e^(pi*i) + 1 = 0?

[TD]

Nee, maar het is wel een "populaire" manier om i te definiëren, die je vaak tegenkomt.

Wiskundig zijn er echter betere manieren om i te definiëren.

[PeterPan]

Hoezo belachelijk?

\(i\)

is gedefinieerd als de wortel van -1..

Je kunt niet de wortel uit een negatief getal trekken. Dat is net zo belachelijk als een getal door 0 delen.

De reële getallen hebben we uitgebreid met een symbool, lees symbool, dus niet getal i.

Je kunt dat symbool ook anders definiëren, bijvoorbeeld door:

i is het symbool vastgelegd door de eigenschap

\(i ^2 = 1\)

Nou niet gaan worteltrekken, wat dat kun je niet met symbolen, alleen met reële getallen. (Dus let op: je kunt niet de wortel uit

\(i^2\)

trekken, nu niet en ook niet als i vastgelegd is door

\(i ^2=-1\)

, en als het niet met

\(i^2\)

kan dan kan het ook niet met -1, dat daaraan gelijk is).

Dus

\(i ^2=1\)

Kies nu

\(e=\frac{1-i}{2}\)

en

\(f=\frac{1+i}{2}\)

.

Dan kunnen we de nieuwe getallen schrijven in de vorm

\(ae+bf\)

, of als

\(a+bi\)

Die eerste schrijfwijze is heel handig, want

\((a.e+b.f)(c.e+d.f) =ac.e+bd.f\)

Heel handig dus. Er geldt

\(e^2=e\)

en

\(f^2=f\)

Maar helaas krijgen we nu nuldelers, want

\(ef=0\)

.

De reële getallen samen met het symbool i (met

\(i^2=-1\)

) vormen met de juiste regels voor optellen en vermenigvuldigen de verzameling van complexe getallen.

[TD]

Nou niet gaan worteltrekken, wat dat kun je niet met symbolen, alleen met reële getallen.

Je kan de vierkantswortel uitbreiden (analytisch voortzetten) naar complexe getallen.

[PeterPan]

Het symbool i wordt een getal binnen C. Na maanden studie (we beginnen met alleen optellen en vermenigvuldigen) zouden we tot de conclusie kunnen komen dat we iets kunnen definieren dat we kunnen vergelijken met worteltrekken. Daarvoor moet eerst heel wat werk verricht worden. Het wortelteken zie je niet gebruikt worden, behalve dan als eenmalig geintje; zeker niet bij berekeningen.

[A.Square]

Nou niet gaan worteltrekken, wat dat kun je niet met symbolen, alleen met reële getallen.

Je kan de vierkantswortel uitbreiden (analytisch voortzetten) naar complexe getallen.

Dat dekt de lading inderdaad goed.

We zullen dan dit definieren voor z uit C:

[wortel]z := z^1/2

[TD]

Waarbij er wel nog een "technisch probleem" dient opgelost te worden opdat dit een functie blijft.

Je kan dus niet zomaar uitbreiden naar het hele complexe vlak, maar bijvoorbeeld naar

\(\cc\)

\(\rr^-\)

.

Op die manier breng je een snede aan, ook leuk is om eens te lezen over Riemann-oppervlakken.

[Rogier]

Hoezo belachelijk?

\(i\)

is gedefinieerd als de wortel van -1..

Nee, i is zo gedefinieerd dat zijn kwadraat -1 is. Dat is iets anders dan "[wortel]-1".

[TD]

Dat hangt er al van af hoe je de complexe getallen invoert. Als men dat formeel wil doen zal dat meestal zijn door ze in te voeren als geordende paren van reële getallen met een definitie voor optelling en vermenigvuldiging, de identificatie (a,0) met het reële getal a en (0,1) per definitie de imaginaire eenheid i, waaruit direct volgt dat i² = -1.

[Conrad]

Wat doe ik fout? (Of ben ik nu een genie )

\( begin{array}{l} e^{i pi} + 1 = 0 e^{i pi} = -1 left( e^{i pi} right)^2 = 1 e^{2i pi} = 1 = e^0 2i pi = 0 end{array}\)

e^(2*i*pi)=1 is correct maar dat mag je niet zo maar vergelijken met e^0 =1 want (elk getal)^0=1

Daar ging je in de fout. . .ik zag deze uitleg hieronder niet

[PeterPan]

De vergelijking

\(x^2=1\)

heeft 2 oplossingen, 1 en -1.

Als ik beweer dat er nog een derde oplossing is, dan kan dat geen reëel getal zijn.

Stel,

\(i \neq \pm 1 \mbox{ en } i^2=1\)

.

Met dit extra symbool hebben we de reële getallen uitgebreid tot een verzameling

\(\{a+bi | a,b \in \rr\}\)

.

Er geldt dan

\((1+i)(1-i) = 1 - i^2 = 0\)

.

Als

\(1+i\)

en

\(1-i\)

reële getallen waren geweest, dan zou hieruit volgen dat

\(i = \pm 1\)

,

maar de eigenschap

\(ab=0 \Rightarrow (a=0 \vee b=0)\)

is slechts een eigenschap van de reële getallen.

De verzameling heeft dus nuldelers.

---------------

De vergelijking

\(x^2=-1\)

heeft 0 reële oplossingen.

Zeg i is een symbool met de eigenschap

\(i^2=-1\)

.

Dit leidt tot de verzameling van complexe getallen.

---------------

De vergelijking

\(x^2=i\)

met

\(i^2=-1\)

heeft 2 complexe oplossingen.

Zeg dat er nog een derde is, p. Dan is uiteraard ook -p een oplossing.

Dit leidt tot de verzameling van Quaternionen.

---------------

Stel

\(x^2=-1\)

heeft niet 2 (i en -i), maar 4 oplossingen (i,-i,j,-j).

Zeg

\(ij = a+bi+cj\)

Dan is

\(-j = i^2j = i(a+bi+cj) = ai - b + cij = -b + ai + c(a+bi+cj) = (ca-b) +(a+bc)i+c^2j\)

Als we dan de coëfficienten van j vergelijken zien we dat

\(-1=c^2\)

.

Dat is onmogelijk, want c is reëel. Dus de vergelijking kan niet precies 4 oplossingen hebben.

---------------

Stel

\(x^2=-1\)

heeft niet 2 of 4, maar 6 oplossingen (i,-i,j,-j,k,-k).

Dan is

\(i^2j^2=(-1)^2 = 1\)

.

Eisen we dat de verzameling geen nuldelers mag hebben, dan volgt hieruit dat

\(ij = \pm 1\)

Dan is

\(-j = i^2j = i(ij) = \pm i\)

. Ai, dat mag niet.

Dus we hebben de keuze tussen het accepteren van nuldelers, of we moeten de eis

\(ab=ba\)

laten varen.

In dat laatste geval komen we tot

\(ij = -ji\)

. We hebben de Quaternionen.

---------------

Stel

\(x^2=1\)

heeft niet 4, maar precies 6 oplossingen, 1,-1,i,-i,j,-j.

Heeft dat zin, of is dit onzin?



Toepassing:

Toon aan dat het bij solitair onmogelijk is 1 pinnetje over te houden op de rode plek.

Aanwijzing: Benoem de vakjes afwisselend i,j en ij.