Vragen/uitleg/opmerkingen minicursus differentieren

[Anonymous]

Hoe bereken in de afgeleidene van een breuk functie

bijvoobeeld  

f(x)=6/(x²+4x-3)

Je kunt dit ook als een product schrijven: f=6*(x²+4x-3)_-1 en hier de productregel op loslaten. Hoef je alleen de productregel te onthouden.

[Syd]

Hoe bereken in de afgeleidene van een breuk functie

bijvoobeeld  

f(x)=6/(x²+4x-3)

Je kunt dit ook als een product schrijven: f=6*(x²+4x-3)_-1 en hier de productregel op loslaten. Hoef je alleen de productregel te onthouden.

Lijkt me niet erg handig, nu moet je immers ook de ketting-regel gebruiken. Ik zou bij deze functie de quotiënt-functie gebruiken, Antoon!

[K. Jansen]

Stel je hebt de volgende functie

F(x) =

\( x^2 \)

Dan is de afgeleide hiervan

F'(x) = 2x

Maar wat houdt 2x precies in? Ik begrijp hoe je hier nu de minima/maxima van de grafiek kan uitrekenen. Maar ik begrijp niet wat 2x inhoudt.

[Andy]

wanneer je wil weten welke hoek de raaklijn aan

\(x^{2}\)

met de x-as maakt, kan je die via de afgeleide vinden.

Neem een punt op je parabool bvb (2,4).

Je wil de tangens van de hoek weten van de raaklijn aan de parabool in dat punt.

=> je leidt af en vult x=2 in

met andere woorden

\(\tan(\theta)=2x=2*2=4\)

Hieruit kan je besluiten, als

\(2x >0 \Rightarrow de hoek \pi/2>\theta >0\)

en dus ook

\(2x <0 \Rightarrow de hoek -\pi/2<\theta <0\)

(ongeveer toch, je moet eens goed rekenen..., normaal klopt het wel)

Je kan dit algemeen zeggen, niet specifiek voor

\(x^{2}\)

.

Nog algemener:

als de afgeleide in een bepaald punt x groter dan nul is, dan zal de functie in de buurt van dat punt x (desnoods heel kleine buurt) stijgen (als x toeneemt).

als de afgeleide in een bepaald punt x kleiner dan nul is, dan zal de functie in de buurt vandat punt x dalen als x toeneemt.

Bedenk eens wat er gebeurt als de afgeleide in een bepaald punt x nul is...

...

...

welnu kan je zeggen dat in dat punt x, de raaklijn horizontaal is (de hoek

\(\theta=0\)

)

je hebt dus verschillende mogelijkheden:

- je hebt een minimum

- je hebt een maximum

deze twee (en wat ik dernet vertelde) worden mooi geillustreerd op volgende figuur



- je hebt een zadelpunt (zoals op figuur of omgekeerd) (in de oorsprong dus)



met andere woorden, f'(x)=0 is een nodige maar geen voldoende voorwaarde voor een extremum...

[Antoon]

Dat is dus de hellings grafiek.

op punt x=6

is de helling van f(x)=x² dus

2*x=2*6=12 y/x

Hoe bepaal je de top hiermee

Bij de top is de helling nul, dus moet je oplossing

helling=0

2x=0

x=0

Nou klopt precies, bij x=0 zit het dal ven de grafiek.

Ik zie dat Andy al een veel uitgebreider antwoord heeft gegeven, dit soort vragen blijven ook nooit lang onbeantwoord.

[Stralen]

Prof. Algebra

In les 1a: raaklijnen, kom je bij het voorbeeld op y(x) = 12x-18.

Ik kom op y(x) = 12x -16:

g(x) = x\(3\)

g'(x) = 3x2

[Bart]

Stralen: goed gevonden! het is inmiddels aangepast.

[Stralen]

Was te langzaam met aanpassen , mijn volledige post.

Prof. Algebra

In les 1a: raaklijnen, kom je bij het voorbeeld op y(x) = 12x-18.

Ik kom op y(x) = 12x -16:

g(x) = \(x^3\)

g'(x) = 3\(x^2\)

Functie raaklijn:

y(x) = ax + b met x = 2

a = g'(x) = 3\(2^2\) = 12

Y(x) = g(x) = \(2^3\) = 8

Vergelijking:

12 . 2 + b = 8

24 + b = 8

b = 8 - 24 = -16

Raaklijn:

y(x) = 12x -16

Heb het nog geprobeer op mijn Ti-83 plus met de functie DRAW - 5:Tangent(2). Mijn TI heeft ook de functie y(x) = 12x - 16 als raaklijn aan.

[PeterPan]

Je zou de afgeleide zelfs kunnen definiëren als lim_h->0( f(x+h) - f(x-h) ) / 2h.

Dit is onjuist.

Tegenvoorbeeld:

f(x) = |x|,

dan is

\(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(0+h) - f(0-h)}{2h} = 0\)

,

echter f is niet differentieerbaar in 0.

[Safe]

Je zou de afgeleide zelfs kunnen definiëren als lim_h->0( f(x+h) - f(x-h) ) / 2h.

Dit is onjuist.

Tegenvoorbeeld:

f(x) = |x|,

dan is

\(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(0+h) - f(0-h)}{2h} = 0\)

,

echter f is niet differentieerbaar in 0.

Klopt, bovenstaande is alleen juist als f'(x) differentieerbaar is in x. Het is dus geen definitie, maar een bewering.

[oktagon]

Nog een gebruik in de praktijk:

Een conservenbus met een inhoud van bijv.0,7 liter zodanig fabriceren in een cilindrisch model,dat het blik (materiaal) gebruik minimaal is.

Ik vraag mij overigens af waarom deze niet een vierkante doorsnede hebben,dan neemt de verpakking minder ruimte in!

[E]

Als eerst wil ik de makers nog even bedanken Als tweede heb ik nog een vraagje, ik zie er telkens lim k->0 erbij staan maar wat houdt dat in? Voor zover ik weet heb ik dat nog nooit gehad.

[TD]

Dat heet een limiet, een wiskundig 'gereedschap' om zaken zoals de afgeleide en de integraal te definiëren. Om een basis differentiëren te kunnen (praktisch, oefeningen) is het niet nodig dat je hier iets van kent. Als je ook het theoretisch gedeelte wil begrijpen, dan heb je het wel nodig. Zie onder andere Wikipedia: limiet.

[IDrenth]

In de minicursus staat onder les 3 productregel

p '(x) = 20x^4 – 45x^3 + 27x^2 – 14x + 13

Dit moet zijn p '(x) = 20x^4 – 44x^3 + 27x^2 – 14x + 13

omdat -7x^3 -21x^3 -16x^3 = -44x^3

Met vriendelijke groet,

Ismaêl Drenth

[TD]

Goed opgemerkt, bedankt voor de melding. Ik heb het aangepast.