (groene stippen) op gelijke afstand van een andere puntmassa 'p' (rode stip). De essentie van een zwaartepunt is dat je alle massa van het object er in samengebald mag denken.

kopie_van_zwaartepunt les 1 693 keer bekeken

 
Als ik de twee gravitatiekrachtvectoren bij het rode punt optel, weet ik de richting van het zwaartepunt. Verder valt op dat de resultante vector korter is dan de lengtes van de twee kleine vectoren samen, dus het zwaartepunt  (lichtblauw) moet op grotere afstand staan van punt 'p' (rood) dan de groene puntmassa's.
 
Ik schaam me dat ik, ondanks een vrij gedegen opleiding in krachtenleer, in mijn eigen hoofd een heel ander idee had over de ligging van dit zwaartepunt. Dat komt waarschijnlijk door de specifieke situatie hier. Ik ben gewend aan zwaartepuntsberekeningen van objecten in een homogeen zwaartekrachtsveld. Hier echter gaat het om de gravitatiekracht gegenereerd door een enkele puntmassa(rode stip). Een heel andere situatie
 
Dan wil ik ook nog graag een zwaartepunts-analyse toevoegen voor de situatie dat 1 van beide groene stippen verder weg ligt dan de ander. De bovenste groene stip uit het plaatje boven heb ik verschoven naar een grotere afstand, maar wel in dezelfde richting als voorheen.

kopie_van_zwaartepunt les 3 beter 693 keer bekeken

De postitie van het zwaartepunt (lichtblauw) verschuit hierdoor verder van het rode punt 'p' af, en ook een beetje van de oorspronkelijk postie van het bovenste groene punt af. De optelling van vectoren uit het eerste plaatje heb ik als grijze schaduw laten staan, zodat het verschil duidelijker is
 
Tot slot wilde ik nog graag een plaatje tonen over massa-symmetrie. Twee situaties in 1 plaatje. De linker situatie is voor mij volstrekt helder, je kunt twee gelijk verdeelde massa's hebben uitgespreid over twee parallelle vlakken, je kunt de kegelvorm (rode lijnen) tekenen en de massa's daartussen (blauwe dikke lijnen) balanceren elkaar uit. Dat is zeer duidelijk.
 
Maar de situatie in een bolschil is anders. De situatie rechts, op zich dezeflde vlakken met dezelfde massaverdeling, maar de onderste driehoek (halve kegelvorm) is gespiegeld om zijn eigen middellijn/as. voor mij spreekt de massasymmetrie hier minder vanzelf, maar balans is niet uitgesloten

massabalans newton vs symmetrisch 692 keer bekeken

[tuander]

newton massaverdeling ringsegment 693 keer bekeken

 
ik doe nog een afbeelding passend bij mijn originele argument in mijn eerste post, over de massaverdeling van een ringsegment in de bolschilstelling. Volgens Newton wordt alle massa van het oppervlak (groen) gelijkmatig uitgesmeerd gedacht, en wordt vervolgens opgeteld tot een oneindig dunne ring in het midden. maar een kegelsegment heeft relatief meer massa aan de 'onderkant' dan aan de bovenkant. Als je deze meer werklijke massaverdeling optelt tot een oneidig dunne ring, bevindt deze ring zich niet meer in het 'midden' van het segment, maar iets meer naar onder. Dit heeft gevolgen voor je berekeningen, meer precies voor de rekenafstand van de ring tot de massa 'kleine m', althans dat vermoed ik.
 
Ik hoop dat deze afbeelding iets toevoegt, verduidelijkt.

[Michel Uphoff]

Laatste poging. Het rigoureuze wiskundige bewijs is al geleverd in de eerdere bijlagen, dus eigenlijk is dit overbodig maar toch hierbij het aannemelijk maken volgens jouw methode. Je hebt het wat losjes geformuleerd over de vormverschillen tussen beide ringsegmenten, en meent dat daardoor zwaartekrachtverschillen ontstaan. Links is dat vormverschil heel duidelijk:
 

Image2 692 keer bekeken

 
Die vormverschillen worden naarmate de hoek kleiner wordt, en de schil dunner, almaar kleiner. Als we de hoek in de richting A extreem klein maken en de schil heel dun krijgen we vormen die tenderen naar de grijze blokken rechts. We houden een doorsnedeoppervlak over dat ingesloten wordt door 2x2 evenwijdige lijnen (vierkanten, rechthoeken, parallellogrammen, ruiten).
 
Maar ook deze vormverschillen worden irrelevant als we de schil nog dunner (een vliesje) of de hoek kleiner (een zeer dun staafje), of beide kleiner maken (puntdeeltjes). We houden uiteindelijk dus een paar puntdeeltjes over, aan de ene zijde bijvoorbeeld 1 op afstand x en aan de andere zijde 4 op een afstand 2x. De massa's blijven zich verhouden tot het kwadraat van de afstand tot het snijpunt van de rode lijnen, en de uitgeoefende zwaartekracht is hier omgekeerd evenredig mee. Op het kruispunt van de rode lijnen is dus de gravitatie van beide massa's even groot en tegengesteld, een voorwerp in rust op dit punt zal in rust blijven.
 
Deze redenatie kan je voor ieder denkbaar punt binnen de bolschil opzetten.

[tuander]

Ik heb daar al over nagedacht. Je moet uitkijken met dit soort oneindigheidsdenken. Als die redenatie zou kloppen zou dat opgaan voor elke holle vorm, dus ook voor bijvoorbeeld een holle oneindig dunne kubus of bijvoorbeeld een holle kegel. Ik weet niet of ik dat wel geloof. Zelfs voor de ruimte tussen 2 parallelle platte vlakken kun je een soortgelijke redenatie houden, en daar weten we toch wel van dat dat niet op gaat. Vandaar dat ik mijn bedenkingen heb bij deze 'bewijsvorming'

[Michel Uphoff]

Vandaar dat ik mijn bedenkingen heb bij deze 'bewijsvorming'

 
Dat ben ik met je eens, ik noemde het dan ook aannemelijk maken.
Punt is dat ik met de door jou gehanteerde werkwijze aannemelijk lijk te kunnen maken dat het shell theorema klopt, terwijl jij er juist het tegendeel mee denkt aan te kunnen tonen. Dat toont m.i. aan dat deze benadering niet geschikt is voor een bewijs, noch voor het ontkrachten van het theorema. Bijlage 3 van mijn eerdere reactie levert dat bewijs wel.

[tuander]

Ik wil nog een paar opmerkingen maken. In de eerste plaats: driedimensionaal denken is moeilijk. het snijvlak van een kegel met een bol is geen vierkant of ruit of paralellogram, door er zo naar te kijken maak je sowieso een fout. Het snijvlak van bol en cilinder is volgens mij meer een soort 'eivorm' gesneden uit het gekromde oppervlak van een bol. Het is mij niet duidelijk of het zwaartepunt van dit 'eivormige schilsegment' wel ligt op de as van de kegel, m.a.w. of je rekening moet houden met een zijwaartse component van de resultante gravitatie-vector loodrecht op deze as. Zoals al opgemerkt liggen sommige van deze tegenoverliggende eivormpjes gespiegeld t.o.v. elkaar waardoor een eventuele zijwaarste component niet opgeheven wordt, maar juist versterk door het tegenoverliggende eivormpje. Maar doet dat wel ter zake? Een bolschil kun je namelijk helemaal niet opgebouwd denken uit deze eivormpjes, ze sluiten niet goed op elkaar aan. Met radiaal uitwaaierende gelijkvormige cilindervormen kun je geen driedimensionale ruimte vullen, er blijft lege ruimte over, net als tussen de boomstammen in een houtstapel. En dan is er dus het gedonder met de aangrijpingspunten, zwaartepunten, middelpunten. Newton probeert dat op te lossen door een bol opgebouwd te denken uit schillen. Maar een simpele vraag: moet je deze bolschillen dan concentrisch opgeteld denken? Of liggen alle middelpunten van die bolschillen op een net iets andere plek? Met al die schuivende zwaartepunten en wijkende vlakken denk ik er het mijne van.
 
Verder viel me iets op in jouw laatste afbeelding, die van de eindig dikke bolschil / met dikke rand. Als je de 2 tegenoverliggende kegels beschouwd vanuit het punt 'p' dan valt meteen op dat er een groot verschil is tussen de 'linker' en 'rechter' kegel. De linker kegel bestaat grotendeels uit lege ruimte met maar een klein vlakje materie aan het eind, terwijl de rechter kegel grotendeels bestaat uit materie met maar een klein vlakje lege ruimte vlak bij de top (punt 'p'). Dit komt omdat punt 'p' vlak bij de binnenrand van de bol ligt. Dus de afstand van p tot de binnenrand rechts is kleiner dan de dikte van de bolschil, terrwijl links de afstand van p tot de binnenrand veel groter is dan de dikte van de bolschils. Maar nu de vraag: Het kan toch niet zo zijn dat die twee massa's elkaar dan in evenwicht houden? Aangezien de massa gelijkmatig verdeeld is over de inhoud. De linker kegel bevat relatief veel minder massa dan de rechter. Als de tegenoverliggende kegels helemaal gevuld waren met massa hielden ze elkaar in evenwicht, maar de linker kegel heeft echt veel meer lege ruimte.
 
En verder. Helaas ben ik niet zo thuis in elektrische velden. Dus ik kan het bewijs waar jij op doelt (phy481 - lectures 7 and part of 8) niet direct controleren. Dat spijt me erg, maar ik dank je wel voor al je moeite om het me uit te leggen
 

[tuander]

Waarom ik zo door ga op die zwaartepunten heeft een reden. Ik geloof namelijk dat Newton door de bolschilstelling te gebruiken een foutje maakt. Ik vermoed dat voor een puntmassa dicht bij een zware homogene bol, bijvoorbeeld een planetoïde nabij de zon, dat voor deze planetoïde het zwaartepunt van de zon niet meer in het geometrische midden van de zon ligt, maar dat het zwaartepunt verschuift naar een positie dichter onder het oppervlak.
 
Voor verder weg gelegen planetoïdes (puntmassa's) ligt dit zwaartepunt van de zon dan wel meer naar het geometrische midden van de zon, Het zwaartepunt schuift weer meer naar het geometrische midden van de zon omdat de zijwaartse componenten van de zwaartekracht meer verwaarloosbaar worden. De totaalafstand tussen planetoïde en zon is dan zo groot dat de onderlinge afstanden binnen in de zon verwaarloosbaar worden t.o.v. de grote afstand tussen zon en planetoïde. Het effect van de verschoven zwaartepunten valt dan in het niet bij de zeer grote totaalafstanden tussen alle massa's. Ofwel, voor objecten nabij de zon lijkt de zon zwaarder dan voor objecten verder af van de zon.
 
Nou ja, het is een veronderstelling. Ik ben bezig met het zoeken naar bewijs, maar het verschilletje is sowieso heel klein en ik heb er moeite mee. Het is zoiets als het verschilletje tussen een wortel{ cosinus (phi) }*sin(x) functie vergeleken met een 1/x²*sin(x) functie over de diameter van de bolmassa. Maar neem me maar niet kwalijk, deze formules kloppen niet precies, ik ben nog aan het zoeken
 
Overigens maakte ik ook een foutje bij mijn vorige post, toen ik het had over die lege ruimte binnen de kegel links en rechts. Dat is op zich niet zo heel erg belangrijk natuurlijk, want natuurlijk balanceert een grotere met gelijkmatige massa gevulde kegel links niet met een kleinere met dezelfde gelijkmatige massa gevuld kegel rechts. Mijn excuses voor deze vergissing en verwarring. Excuses, voor de foutjes, ik leer alleen door foutjes te maken

[Marko]

Waarom ik zo door ga op die zwaartepunten heeft een reden. Ik geloof namelijk

 

[...]

 

Tja, dan houdt het al bijna op.

  

Ik vermoed dat
 
[...]

 
Dan is de volgende stap, wetenschappelijk gezien, om dat vermoeden experimenteel te toetsen. Heb je een meting die dit vermoeden staaft?

 

Excuses, voor de foutjes, ik leer alleen door foutjes te maken
 

 
Van je fouten kun je leren, maar het is pertinent niet zo dat je alleen van fouten leert. Je leert namelijk ook door te proberen te begrijpen hoe iemand die het goed doet, dat doet. Een dergelijke strategie lijkt in dit kader aan te bevelen.