Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity

[mathfreak]

Ik weet niet hoe het met je wiskunde-kennis staat, maar kijk hier eens naar:

https://staff.fnwi.uva.nl/j.vandecraats ... nde2HP.pdf

https://staff.fnwi.uva.nl/j.vandecraats ... .pdf/quote]
Van het Basisboek Wiskunde had ik al een pdf-bestand op mijn laptop staan. Ik heb zojuist die van het Vervolgboek Wiskunde erbij gezet. Dank voor het plaatsen van de link.

[Gast]

Hmm ja. Ik heb het zojuist bekeken en laat het denk ik uitprinten. Al is t puur voor "hersen-training". Thanks.

[Professor Puntje]

Klaar met hoofdstuk 2. In hoofdstuk 3. begint het echte werk (Schwarzschild metriek), ben benieuwd of ik daarin vastloop...

[Professor Puntje]

Ik heb even gas terug moeten nemen om mijn hersens wat tot rust te laten komen, maar vandaag ben ik weer verder gaan lezen. Het is nog steeds goed te volgen. Ik heb inmiddels ook een papieren versie van de eerste editie besteld (als tweedehands boek). Ik werk nog steeds het liefst met ouderwetse papieren boeken.

[Gast]

Ik werk nog steeds het liefst met ouderwetse papieren boeken.

Ja wie niet zou ik zeggen. .. Ik wacht nog steeds op mijn .. de printshop. (Duurt wel lang.)

[Gast]

Ineens komt er in me op dat over vraag 12C (tijdje terug maar toch) dat waarom in journalistieke artikelen impuls van deeltjes wel in de juiste SI eenheid GeV/c wordt uitgedrukt maar massa niet .. in GeV/c2 ..?

[Professor Puntje]

De formule E = m.c² is iedereen bekend dus zal het ook maar weinig mensen verbazen dat je een hoeveelheid aan massa kunt uitdrukken in de equivalente hoeveelheid aan energie, maar voor impuls ligt dat toch even anders en daarvoor kunnen de alternatieve door relativisten gebruikte eenheden dan ook gemakkelijk verwarring stichten. Vandaar waarschijnlijk dat men voor impuls liever de bekende huis-tuin-en-keuken eenheden aanhoudt. Tenminste – dat lijkt mij. Maar ik ben geen journalist.

Hoofdstuk 3 heb ik nu ook uitgelezen, en vandaag ga ik de vraagstukken proberen. Ben benieuwd of ik het echt zo goed begrepen heb dat ik die nu ook aan kan....

[Gast]

Oja, dat klinkt logisch.

Je bent er maar druk mee bezig. (Hopelijk is het ook uhm .. helpend voor het beter begrijpen van GR.)

Ook mooi voor mij, want dan kan je mij (wanneer de uitprint ooit aankomt) goed helpen

[Professor Puntje]

Ik moet nu uitkijken dat ik niet meer wil dan ik aanvankelijk als einddoel gesteld had. Zodra ik de betekenis van de symbolen in de Einstein veldvergelijking begrijp en de afleidingen van de lichtbuiging rond de zon en de perihelium-precessie van Mercurius kan volgen moet het mooi genoeg zijn. Ik ben ook niet de jongste meer (inmiddels 60). Deze studie van de ART is slechts hobby.

[Professor Puntje]

De opgaven van hoofdstuk 3 zijn mij gelukt op één na:

Zie Note 1. Wat ik ook probeer de massa M van het zwarte gat valt bij mij niet weg uit de maximale tijdsduur van ongemak.

Misschien kan iemand anders eens proberen of dat hem/haar wel lukt?

[Professor Puntje]

Ik heb het tweedehands papieren boek inmiddels binnen. Dat is een eerdere editie van de uitgebreide pdf-versie die op internet staat. Maar ook daarin komt het vraagstuk van het berichtje hierboven voor. Dat maakt het onwaarschijnlijk dat die opgave (en met name Note 1) fout is. As ik de tijd heb zal ik mijn uitwerking hier plaatsen zodat de lezers mee kunnen zoeken naar wat ik fout doe.

[Gast]

As ik de tijd heb zal ik mijn uitwerking hier plaatsen zodat de lezers mee kunnen zoeken naar wat ik fout doe.

Dat zou ik heel erg op prijs stellen iig.
(Voor alle oefeningen?)

Mijn uitgeprinte versie komt tussen nu en 14u.

Alleen ik zal echt heel langzaam gaan. Ik kan simpelweg niet anders. Wel zal ik (wanneer deze posttraumatische hoofdpijn es wat minder wordt) eerst kijken naar de vraagstukken die jij gestuurd hebt. En hopelijk kan ik erbij helpen .. twee weten (bijna) altijd meer dan één.

Ik snap trouwens niet waarom de oude, kortere versie kopen? (Uit laten printen is toch ook goed?)

[Professor Puntje]

Ik ben een ouderwetse boekenliefhebber, en uitgeprinte versies zijn nu eenmaal geen echte boeken. Als het even kan wil ik dan ook de echte (dat is: als boek uitgegeven) versie hebben. Bovendien bevat de pdf-versie eigenlijk al weer meer dan ik van de ART wil weten.

Om al mijn uitwerkingen van de opgaven hier te plaatsen is mij te veel werk. De meeste opgaven maak ik heel slordig op een papiertje zonder alles te checken. Maar wat ik hier op het Wetenschapsforum aan afleidingen en bewijzen plaats neemt veel meer tijd omdat ik dat dan heel precies nakijk of het (volgens mij) wel klopt. Dat vervelende controlewerk vind ik alleen de moeite waard voor de moeilijk te doorgronden opgaven.

[Professor Puntje]

Opgave 5

Ik zal hieronder rekenen met de gebruikelijk SI-eenheden. Dat maakt voor de verschijnselen niet uit, maar is voor amateurs zoals ik beter te volgen. (Ik verwacht ook niet dat professionele relativisten die werken met speciale relativistische eenheden van deze berichtjes nog iets op kunnen steken. ) De gravitatiewet van Newton geeft voor de kracht F uitgeoefend door een zwaar puntvormig hemellichaam met massa M op een persoon met massa m op afstand r van dat hemellichaam dat:

\(\)

\( F = \mathrm{G} \frac{\mathrm{M}\, \mathrm{m}}{r^2} \)

\(\)

Voor de gravitatieversnelling g(r) werkend op de persoon op afstand r van het hemellichaam geldt dan:

\(\)

\( \mathrm{m} \cdot \mathrm{g}(r) = \mathrm{G} \frac{\mathrm{M} \, \mathrm{m}}{r^2} \)

\(\)

\( \mathrm{g}(r) = \frac{\mathrm{G} \, \mathrm{M}}{r^2} \)

\(\)

De gravitatieversnelling g(r) neemt kennelijk onbeperkt toe wanneer r naar nul nadert. De mate van toename T(r) voor afnemende r vinden we aldus:

\(\)

\( \mathrm{T}(r) = - \frac{\mathrm{d} \mathrm{g}(r)}{\mathrm{d} r} \)

\(\)

\( \mathrm{T}(r) = - \left ( \frac{-2 \, \mathrm{G} \, \mathrm{M}}{r^3} \right ) \)

\(\)

\( \mathrm{T}(r) = \frac{2 \, \mathrm{G} \, \mathrm{M}}{r^3} \)

\(\)

Laat nu de persoon een lengte l hebben en verticaal naar het hemellichaam toe vallen zodat zijn voetzolen zich op de afstand r - l/2 bevinden en de bovenkant van zijn hoofd op de afstand r + l/2. En noem de gravitatieversnelling op het oppervlak van de aarde g_earth. Wanneer deze persoon in vrije val boven op zijn hoofd een opwaartse gravitatieversnelling van -g_earth voelt en onder aan zijn voeten een neerwaartse gravitatieversnelling g_earth dan noemen we de afstand van het hemellichaam waarop dat gebeurt de "oncomfortabele afstand" r_ouch. Bij benadering geldt daar dus voor:

\(\)

\( \mathrm{T}(r_{ouch}) \cdot \frac{\mathrm{l}}{2} = \mathrm{g}_{earth} \)

\(\)

\( \frac{2 \, \mathrm{G} \, \mathrm{M}}{(r_{ouch})^3} \cdot \frac{\mathrm{l}}{2} = \mathrm{g}_{earth} \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{G} \, \mathrm{M}}{(r_{ouch})^3} \cdot \mathrm{l} = \mathrm{g}_{earth} \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{G} \, \mathrm{M}}{ \mathrm{g}_{earth} } \cdot \mathrm{l} = (r_{ouch})^3 \)

\(\)

\( r_{ouch} = \sqrt[3]{ \frac{\mathrm{G} \, \mathrm{M}}{ \mathrm{g}_{earth}} \cdot \mathrm{l} } \)

\(\)

Later meer...

Ziet iemand tot zover een fout?

[Professor Puntje]

Opgave 5 (eind)

We stellen ons nu voor dat de persoon vanuit rust in het oneindige naar het zware puntvormige hemellichaam toe wordt getrokken. Voor de potentiële energie U van de persoon geldt dan:

\(\)

\( U = - \mathrm{G} \frac{\mathrm{M}\, \mathrm{m}}{r} \)

\(\)

Op grond van energiebehoud zal de kinetische energie E_k van de persoon bij zijn val naar het hemellichaam dan voldoen aan:

\(\)

\( U + E_k = 0 \)

\(\)

Zodat:

\(\)

\( - \mathrm{G} \frac{\mathrm{M}\, \mathrm{m}}{r} + \frac{1}{2} \mathrm{m} \, v^2 = 0 \)

\(\)

\( \frac{1}{2} \mathrm{m} \, v^2 = \mathrm{G} \frac{\mathrm{M}\, \mathrm{m}}{r} \)

\(\)

\( \frac{1}{2} \, v^2 = \mathrm{G} \frac{\mathrm{M}}{r} \)

\(\)

\( v^2 = \frac{2 \mathrm{G} \mathrm{M}}{r} \)

\(\)

Dus geldt voor de snelheid v_ouch van de persoon (richting hemellichaam) op de afstand r_ouch dat:

\(\)

\( (v_{ouch})^2 = \frac{2 \mathrm{G} \mathrm{M}}{r_{ouch}} \)

\(\)

Voor een schatting van de maximale tijd t_max die de persoon in de oncomfortabele uitrekkingssituatie verkeert gaan we uit van de wetenschap dat de persoon de afstand r=r_ouch tot r=0 met een snelheid groter of gelijk aan v_ouch aflegt. Dus:

\(\)

\( v_{ouch} \cdot t_{max} = r_{ouch} \)

\(\)

\( (v_{ouch})^2 \cdot (t_{max})^2 = (r_{ouch})^2 \)

\(\)

\( \frac{2 \mathrm{G} \mathrm{M}}{r_{ouch}} \cdot (t_{max})^2 = (r_{ouch})^2 \)

\(\)

\( 2 \mathrm{G} \mathrm{M} \cdot (t_{max})^2 = (r_{ouch})^3 \)

\(\)

\( 2 \mathrm{G} \mathrm{M} \cdot (t_{max})^2 = \frac{\mathrm{G} \, \mathrm{M}}{ \mathrm{g}_{earth} } \cdot \mathrm{l} \)

\(\)

\( (t_{max})^2 = \frac{\mathrm{l} }{ 2 \, \mathrm{g}_{earth} } \)

\(\)

\( t_{max} = \sqrt{ \frac{\mathrm{l} }{ 2 \, \mathrm{g}_{earth} } } \)

\(\)

Het klopt dus inderdaad dat de massa M van het hemellichaam hier wegvalt. Uitrekenen geeft voor een persoon met lengte l = 2 m dat t_max ≈ 0,3 s.