Klassieke gravitatie met eindige voortplantingssnelheid en Mercurius

[wnvl1]

Dus als je aan Newton basisidee wilt vasthouden dan is wat ik voorstel denk ik de enige oplossing. dus puur beredeneerd en niet afgekeken van ART. wat ik kromming noem is denk ik ook totaal iets anders dan de kromming in de ART. ik denk dat het bij mij meer een tansformatie is ipv een kromming.

Op die manier bekeken, als je het ziet als een willekeurige poging volledig los van de ART, dan ben je natuurlijk vrij om alles te proberen. Alles wat leidt tot een kleine aanpassing van de wetten van Newton. Dat zijn er natuurlijk nog heel veel dingen die je kan proberen. Met de juiste parameters zal je hier en daar wel eens op dezelfde perihelium verschuiving komen. Het gaat wel pas waarde hebben als je met je model ook andere voorspellingen kan doen dan juist een periheliumverschuiving.

[wnvl1]

Niet gezegd dat het inderdaad zo is, maar stel nu eens dat er uit die rotatie actie van mij precies de 43 boogseconden per eeuw zou komen. wat concluderen we daar dan uit?

Nog niets, maar je mag dan wel proberen om met je model andere voorspellingen te doen en te checken met uitkomsten van de ART.
Als er veel goede voorspellingen kan doen, verdien je zeker en vast een pluim.

[wnvl1]

ik heb het puur beredeneerd vanuit hoe Newton zwaartekracht werkt maar niet compatible is met vertraagde zwaartekracht samen met het feit dat je niet kunt onderscheiden welke van de 2 beweegt tov elkaar: mercurius of zon. We weten immers als je de zon nu weghaalt dat de aarde nog 8 minuten rondjes blijft draaien alsof er niets aan de hand is terwijl de kracht nog steeds vanuit de dan niet meer bestaande zon lijkt te komen.

Dat is al eerder aangehaald door Xilvo, maar ik weet niet of daar al een goede reply op gegeven is. De ruimte tijd rond de zon is stationair in de ART (ervan uitgaand dat je de massa van Mercurius heel klein neemt). Wat is dan de relevantie van die 8 minuten? Het veld is toch overal stabiel. Hetzelfde geldt voor Newton. Het gravitatieveld is daar toch ook stabiel. Je kan ook de link trekken met de theorie van Maxwell en electromagnetisme. Als je eenmaal een stabiel elektrisch veld hebt, is het raar om nog rekening te houden met een tijdsvertraging voor de berekening van de baan. Dat is daar ook niet nodig om de baan van een deeltje te berekenen en toch compatibel te blijven met de SRT.

[wnvl1]

Hier wordt dan weer iets anders beweerd.

Je verwijst naar het antwoord van Gandalf?

Inderdaad.

Ik zal nog wat zoeken naar links waar het scherper is uitgelegd.
Zelf rekenen met een voorbeeld zou het mooist zijn, maar is heel lastig.

[Professor Puntje]

Nog even over een snelheidsafhankelijke potentiaal. Ik heb daar zojuist naar gezocht, maar vind enkel ingewikkelde verhalen met de lagrangiaan. Wordt een snelheidsafhankelijke potentiaal nergens eenvoudiger uitgelegd?

[Professor Puntje]

Hier nog een aangepaste formule voor de zwaartekracht: https://farside.ph.utexas.edu/teaching/ ... ode45.html

wat is precies: ' and angular momentum per unit mass $h$. '

Ik neem aan het impulsmoment van de planeet gedeeld door zijn massa.

[Professor Puntje]

Als ik het goed zie krijg je dan hetzelfde als in het eerder gelinkte artikel maar met een extra coëfficiënt "3"...?

[Xilvo]

Hier nog een aangepaste formule voor de zwaartekracht: https://farside.ph.utexas.edu/teaching/ ... ode45.html

Die correctie zou overeen moeten komen met drie keer wat je eerder vond, \(1+\frac{v^2}{c^2}\)

De "nieuwe" formule luidt \(-\frac{G M}{r^2}-\frac{3 G M h^2}{c^2 r^4}=-\frac{G M}{r^2}(1+\frac{3 h^2}{c^2 r^2})\)

Als je uitgaat van een cirkelbaan, dan is \(h=r v\) zodat je \(-\frac{G M}{r^2}(1+\frac{3 v^2}{c^2 })\) krijgt.

[wnvl1]

Nog even over een snelheidsafhankelijke potentiaal. Ik heb daar zojuist naar gezocht, maar vind enkel ingewikkelde verhalen met de lagrangiaan. Wordt een snelheidsafhankelijke potentiaal nergens eenvoudiger uitgelegd?

Ik denk dat je best wel werkt met een Lagrangiaan om de beweging af te leiden. Je kan werken met de Hamiltoniaan.

$$H=\frac{1}{2m} \left ( p_r ^2 + \frac{p_ \theta ^2 }{r^2} \right ) +U(r)$$

De bewegingsvergelijkingen worden dan

$$\dot q _i = \frac{\partial H}{\partial p_i}$$
$$\dot p_i =-\frac{\partial H}{\partial q_i}$$

[Professor Puntje]

@Xilvo Juist! Als dat bevredigende resultaten geeft, lijkt het mij slim om naar semi-klassieke onderbouwing van die formule te zoeken.

[Professor Puntje]

Nog even over een snelheidsafhankelijke potentiaal. Ik heb daar zojuist naar gezocht, maar vind enkel ingewikkelde verhalen met de lagrangiaan. Wordt een snelheidsafhankelijke potentiaal nergens eenvoudiger uitgelegd?

Ik denk dat je best wel werkt met een Lagrangiaan om de beweging af te leiden. Je kan werken met de Hamiltoniaan.

$$H=\frac{1}{2m} \left ( p_r ^2 + \frac{p_ \theta ^2 }{r^2} \right ) +U(r)$$

De bewegingsvergelijkingen worden dan

$$\dot q _i = \frac{\partial H}{\partial p_i}$$
$$\dot p_i =-\frac{\partial H}{\partial q_i}$$

Dat is iets waar ik zelf niet in thuis ben. Ik vrees ook dat een dergelijke aanpak de zaak voor de meeste mensen hier onleesbaar zou maken.

[wnvl1]

Ik wil het wel eens uitschrijven. Welke potentiaal wil je dat ik gebruik?

[Xilvo]

@Xilvo Juist! Als dat bevredigende resultaten geeft, lijkt het mij slim om naar semi-klassieke onderbouwing van die formule te zoeken.

Uiteraard geeft het een bevredigend resultaat, de vorige correctie gaf een precessie die een factor drie te klein was, deze is vrijwel drie maal zo groot (vrijwel want in de eerdere werd de tangentiële snelheid gebruikt, hier de snelheid zonder meer).

Correctie: het is natuurlijk wel nog steeds de tangentiële snelheid, \(\frac{h}{r}\) levert de tangentiële snelheid.

De precessie wordt nu 42,96'' per eeuw (waarvan niet alle decimalen significant zijn, vermoed ik).

[Professor Puntje]

Ik wil het wel eens uitschrijven. Welke potentiaal wil je dat ik gebruik?

Die van Gerber. Ik ben benieuwd met welke kracht die correspondeert, en of daar een semi-klassieke onderbouwing bij te vinden is.

[wnvl1]

Gerber stelt dat de potentiaal gelijk is aan

\[
V = -\frac{GM}{r \left( 1 - \frac{r}{c} \dot{r} \right)},
\]

met:
- \( G \) de gravitatie constante,
- \( M \) de massa van zon,
- \( r \) da afstand tussen zon en Mercurius,
- \( c \) de gravitatiesnelheid.

De formule voor de Lagrangiaan is:

\[
L = T - V
\]

Hierbij:
- \( L \) is de Lagrangiaan,
- \( T \) is de kinetische energie van het systeem,
- \( V \) is de potentiële energie van het systeem.

\[
T = \frac{1}{2} \left( \dot{r}^2 + (r \dot{\theta})^2 \right).
\]


Dus

\[
L = \frac{1}{2} \left( \dot{r}^2 + (r \dot{\theta})^2 \right) + \frac{GM}{r \left( 1 - \frac{r}{c} \dot{r} \right)}
\]


Nu kunnen de bewegingsvergelijkingen afgeleid worden met behulp van de Lagrange-vergelijkingen:

\[
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0
\]
waar \( q_i \) de gegeneraliseerde coördinaten zijn. In dit geval zijn \( q_1 = r \) en \( q_2 = \theta \).


### 1. Afleiden van de vergelijking voor \( r \)

#### De afgeleiden van \( L \)
We nemen de partiële afgeleiden van \( L \) met betrekking tot \( r \) en \( \dot{r} \).

1. **Partiële afgeleide van \( L \) naar \( \dot{r} \):**
\[
\frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = \dot{r} + \frac{\partial}{\partial \dot{r}} \left( \frac{GM}{r \left( 1 - \frac{r}{c} \dot{r} \right)} \right).
\]
De afgeleide van de tweede term vereist de kettingregel:
\[
\frac{\partial}{\partial \dot{r}} \left( \frac{GM}{r \left( 1 - \frac{r}{c} \dot{r} \right)} \right) = \frac{GM}{r} \cdot \frac{\partial}{\partial \dot{r}} \left( \frac{1}{1 - \frac{r}{c} \dot{r}} \right).
\]
Voor de breuk:
\[
\frac{\partial}{\partial \dot{r}} \left( \frac{1}{1 - \frac{r}{c} \dot{r}} \right) = \frac{r}{c} \cdot \frac{1}{\left( 1 - \frac{r}{c} \dot{r} \right)^2}.
\]
Dus:
\[
\frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = \dot{r} + \frac{GM}{r} \cdot \frac{r / c}{\left( 1 - \frac{r}{c} \dot{r} \right)^2}.
\]

2. **Tijdsafgeleide van \( \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} \):**
We differentiëren:
\[
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} \right) = \ddot{r} + \frac{d}{dt} \left( \frac{GM}{r} \cdot \frac{r / c}{\left( 1 - \frac{r}{c} \dot{r} \right)^2} \right).
\]
De tijdsafgeleide van de tweede term kan verder worden uitgewerkt, maar voor nu laten we deze staan als een complexe term.

3. **Partiële afgeleide van \( L \) naar \( r \):**
\[
\frac{\partial L}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{1}{2} (r \dot{\theta})^2 \right) + \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{GM}{r \left( 1 - \frac{r}{c} \dot{r} \right)} \right).
\]
Voor de kinetische term:
\[
\frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{1}{2} (r \dot{\theta})^2 \right) = r \dot{\theta}^2.
\]
Voor de potentiële term:
\[
\frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{GM}{r \left( 1 - \frac{r}{c} \dot{r} \right)} \right) = -\frac{GM}{r^2 \left( 1 - \frac{r}{c} \dot{r} \right)} + \frac{GM \dot{r}}{r \left( 1 - \frac{r}{c} \dot{r} \right)^2} \cdot \frac{1}{c}.
\]

4. **De Lagrange-vergelijking voor \( r \):**
We combineren de termen:
\[
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} \right) - \frac{\partial L}{\partial r} = 0.
\]
Dit geeft de volledige differentiaalvergelijking voor \( r \), inclusief complexe termen van \( \dot{r} \), \( \ddot{r} \), \( r \), en \( \dot{\theta} \).

---

### 2. Afleiden van de vergelijking voor \( \theta \)
Voor \( \theta \) is \( L \) onafhankelijk van \( \theta \), maar hangt af van \( \dot{\theta} \). Dit betekent dat het hoekimpulsmoment behouden is.

1. **Partiële afgeleide van \( L \) naar \( \dot{\theta} \):**
\[
\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = r^2 \dot{\theta}.
\]

2. **Tijdsafgeleide van \( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} \):**
\[
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} \right) = \frac{d}{dt} \left( r^2 \dot{\theta} \right) = 0.
\]

Dit geeft:
\[
r^2 \dot{\theta} = \text{constante}.
\]

---

### Samenvatting van de bewegingsvergelijkingen

1. Voor \( r \):
\[
\ddot{r} - r \dot{\theta}^2 = -\frac{GM}{r^2 \left( 1 - \frac{r}{c} \dot{r} \right)} + \frac{GM \dot{r}}{r \left( 1 - \frac{r}{c} \dot{r} \right)^2} \cdot \frac{1}{c}.
\]

2. Voor \( \theta \):
\[
r^2 \dot{\theta} = \text{constante}.
\]