Het aardige van wiskunde is dat het heel coulant is. Als iedereen voor matrices ronde haken gebruikt,
en jij geeft een onderbouwde reden waarom jij het met accolades doet, en je argumenten daarvoor spreken mij aan,
dan schrijf ik de matrices voortaan ook met accolades.
Zie de opmerking van TD!
Wat is "officieel"? Ronde haken zijn ook gebruikelijk, wie bepaalt volgens jullie dan de "officiële notaties"?
Niet de meerderheid bepaald, maar het argument.
Het is lijkt mij goed dat iedereen dat beseft, en dat wat jij aanleert op plaats A kan verschillen van wat iemand anders leert op plaats B, al gaat het over dezelfde onderwerpen. Ook wiskundeboekjes voor het middelbaar onderwijs verschillen soms in hun definities.
Even terug.
In de analyse in meerdere veranderlijken/variabelen kent men het begrip differentieerbaarheid. Het zal je waarschijnlijk nooit zijn opgevallen, maar differentieerbaarheid is daar
altijd gedefinieerd op open verzamelingen.
Hoewel je de differentieerbaarheid ook op randen zou kunnen definiëren, wordt dat
nooit gedaan.
Complexe functie theorie is de theorie van de differentieerbare functies op
\(\cc\)
.
Differentieerbaarheid wordt ook daar (uiteraard) uitsluitend gedefinieerd op open verzamelingen.
Differentieerbaarheid op de rand wordt nergens gedefinieerd.
Alle analytische (=differentieerbare) functies zijn dus gedefinieerd op open verzamelingen.
Nu blijkt er één uitzondering (hier moet de lezer argwaan koesteren).
Waarom zou er één uitzondering zijn? Is die functie dan specialer dan alle andere analytische functies?
Nee, dat niet, maar de
\(\log\)
willen sommigen graag toch definiëren op de rand
\((-\infty,0]\)
.
Merk op dat de
\(\log\)
daar niet differentieerbaar is, dus sowieso iets artificieels heeft.
Wat kan de reden zijn?
Bijvoorbeeld deze.
Als je start met de definitie
\(\log(z) = \log|z| + i\arg(z)\)
, dan zien we hier nog niets analytisch in, en dan is de stap om de rand mee te nemen gemakkelijk genomen.
Die stap volgt niet als je de natuurlijke (en historisch correcte) definitie neemt
\(\log(z) = \int_1^z \frac{1}{u} \ du\)
,
want die functie is analytisch en dus slechts gedefinieerd zonder de rand.
Dan heb je nog het naäap effect. Als je een "inleiding in de complexe functies" wilt schrijven, kun je niet overal bij stilstaan. Het is dan voor de hand liggend dat je de werkwijzen van andere auteurs copieert.
Een kwalijk argument zou zijn, dat men met de rand erbij degenen die altijd falselijk hebben geconcludeerd dat uit
\(i^2=-1\)
volgt
\(i=\sqrt{-1}\)
achteraf toch nog gelijk te kunnen geven.
\(\cc \simeq \rr[x]\setminus (x^2+1)\)
via het isomorfisme
\(a+bi \mapsto [a+bx] = a+bx+(x^2+1)\)
Dit is de professionele manier om
\(\cc\)
te definiëren.
Dus
\(i = x + (x^2+1)\)
.
Als je het op deze manier leert kom je niet op het idee om te schrijven
\(i = \sqrt{-1}\)
.
