Professor Puntje schreef: ↑zo 04 jul 2021, 14:59
Dank! Hoe worden zulke integralen van tensoren op de universiteit geïntroduceerd? In het boek staat dus nu al een opgave met een dergelijke integraal terwijl dat soort integralen op dat punt in het boek nog niet eens gedefinieerd zijn, laat staan dat al is aangetoond wat de eigenschappen van zulke integralen zijn. Geldt dat op
graduate level als vanzelfsprekend?
Wij kregen in ons eerste jaar iets over de traagheidstensor in een vak mechanica, maar daar begreep ik de ballen van. Dat ding werd toen middels een som over deeltjes geïntroduceerd, waarna een integraal intuïtief werd gemotiveerd als een Riemann-som. Daarbij maak je impliciet gebruik van het feit dat een som van tensoren ook weer een som is, en dat deze eigenschap blijft gelden in de gebruikelijke limiet. Dat gebeurde niet heel rigoreus.
In een vak algemene relativiteit geldt iets soortgelijks, hoewel je daar wel moet checken natuurlijk dat je volume-element dV invariant is ("scalair") onder de desbetreffende transformaties. In het algemeen, dus voor een algemene basis, schrijf je een integraal van een scalaire functie f over een n-dimensionale variëteit als
\(\int f(x^i) \sqrt {|g|}d^n x \)
waarbij |g| de determinant van de metriek is. In Cartesische coordinaten en de standaard-basis is deze gelijk aan 1, maar in het algemeen niet. Je weet wellicht dat het volume-element d^n x met een Jacobiaan van de coordinatentransformatie transformeert, dus dit volume-element is niet een scalair. Het algemene volume-element wordt gegeven door \sqrt {|g|}d^n x en is wel scalair, maar dat zal vast ook nog wel ergens in jouw tekst voorbij komen. Dit soort zaken worden belangrijk als je b.v. in bolcoordinaten je traagheidstensor wilt definiëren, of op gekromde oppervlakten.
Wellicht dat ik dit soort zaken ooit in een vak differentiaalmeetkunde kreeg ("meetkunde en fysica"), maar dat vak was hopeloos wiskundig en sloot niet of nauwelijks aan bij hoe we het toepasten in de natuurkunde. Dat vak heb ik volgens mij met een 9 gehaald, maar daar is niet zoveel van blijven hangen. Dat soort zaken heb ik later eigenlijk pas echt geleerd in natuurkunde tekstboeken, door expliciete gevallen door te rekenen in plaats van algemene bewijzen door te ploegen. Iets soortgelijks geldt voor mijn afstudeeronderzoek, wat nogal formeel-wiskundig was. Dat soort ervaringen heeft me ook wat sceptisch gemaakt jegens formeel-wiskundige teksten. Maar ook op Physicsforums heb je daarin ruwweg 2 kampen. Ik hoor overduidelijk niet in het formeel-wiskundige kamp.
