Doorbuiging van een buigligger met constante q-belasting

[Oplosser]

Bij deze.
 
 
Normale procedure:
 
 
dV/dx = -q => V(x) = -qx + c1
 
 
dM/dx = V(x) => M(x) = -1/2*q *x^2 + c1 *x + c2
 
M(0) = 0 => c2 = 0.
 
M(l) = 0 => -1/2 * q * l^2 + c1 * l = 0 => c1 = 1/2 * q * l
 
M(x) = -1/2 * q * x^2 + 1/2 * q * 1 * x
 
 
 
Kappa = M / EI en dfi / dx = Kappa
 
EI * fi(x) = 1/6 * q * x^3 - 1/4 * q * l * x^2 + c2
 
 
EI * w(x) = 1/24 * q * x^4 - 1/12 * q * l * x^3 + c3 * x + c4 = 0
 
EI * w(0) = 0 => w(0) = 0;
 
EI * w(l) = 0 => c3 = 1/24 * q * l^3 * x
 
w(x) = 1/(24*EI)* q * x^4 - 1/(12*EI) * q * l * x^3 + 1/(24*EI) * q * l^3 * x
 
Met w(l/2) = 5/(384*EI)*q*l^4
 
 
 
Het gaat over de factor kappa:
 
Kennelijk, als je de kromming kappa 2 maal integreert krijg je de zakkingslijn.
 
Als dat waar zou zijn zou dat gelden voor elke functie waarvan de kromming bekend is.
 
 
Als je dat test op een cirkel krijg je het volgende:
 
 
De kromming van een cirkel is 1/R = kappa.
 
Als je de kromming dan 2 keer integreert krijg je: 
 
Fi (x) = Eerste keer integreren: x/R + c1
w(x) = Tweede keer integreren: x^2 / (2 * R)  + c1 * x + c2
 
 
w(0) = 0 => c2 = 0;
w(R) = R => c1 = 1/2
 
w(x) = 1/(2 * R) * x^2 + 1/2 * x 
 
Als je dit uitzet in een grafiek zie je dat het niet klopt. Zie pdf 1.
De echte cirkel in blauw en de benaderde in rood..
 
 
Dat zit hem in de kromming en de kromtestraal. 
 
Dus 2 maal kappa integreren om w(x) te vinden is een benadering.
 
 
Als je de werkelijke kromtestraal zou berekenen krijg je de volgende differentiaal vergelijking:
 
 
M * EI = w'' / ((1+ (w')^2)^3/2) Voor M kan je dan invullen 1/2 * q * x^2 - 1/2 * q * l * x
 
 
Kromtestraal R is: ((1 + (w')^2)^3/2) / w''
De kromming is dan de waarde  1/R = w'' / ((1+ (w')^2)^3/2)
 
Deze differentiaal vergelijking kan je numeriek oplossen en het grafische resultaat in de vorm van de doorbuigingslijn is in pdf2 toegevoegd voor de gegeven uitgangspunten. In blauw met het bekende vergeet me nietje: 5/(384 * EI) * q * l^4 en in rood met de werkelijke verhouding tussen de doorbuiging en de kromming.
 
 
Met vriendelijke groet.

[boertje125]

de wiskunde gaat mij boven de pet dat is al ruim 20 jaar geleden en toen snapte ik het ook niet volledig.
 
Maar als praktisch constructeur zou ik dit niet met een ligger theorie durven benaderen.
e.a lijkt meer op een koord en de lengte van het geheel veranderd zoveel dat je hier ook iets mee moet lijkt mij

[Oplosser]

Goedenavond,
 
 
 
Voor de dagelijkse praktijk is dit veel te uitgebreid en ook helemaal niet nodig. Verschillen gaan pas optreden bij hele grote doorbuigingen en die vallen sowieso buiten de door normen gestelde maximale doorbuigingen evenals dat er nog geen materiaal is ontdekt waarbij bij deze doorbuigingen de gehele doorsnede elastisch blijft.
 
Vandaar ook de tekst: theoretische doorbuiging. Voor het begrip.
 
Niets meer of minder.
 
Zit jij in de bouwkunde tak of meer de weg- en waterbouwkunde?
 
 
Met vriendelijke groet.

[boertje125]

Bouwkunde
 
ps een fout van maar 50% in de doorbuiging doen wij het gewoon voor.
de onzekerheden bij bijvoorbeeld beton zijn nog veel groter
een weekje langer onderstempelen of een wat hogere temperatuur bij de verharding heeft op de lange termijn meer invloed.
verder is bij beton de E belasting afhankelijk om het nog even leuker te maken.