Kronecker delta's

[flappelap]

Die laatste check is echter niet triviaal, want eigenlijk moet je bij het woord 'tensor' altijd de specifieke groep van transformaties vermelden. In de algemene relativiteitstheorie zijn dit bijna altijd impliciet de algemene coördinatentransformaties. Maar we zagen eerder al dat de epsilon-tensor alleen een tensor is voor die transformaties waarbij de determinant plusminus 1 is; onder algemene coördinatentransformaties is dat ding dus geen tensor. Ook een ding als de Christoffel-connectie is alleen een tensor onder een beperkte groep transformaties (waaronder de Lorentz-transformaties), maar zeker NIET onder algemene coördinatentransformaties.

Je kunt het vast ook met meer fancy-pancy wiskunde doen (met name wiskundigen hebben nog wel es een fetish voor coördinaat-onafhankelijke notatie), maar voor mij persoonlijk biedt dat geen extra inzicht.

Zijn de definities van een tensor als multilineaire functionaal en als getallenblok dat voldoet aan bepaalde transformaties als gevolg van een verandering van basis nog wel equivalent als je aanvullende restricties gaat opleggen aan de transformaties die geoorloofd zijn.

Ja. Je moet die restrictie dan wel toevoegen aan de definitie. Je beperkt je daarmee tot een subgroep van algemene coördinaten transformaties.

Dit zou je b.v. doen als je de Newtonse mechanica, zoals de 2e wet, tensorieel formuleert (je kunt deze overigens ook tensorieel formuleren waarbij je de volledige groep van algemene coördinaten transformaties gebruikt, maar da's weer een ander verhaal)

[Professor Puntje]

Probleem is dat de definitie van een tensor als een multilineaire functionaal het helemaal niet heeft over transformaties, coördinaten of bases van de vectorruimte V. Ik zie dan ook niet hoe je zo'n beperking aan de coördinaatvrije definitie kunt toevoegen zonder een wangedrocht te scheppen.

[Math-E-Mad-X]

Probleem is dat de definitie van een tensor als een multilineaire functionaal het helemaal niet heeft over transformaties, coördinaten of bases van de vectorruimte V.

Dat komt omdat je het wiskundige begrip 'tensor' verwart met het natuurkundige begrip.

Wat men in de natuurkunde een 'tensor' noemt, is in de wiskunde een 'raaktensor'.

Bovendien gebruikt men in de natuurkunde vaak het woord tensor, terwijl men eigenlijk bedoelt: "een functie die aan ieder punt van de tijdruimte een raakvector toekent". (meer in het algemeen noemen natuurkundigen een object vaak X terwijl men het eigenlijk heeft over een functie die aan ieder punt in de tijdruimte een X toekent).

[Professor Puntje]

Probleem is dat de definitie van een tensor als een multilineaire functionaal het helemaal niet heeft over transformaties, coördinaten of bases van de vectorruimte V.

Dat komt omdat je het wiskundige begrip 'tensor' verwart met het natuurkundige begrip.

Wat men in de natuurkunde een 'tensor' noemt, is in de wiskunde een 'raaktensor'.

Bovendien gebruikt men in de natuurkunde vaak het woord tensor, terwijl men eigenlijk bedoelt: "een functie die aan ieder punt van de tijdruimte een raakvector toekent". (meer in het algemeen noemen natuurkundigen een object vaak X terwijl men het eigenlijk heeft over een functie die aan ieder punt in de tijdruimte een X toekent).

Ik zie nog niet hoe dat het probleem oplost. Neem bijvoorbeeld dit:

Bron: http://www.math.leidenuniv.nl/~kooman/tensoren.pdf

Hoe definieer je zulke Cartesische tensoren als multilineaire functionalen?

[flappelap]

Probleem is dat de definitie van een tensor als een multilineaire functionaal het helemaal niet heeft over transformaties, coördinaten of bases van de vectorruimte V.

Dat komt omdat je het wiskundige begrip 'tensor' verwart met het natuurkundige begrip.

Wat men in de natuurkunde een 'tensor' noemt, is in de wiskunde een 'raaktensor'.

Bovendien gebruikt men in de natuurkunde vaak het woord tensor, terwijl men eigenlijk bedoelt: "een functie die aan ieder punt van de tijdruimte een raakvector toekent". (meer in het algemeen noemen natuurkundigen een object vaak X terwijl men het eigenlijk heeft over een functie die aan ieder punt in de tijdruimte een X toekent).

Ik heb nog nooit van een raak'tensor' gehoord, alleen van een raakvector. Daar zijn natuurkundigen inderdaad wat makkelijk in; vectoren zijn in de ART raakvectoren.

[flappelap]

Probleem is dat de definitie van een tensor als een multilineaire functionaal het helemaal niet heeft over transformaties, coördinaten of bases van de vectorruimte V. Ik zie dan ook niet hoe je zo'n beperking aan de coördinaatvrije definitie kunt toevoegen zonder een wangedrocht te scheppen.

Nee, ik zie ook niet in hoe je dat coordinaatvrij kunt doen. Ik zal es omneuzen in Wald, misschien dat daar wat in staat.

Zoals ik het begrijp is een tensor een multilineaire afbeelding op producten van raakruimten en duale raakruimten, waarvan de bases zijn gerelateerd via een groep G van transformaties. In de ART zijn dat algemene coördinaten transformaties, in de SRT is G de Poincaré groep, in de kwantummechanica/klassieke mechanica is G de Bargmanngroep/Schrödingergroep, in de kwantumveldentheorie heb je nog SU(N) tensoren, etc. etc.

[wnvl1]

Mijn bewijs iets beter geformuleerd nu...


De vector \(\mathbf{V}\) en de covector \(\boldsymbol{\omega}\) zijn gedefinieerd in hun basis als

\begin{align*} \mathbf{V}=V^\mu \boldsymbol{e_\mu}\\
\boldsymbol{\omega}=\omega_{\nu} \boldsymbol{\theta^\nu}\end{align*}

We heben dan na contractie met Kronecker delta

$$ \delta^{\mu}_{\,\nu}(\mathbf{V},\boldsymbol{\omega}) = V^\lambda\omega_{\lambda} $$

Na coordinatentransformatie

\begin{align*} \boldsymbol{\hat{e}_\mu}&=\Lambda^\nu_\mu \boldsymbol{e_\nu}\\
\boldsymbol{\hat{\theta}^\nu}&=(\Lambda^{-1})^{\nu}_\mu \boldsymbol{\theta^\mu}\end{align*}


kunnen \(\mathbf{V}\) en de covector \(\boldsymbol{\omega}\) herschreven worden als

\begin{align*} \mathbf{V}&= V^{\mu'} \boldsymbol{\hat{e}_\mu}\\
\boldsymbol{\omega}&=\omega_{\nu'} \boldsymbol{\hat{\theta}^\nu}\end{align*}


met

\begin{align*} V^{\mu'}&= (\Lambda^{-1})^{\mu'}_\mu V^{\mu}\\
\omega_{\nu'}&= \Lambda^{\nu}_{\nu'} \omega_{\nu}\end{align*}

We hebben dan na contractie met Kronecker delta in nieuwe basis

\begin{align*}
\delta^{\mu'}_{\,\nu'}(\mathbf{V},\boldsymbol{\omega}) &= V^{\lambda'}\omega_{\lambda'} \\
&= (\Lambda^{-1})^{\lambda'}_\mu V^{\mu} \Lambda^{\nu}_{\lambda'} \omega_{\nu} \\
&= (\Lambda^{-1})^{\lambda'}_\mu \Lambda^{\nu}_{\lambda'} V^{\mu} \omega_{\nu} \\
&= V^{\lambda} \omega_{\lambda}
\end{align*}

Het resultaat is onafhankelijke van de basis die gebruikt wordt voor de vector en covector. Dit bewijst dat de Kronecker delta een tensor is.

[wnvl1]

Wald...

[flappelap]

Het punt is: als je heel veel concrete berekeningen hebt gedaan in de algemene relativiteitstheorie, dan maal je niet meer zo om "de" exacte definitie van een tensor, omdat je toch altijd expliciet de componenten opschrijft. In de praktijk werk je dan met tensoren op de manier hoe ze transformeren. Het is dus een beetje als de timmerman die op een gegeven moment niet meer zoveel nadenkt over de precieze definitie van een hamer.

Je ziet b.v. in Wald, blz 34, dat Wald de Christoffel connectie een "tensor" noemt; het is een multilineaire afbeelding zoals hij op de bladzijde van wnvl1's post hierboven definiëert, alleen transformeren de componenten volgens hem dan niet meer op de gebruikelijke, multilineaire manier. Op zo'n manier hoef je inderdaad de expliciete transformaties niet bij de definitie te zetten, omdat je in de ART toch altijd met algemene coordinatentransformaties (gct's) werkt; dat wordt dan impliciet aangenomen in de coördinaatvrije definitie.

Maar Wald is dan ook het enige boek dat ik ken dat de connectie een "tensor" noemt. Andere boeken doen dat niet, om de simpele reden dat de connectie niet als een tensor transformeert onder gct's. En daar gaat het in de praktijk vrijwel altijd om. Persoonlijk vind ik het dus nogal verwarrend om dat ding dan toch een tensor te noemen.

Dus zo zou ik b.v. natuurkundig stellen dat Newtons 2e wet F=ma een tensorvergelijking is onder de Galilei-groep, maar niet als je daar b.v. versnellingen of tijdsafhankelijke rotaties aan toevoegt. Dan krijg je inhomogene termen, die in de natuurkunde "schijnkrachten" worden genoemd. In de ART zijn dit componenten van je connectie.

Kortom: het is een kwestie van definiëren, en wiskundigen (Wald is nogal wiskundig geörienteerd) hebben daar wel eens een andere kijk op dan natuurkundigen omdat wiskundigen zich veel meer met de achterliggende structuur bezighouden, terwijl natuurkundigen vaak ook nog wel eens expliciet wat willen uitrekenen

En dat is een beetje mijn filosofie geworden: als je geen concrete, eenvoudige zaken met al die formele wiskunde kunt uitrekenen (b.v.: is een kromme een geodeet?) dan snap je de wiskunde erachter ook niet. Die concrete berekeningen helpen nu juist om het abstracte plaatje ook beter te begrijpen.

[Professor Puntje]

@wnvl1

Mag je volgens jou van een tensor spreken zodra een afbeelding onafhankelijk is van de gekozen basis in de betrokken vector- en covectorruimten? Maar wat doe je dan met de vereiste van multilineariteit?

[wnvl1]

Op basis van de boeken waaruit ik relativiteitstheorie ben gaan leren in eerste instantie (Ryder, Schutz, McMahonn), zit in mijn hoofd altijd de onafhankelijk is van de gekozen basis en de gekende transformatie regel. Christoffel symbolen zitten in mijn hoofd niet als tensoren op basis van wat ik gelezen heb.

[Professor Puntje]

Zijn de vier-vectoren uit de SRT ook geen echte tensoren in de wiskundige zin van multi-lineaire functionalen?

[wnvl1]

Ja, een vier-vector uit SRT is een (1,0) tensor.

[Professor Puntje]

Hoe zou je een vier-vector dan als een multi-lineaire functionaal definiëren?

[Math-E-Mad-X]

Hoe zou je een vier-vector dan als een multi-lineaire functionaal definiëren?

Een vector, oftewel een (1,0) tensor, is (in de wiskundige zin van het woord) niets anders dan een element van een vectorruimte \(V\).

Een co-vector, oftewel een (0,1) tensor, is een element van de duale ruimte \(V^*\) van een vectorruimte \(V\).
De duale ruimte van \(V\) is de ruimte van lineaire afbeeldingen van \(V\) naar \(\mathbb{R}\).

Een tensor, in het algemeen, is het tensorproduct van een aantal vectoren en / of co-vectoren, of een som daarvan.
Waarbij het tensorproduct gedefinieerd is als een multilineaire afbeelding.


Om antwoord te geven op je vraag:

een vector is geen lineaire afbeelding, maar kan beschouwd worden als een lineaire afbeelding van de duale ruimte \(V^*\) naar \(\mathbb{R}\).

Technisch gesproken is zo'n lineaire afbeelding eigenlijk een co-co-vector, oftewel een element van de duale duale ruimte \(V^{**}\), maar meestal worden \(V\) en \(V^{**}\) met elkaar geïdentificeerd zodat men een vectoren inderdaad als lineaire afbeeldingen van \(V^*\) naar \(\mathbb{R}\) kan beschouwen.

Dat kun je op deze manier inzien:

Stel dat \(v \in V\) een vector is, \(f\) en \(g \in V^*\) twee co-vectoren, en \(a\) en \(b\) twee reële getallen.

Dan is \(af + bg\) ook een co-vector, en dus is \((af + bg)(v)\) een element van \(\mathbb{R}\).
Normaal gesproken beschouwen we hier de uitdrukking \((af + bg)\) als een functie, en \(v\) als het argument van de functie, maar je kan het net zo goed andersom zien.
Je kan je voorstellen dat \(v\) de functie is en \((af + bg)\) het argument van de functie. Je kan nu zelf na gaan dat \(v\) op die manier beschouwd inderdaad een lineaire afbeelding van \(V^*\) naar \(\mathbb{R}\) is.

We kunnen dus zowel vectoren als co-vectoren zien als lineaire afbeeldingen, en op dezelfde manier kunnen we meer algemene tensoren ook als (multi-)lineaire afbeeldingen zien.