Getal nul

[bobbyjong]

Ik begrijp dat het getal 0 de basis is voor onze rekenkunde, en ik probeer dit ook zeker niet te ondermijnen. Echter, er kan niet door 0 gedeeld worden, omdat 0 ongedefinieerd is. Maar als je 0 plus 5 doet, krijg je 5. Terwijl je feitelijk 5 ongedefinieërde getallen als uitkomst krijgt. 0 maal 5 is 0, ik zou liever als uitkomst zien: 5 keer 0, immers 0 wordt vervijfvoudigd.

[Phys]

Ik begrijp dat het getal 0 de basis is voor onze rekenkunde,

Daar valt over te discussiëren.

Echter, er kan niet door 0 gedeeld worden, omdat 0 ongedefinieerd is.

Nee, 0 is prima gedefinieerd. delen door 0 is ongedefinieerd.

Maar als je 0 plus 5 doet, krijg je 5. Terwijl je feitelijk 5 ongedefinieërde getallen als uitkomst krijgt.

Hoezo krijg je 5 ongedefinieerde (zonder trema) getallen als uitkomst?

0 maal 5 is 0, ik zou liever als uitkomst zien: 5 keer 0, immers 0 wordt vervijfvoudigd.

Dat is een cirkelredenering, of eigenlijk een tautologie. Jij stelt voor om 0 maal 5 als uitkomst voor 0 maal 5 te hebben. Dat lijkt me niet zo zinvol, wel?

[bobbyjong]

Nee, 0 is prima gedefinieerd. delen door 0 is ongedefinieerd.

waarom is delen door 0 ongedefinieerd?

Hoezo krijg je 5 ongedefinieerde (zonder trema) getallen als uitkomst?

dit baseer ik op de ondefinieerbaarheid van 0 als je er door wilt delen.

Dat is een cirkelredenering, of eigenlijk een tautologie. Jij stelt voor om 0 maal 5 als uitkomst voor 0 maal 5 te hebben. Dat lijkt me niet zo zinvol, wel?

ik begrijp je verbazing inderdaad, maar je kunt een auto niet met een zakdoek vergelijken? Als je wilt weten welke van de twee beter is, zul je moeten definiëren waar ze dan goed voor moet zijn. Anders kun je alleen maar concluderen dat een auto is een auto en een zakdoek is een zakdoek, niet waar?

[Phys]

waarom is delen door 0 ongedefinieerd?

"waarom"-vragen zijn altijd gevaarlijk als we het over wiskundige definities hebben, maar hier staat denk ik een redelijk antwoord.

Het is eenvoudig in te zien waarom het 'lastig' is om delen door nul te definiëren:

a/b=c betekent in feite a=b.c. In die zin zijn 'vermenigvuldigen' en 'delen' inverse bewerkingen. Oftewel, het getal c is dát getal, dat - wanneer vermenigvuldigd met b - het getal a oplevert. Bijvoorbeeld 10/2=5 omdat 10=2*5.

Wanneer je deze redenering doortrekt, is het onmogelijk om 10/0 te berekenen, immers er is geen getal dat - wanneer vermenigvuldigd met 0 - het getal 10 oplevert.

dit baseer ik op de ondefinieerbaarheid van 0 als je er door wilt delen.

Maar er wordt hier niet gedeeld door 0. Het gaat hier om de operatie 'optellen': 0+5=5. De ongedefinieerbaarheid van delen door 0 doet hier dus niet terzake.

ik begrijp je verbazing inderdaad, maar je kunt een auto niet met een zakdoek vergelijken? Als je wilt weten welke van de twee beter is, zul je moeten definiëren waar ze dan goed voor moet zijn. Anders kun je alleen maar concluderen dat een auto is een auto en een zakdoek is een zakdoek, niet waar?

Ik vrees dat je dit iets meer moet concretiseren in wiskundige taal. Wat is er mis met 0*5=0?

[Rogier]

Volgens mij ook, want je kan zeggen

\(0X =0Y\)

ongeacht de waarde van X of Y

Dit klopt niet. Stel bijvoorbeeld dat X een 2-dimensionale vector is en Y een 3-dimensionale, dus

\(X \in \rr^2\)

en

\(Y \in \rr^3\)

.

0X en 0Y (met 0 als scalair, dus het "normale" getal 0) zijn dan respectievelijk

\(\left(\startmatrix 0 \\ 0 \endmatrix \right)\)

en

\(\left(\startmatrix 0 \\ 0 \\ 0 \endmatrix \right)\)

, en die zijn zeker niet gelijk.

Hetzelfde geldt voor de appels en peren. Nu zijn appels en peren geen eenduidig gedefinieerde wiskundige objecten, en afhankelijk van de context (als de vectorruimte waarin je werkt bijvoorbeeld een fruitmand is) zou 0 appels hetzelfde kunnen betekenen als 0 peren, maar als je in appels denkt dan heeft 0 peren helemaal geen betekenis.

[dirkwb]

waarom is delen door 0 ongedefinieerd?

dit baseer ik op de ondefinieerbaarheid van 0 als je er door wilt delen.

ik begrijp je verbazing inderdaad, maar je kunt een auto niet met een zakdoek vergelijken? Als je wilt weten welke van de twee beter is, zul je moeten definiëren waar ze dan goed voor moet zijn. Anders kun je alleen maar concluderen dat een auto is een auto en een zakdoek is een zakdoek, niet waar?

Ik snap nu niet waar je heen wilt met deze vragen. Kun je misschien concreet aangeven welke vragen je hebt omtrent het getal nul? Want volgens mij is de vraag in je eerste post al beantwoord.

[PeterPan]

Hetzelfde geldt voor de appels en peren.

Het voorbeeld van scalar maal vector is mooi gevonden, maar daaruit volgt niet automatisch dat "Hetzelfde geldt voor de appels en peren".

Bij scalaire vermenigvuldiging gaat het om een vermenigvuldiging, dus een wiskundige bewerking.

Bij 0 appels gaat het niet om een wiskundige bewerking, maar om een telling.

Je telt het aantal appels.

Bij 0 maal een vector tel je niet het aantal vectoren. Een héél groot verschil.

[dirkwb]

Je telt het aantal appels.

Bij 0 maal een vector tel je niet het aantal vectoren. Een héél groot verschil.

Maar bij die nul appels en peren tel je toch op? En een optelling is geen wiskundig bewerking?

[PeterPan]

Maar bij die nul appels en peren tel je toch op? En een optelling is geen wiskundig bewerking?

?

[bobbyjong]

Het antwoord is ja

Je kan het ook anders zeggen: 0 is gelijk aan 0 en appels zijn niet gelijk aan peren?

Maar daaruit mag je niet concluderen dat dus nul = niets

Waarom mag je dat niet afleiden?

Nul is een abstractie; een object voor het aangeven van een hoeveelheid.

Dat geldt toch voor alle getallen?

[bobbyjong]

"waarom"-vragen zijn altijd gevaarlijk als we het over wiskundige definities hebben

Ik heb niet voor niets een pesthekel aan wiskunde

Ik vrees dat je dit iets meer moet concretiseren in wiskundige taal. Wat is er mis met 0*5=0?

Je hebt 5 appels. Die vermenigvuldig je met 0. Ik zou dus denken, je doet niets keer iets, en blijft dat ''iets'' dus over. Terwijl 5 maar nul= ''geen antwoord'' of nul als antwoord zou hebben, omdat je iets keer niets doet.

[Phys]

Je hebt 5 appels. Die vermenigvuldig je met 0. Ik zou dus denken, je doet niets keer iets, en blijft dat ''iets'' dus over. Terwijl 5 maar nul= ''geen antwoord'' of nul als antwoord zou hebben, omdat je iets keer niets doet.

Zoals ik al schreef: jij bent hier wiskunde aan het toepassen op een alledaagse situatie. Dat kan alleen indien je zelf betekenis geeft hieraan: wat is het verband tussen de wiskundig bewerking en de situaties met appels?

Zo is "appels vermenigvuldigen met een getal" op zichzelf betekenisloos. Ik zou niet weten wat dat betekent. Wat is 5 maal 1 appel? Wat is 3 maal 4 appels?

Je hebt 5 appels. Die vermenigvuldig je met 0. Ik zou dus denken, je doet niets keer iets, en blijft dat ''iets'' dus over.

En vermenigvuldigen met 1 dan? "je doet 1 keer iets" en "je doet 0 keer iets" kan toch niet hetzelfde zijn?

Een mogelijke interpretatie:

We hebben een mand met een hele hoop appels.

5 maal 1 appel = ik pak 5 maal één appel uit een mand. Hoeveel appels heb ik dan? Vijf.

3 maal 4 appels = ik pak 3 maal 5 appels uit de mand. Hoeveel appels heb ik dan? Vijftien.

0 maal 5 appels = ik pak 0 maal 5 appels uit de mand. Hoeveel appels heb ik dan? Nul, want ik heb geen enkele keer appels uit de mand gehaald.

[bobbyjong]

We hebben een mand met een hele hoop appels.

5 maal 1 appel = ik pak 5 maal één appel uit een mand. Hoeveel appels heb ik dan? Vijf.

3 maal 4 appels = ik pak 3 maal 5 appels uit de mand. Hoeveel appels heb ik dan? Vijftien.

0 maal 5 appels = ik pak 0 maal 5 appels uit de mand. Hoeveel appels heb ik dan? Nul, want ik heb geen enkele keer appels uit de mand gehaald.

Dit voorbeeld is wel duidelijk. Is nul dan ''iets'' van ''niets''?

[Rogier]

Dat geldt toch voor alle getallen?

Inderdaad, en andere getallen zijn ook niet 'niets'.

Maar wat wil je precies horen? Nul is een zeer duidelijk gedefinieerd wiskundig concept. En de reden waarom delen door 0 niet gedefinieerd is, is ook zeer duidelijk en logisch (ik ben het er dan ook niet mee eens dat je geen 'waarom' vragen in de wiskunde zou kunnen stellen - juist wel).

Als je gaat vragen of nul hetzelfde is als niets, of 0 appels hetzelfde als 0 peren, moet je eerst even (wiskundig) definiëren wat je onder "niets", "appels" en "peren" verstaat en dan is het probleem zó uit de wereld.

[Phys]

Ik vrees dat ik weer mezelf moet citeren:

Met 'verkeerd om redeneren' bedoel ik dat mensen die interpretaties als werkelijke, fundamentele betekenis gaan zien, en die betekenis vervolgens opleggen aan de wiskunde. Dus ze zien 'geen appels', of algemener 'geen van iets = niets' als de fundamentele betekenis van het symbool '0', en concluderen dat in alle gevallen het symbool '0' de betekenis 'niets' heeft. Dat is verkeerd.

Je kunt niet jouw geïnterpreteerde betekenis opleggen aan de wiskunde! "nul" kan verschillende betekenissen hebben afhankelijk van de situaties waarop je het toepast..

In dit specifieke geval is dat: nul = geen enkele keer de operatie "appels uit de mand halen" uitvoeren.

In het geval waarin je appels optelt (2+5=7: 2 appels in mijn linkerhand, 4 in mijn rechterhand, in totaal 7 appels in beide handen) is dat nul = geen appels in mijn hand hebben.

En zo moet je bij iedere situatie een nieuwe interpretatie geven. Dan is er niets aan de hand.