Van differentiaalvergelijking naar plaats-tijdfunctie

[TD]

Ok, prima!

[Phys]

Pas wel op met een dergelijke notatie voor een e-macht; nu lijkt het een product van het getal e met dat wat eigenlijk in het argument van exp staat.

\(t=\frac{\arccos\left(\exp\left[\frac{b}{a}(x_0-x)\cdot\cos c\right]\right)-c}{b}\)

Om volledig te zijn, als je de absolute waarden ook had meegenomen, kwam je uit op

\(t=\frac{\arccos\left(\pm \exp\left[\frac{b}{a}(x_0-x)\cdot\pm \cos c\right]\right)-c}{b}\)

(waarbij de

\(\pm\)

afhangen van

\(|\cos(bt+c)|=\pm \cos(bt+c)\)

en

\(|\cos c|=\pm \cos c\)

)

[Sjengfred]

Daar ben ik weer.

Phys, bedankt voor de toevoeging.

Ik vrees dat ik nogmaals hulp nodig heb. Ik heb nu x als functie van t. Hiermee kan ik de afstand van van de auto op een bepaald tijdstip uitrekenen. Er komt nu echter een andere auto bij waarvan ik ook een formule voor x heb als functie van de tijd.

Ik moet nu de afstand tussen de voertuigen(D) uitrekenen op een bepaald tijdstip. Dit is gelukt, ik moet nu echter de formule omschrijven naar t als functie van D. Hierbij loop ik vast, hieronder het formuleverhaal wat hier bijhoort. En hoe ver ik gekomen ben.

omschrijven 531 keer bekeken

Ik moet de ln wegwerken, maar als ik een e-macht gebruik moet ik die e-macht weer wegwerken. Misschien is hier een handig regeltje voor wat ik niet ken?

Vereenvoudigd moet ik dus het volgende oplossen:

formule 534 keer bekeken

[TD]

Als het tot hier klopt (dus de juiste formules voor beide voertuigen), dan vrees ik dat je hier geen expliciete formule voor t kan uithalen.

[Sjengfred]

Hmm, dat is vervelend. Dan ga ik het op een andere manier proberen wat me bij het volgende probleem brengt.

Je hebt dus het volgende:

\(\int\frac{dv}{g-\frac{k}{m}v^2}=\int dt\)

Merk op dat

\(\frac{d}{dx}\mbox{arctanh }x=\frac{1}{1-x^2}\)

, dus

\(\int\frac{dv}{g-\frac{k}{m}v^2}=\frac{1}{g}\int\frac{dv}{1-\frac{k}{mg}v^2}=\frac{1}{g}\int\frac{dv}{1-\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)^2}=\frac{1}{g}\sqrt{\frac{mg}{k}}\mbox{arctanh}\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)\)

\(=\sqrt{\frac{m}{kg}}\mbox{arctanh}\left(\sqrt{\frac{k}{mg}}v\right)\)

Is het mogelijk om deze op te lossen zonder wortels te gebruiken, ik zit namelijk met het probleem dat het getal onder het wortel teken negatief is.

[Phys]

Misschien even wat natuurkundige achtergrond/context; je hebt dus een wrijvingskracht F=-kv^2, maar k is negatief (m en g zijn immers sowieso positief...)? Klinkt een beetje vreemd.

[Sjengfred]

Goed dat je erom vraagt. Ik zie nu dat ik foute dingen aan het doen ben. Maar ik denk toch dat het moet lukken op de een of andere manier. Ik had dus onderstaande bedacht, maar dat laatste klopt niet.

formule2 527 keer bekeken

Snap je waar ik naar toe wilde? Of moet ik het beter uitleggen.

[Phys]

Voor ik erop ingaan eerst even het volgende: als dit hetzelfde onderwerp is als hier behandeld wordt, moet je even kiezen welk topic je wilt gebruiken. Het lijkt me raadzaam om éen discussie centraal te houden.

[Sjengfred]

Sorry daarvoor, ik zal hier verder gaan met de discussie. Ik heb het volgende bedacht, maar ik loop weer vast op het integreren. En als dat gebeurd is, dan is het nog steeds de vraag of t dan los te schrijven is.

formule4 526 keer bekeken

[Phys]

Misschien mis ik iets, maar zou je kunnen vertellen wat precies de opdracht is, wat jij waarom bedacht hebt, en wat gegeven is? Ik lees iets over auto's, maar heb geen idee wat de situatie is.

[cvoh]

Beste mensen,

Bij het grasduinen op deze site ben ik op dit onderwerp gestoten. Een bepaalde persoon praat hier over universitaire wiskunde. Nu vraag ik me toch wel af wat het niveau bij jullie in Nederland is, want zulke eenvoudige differentiaalvergelijkingen lost men in België op in het 6e jaar (17-18 jarigen) ASO (bij jullie VWO), en dan nog niet eens in een afdeling met de zwaarste wiskunde.

En om dit soort wiskunde in België een lachertje te vinden, hoef je niet eens universitaire wiskunde te studeren. Burgerlijk-, bio-, handels- en industrieel ingenieurs lachen hier dus mee, om nog maar te zwijgen van fysici. Bij ons is het eerste jaar fysica en wiskunde op de universiteit trouwens gemeenschappelijk.

Hoe zit dit bij jullie in Nederland ?

[Phys]

Het is natuurlijk erg mooi dat het (wiskundig) kennisniveau in België oneindig veel hoger ligt dan in Nederland, maar dit is niet de plek om dat te bespreken. Mocht je echt geïnteresseerd zijn in antwoorden (al lijkt me dit niet de manier om het te brengen), kun je er een apart topic over openen, bijv. in het wiskundeforum. Hier gaat het offtopic.