betrouwbaarheidsintervallen

[wnvl1]

Heel omslachtig en onhandig. Waarom dan precies evenveel verdelingen nemen als je metingen doet, met al die verdelingen identiek?
Dan is het toch veel helderder te spreken over één verdeling \(X\), waaruit je een steekproef ter grootte n neemt?

Zo maak je het nodeloos ingewikkeld/onduidelijk.

Qua notatie is dit handig om aan te geven dat de verschillende metingen onafhankelijk zijn. Anders is het lastig om dat in je notatie te laten zien.

[Jackshirak]

X_1 is de verdeling van de eerste pH meting.
X_2 is de verdeling van de tweede pH meting.

Dank jullie wel. Ik denk dat ik het nu beter snap. Ik snap echter nog niet waarom aparte metingen een aparte verdeling krijgen (grote X). Waarin zou meting 1 kunnen verschillen van meting 2 behalve de gemeten waarde? Je neemt toch in beide gevallen bv. 1 vis uit de populatie dus de verwachtingswaarde enz. van 2 keer een vis nemen uit de popuatie is toch identiek? Dus de beschrijving van hun verdeling is toch identiek?

[Xilvo]

Ik snap echter nog niet waarom aparte metingen een aparte verdeling krijgen (grote X).

Ik ook niet. Het is niet fout maar als de verdelingen identiek zijn werkt het alleen maar verwarrend.
Als het wel verschillende verdelingen zou betreffen dan zou het een betekenis hebben.

In de getekende trapezia zijn ze ook niet genummerd. Dat laat al zien dat het hier niet nodig is.

[wnvl1]

Ik heb al een paar keer geprobeerd om te antwoorden.
Een volgende logische stap in de cursus is dat je de verdeling van het gemiddelde gaat bestuderen. Stel we gaan de verdeling bestuderen van een steekproef met grootte 2. Het gemiddelde kunnen we dan voorstellen door de stochast

$$\overline{X_2} =\frac{X_1+X_2}{2}$$

Dat is de notatie van de docent.

Als we hier nu de variantie van gaan berekenen, dan krijgen we

$$Var(\frac{X_1+X_2}{2}) = \frac{Var(X_1)+ Var(X_2) + 2\sqrt{ Var(X_1) Var(X_2) }corr(X_1,X_2)}{4}$$

Als jullie zeggen dat je er ook komt zonder indices, dus iets als

$$\overline{X} =\frac{X+X}{2}$$

dan wil ik graag zien hoe jullie die notatie verder gaan uitwerken om tot een juiste formule te komen voor de variantie die er qua notatie goed uitziet.

Bovenstaande is geen vergezochte statistiek, maar de logische vervolgstap. Dat is de reden waarom je die notatie met die indices gaat terugvinden vanaf het begin in een degelijke cursus statistiek.

[Xilvo]

Maar waarom zou je de het gemiddelde van een verdeling uit de het gemiddelde van twee identieke verdelingen uitrekenen? Dan krijg je natuurlijk het gemiddelde van die verdeling terug.

Waarom zou je de variantie van het gemiddelde van twee identieke verdelingen uitrekenen (en dan vinden dat het de helft van de variantie is van ieder van die verdelingen, wat we allemaal al weten)?

\(X\) is een stochast, die heeft een gemiddelde \(\overline X\) en een variantie. Meer heb je m.i. niet nodig.

Heb je meerdere verschillende verdelingen, dan is het een ander verhaal.

[wnvl1]

We kunnen ook moeilijkere dingen verzinnen dan variantie. Hogere ordemomenten of ik kan wel wat verzinnen met logaritmes, ...

Dat buiten beschouwing, je wil daarvoor wel een mooi bewijs in een boek hebben. En dat impliceert dat je moet opspliten per meting en indices gebruiken. Kijik ook hoe ze een binomiaal verdeling definieren op wikipedia. Elk experimentje is Bernouilli verdeeld, maar ze schrijven op wikipedia

X = X_1 + X_2 + ... + X_n

en niet nX, wat niet zou kloppen.

https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution

Je hebt dat echt nodig voor de uitwerking van de theorie, maar mogelijk ben je pas overtuigd op de moment dat je zelf een boek zou schrijven dat theoretisch correct is, dan merk je de nood daaraan.

[Xilvo]

Ik zal er nog eens naar kijken. Ik kan me voorstellen dat het soms handig of nodig kan zijn de afzonderlijke potentiele metingen te nummeren.
Wat ik dan weer mogelijk verwarrend vind in het Wikipedia-artikel is dat \(X_i\) een afzonderlijke meting betreft maar hetzelfde symbool zonder subscript, \(X\), de som van n van die metingen is.

[OOOVincentOOO]

Hier staat nog een uiteenzetting van:

\(\mu, ~ \sigma,~ X, ~ \bar{X}, ~ S, ~x,~ \bar{x}, s\)

Dit artikeltje op Stats Stacks Exchange was/is voor mij inzichtelijk:
https://stats.stackexchange.com/q/161510

Verder heb ik moeite velen posts te relateren aan slides TS m.b.t. betrouwbaarheids intervallen. Ik heb de slides nog enige malen gelezen en blijf bij mijn eerste uitleg: WF wo 11 mei 2022, 18:43.

Misschien dat iemand een samenvatting kan maken?

[Xilvo]

Dit artikeltje op Stats Stacks Exchange was/is voor mij inzichtelijk:
https://stats.stackexchange.com/q/161510

Dank, dat is een heldere uitleg.

[wnvl1]

Zoals het artikel van OOOVincentOOO aangeeft is een bij komende conventie dat voor populaties Griekse letters gebruikt worden. Evt dan ook voor verdelingen van populaties Griekse hoofdletters.

[Jackshirak]

Voor mij is het nu vrijwel helemaal duidelijk, bedankt allemaal! (en sorry voor de verwarring)