Klassieke gravitatie met eindige voortplantingssnelheid en Mercurius

[Professor Puntje]

Als ik het goed begrijp komen krachten daar dan helemaal niet meer aan te pas? En vandaar dat ik nergens de Gerber-kracht vond...?

En hoe vinden we daar dan de precessie uit?

[wnvl1]

Je hebt nu de bewegingsvergelijkingen

\[
\ddot{r} - r \dot{\theta}^2 = -\frac{GM}{r^2 \left( 1 - \frac{r}{c} \dot{r} \right)} + \frac{GM \dot{r}}{r \left( 1 - \frac{r}{c} \dot{r} \right)^2} \cdot \frac{1}{c}
\]

\[
r^2 \dot{\theta} = \text{constante}.
\]

Je kiest een startwaarde voor \(\theta\), \(\dot{\theta}\), \(r\) en \(\dot{r}\).
Daarna moet je met een software het beginwaardeprobleem oplossen. Dan de oplossing bekijken en daaruit de precessie proberen af te leiden.

Op zich is de gradiënt van de potentiaal de kracht, maar deze hangt in dit geval af van \(\dot{r}\).

[Xilvo]

Je hebt nu de bewegingsvergelijkingen

\[
\ddot{r} - r \dot{\theta}^2 = -\frac{GM}{r^2 \left( 1 - \frac{r}{c} \dot{r} \right)} + \frac{GM \dot{r}}{r \left( 1 - \frac{r}{c} \dot{r} \right)^2} \cdot \frac{1}{c}
\]

\[
r^2 \dot{\theta} = \text{constante}.
\]

Je kiest een startwaarde voor \(\theta\), \(\dot{\theta}\), \(r\) en \(\dot{r}\).
Daarna moet je met een software het beginwaardeprobleem oplossen. Dan de oplossing bekijken en daaruit de precessie proberen af te leiden.

Op zich is de gradiënt van de potentiaal de kracht, maar deze hangt in dit geval af van \(\dot{r}\).

De Euler-Langrange methode is fraai en kan heel handig zijn. In dit geval vraag ik me af of het uiteindelijke resultaat makkelijker (numeriek) te integreren is dan wat je krijgt als je de potentiaal steeds numeriek differentieert om de kracht te vinden en vandaar uit verder werkt. Ik heb overigens geen van beide geprobeerd

Als voorbeeld van de methode kan het natuurlijk geen kwaad.

[Professor Puntje]

Op zich is de gradiënt van de potentiaal de kracht, maar deze hangt in dit geval af van \(\dot{r}\).

Moet je dan onderstaande gebruiken?

https://en.wikipedia.org/wiki/Gradient# ... oordinates

[wnvl1]

Je kan in polaire coördinaten de volgende formule gebruiken voor de gradiënt

\[
\nabla f(r, \theta) = \hat{r} \frac{\partial f}{\partial r} + \hat{\theta} \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta}
\]

[wnvl1]

De Euler-Langrange methode is fraai en kan heel handig zijn. In dit geval vraag ik me af of het uiteindelijke resultaat makkelijker (numeriek) te integreren is dan wat je krijgt als je de potentiaal steeds numeriek differentieert om de kracht te vinden en vandaar uit verder werkt.

Ik denk dat het niet veel verschil maakt.

[Professor Puntje]

Je kan in polaire coördinaten de volgende formule gebruiken voor de gradiënt

\[
\nabla f(r, \theta) = \hat{r} \frac{\partial f}{\partial r} + \hat{\theta} \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta}
\]

Klopt dit voor Gerbers kracht?:

\( \nabla f(r, \theta) = \hat{r} \frac{\partial f}{\partial r} + \hat{\theta} \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} \)

Gerbers potentiaal is:

\( V = -\frac{\mathrm{G} \mathrm{M}}{r \left( 1 - \frac{r}{c} \dot{r} \right)} \)
met:
\( \mathrm{G} \) = de gravitatieconstante,
\( \mathrm{M} \) = de massa van zon,
\( \mathrm{m} \) = de massa van Mercurius,
\( r \) = de afstand tussen zon en Mercurius,
\( \mathrm{c} \) = de gravitatiesnelheid.

De potentiële energie \( U \) van het systeem is dan:

\( U = -\frac{\mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} }{r \left( 1 - \frac{r}{c} \dot{r} \right)} \)

En de kracht \( F \) op Mercurius is dan:

\( F = -\nabla(U) \)

[wnvl1]

Dat klopt volgens mij.

Je komt dan op


\[
F=-\nabla U = -\hat{r} \frac{\mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} \left( 1 - \frac{2r}{c} \dot{r} \right)}{\left( r \left( 1 - \frac{r}{c} \dot{r} \right) \right)^2}
\]

[Professor Puntje]

OK - dank!

[Professor Puntje]

Je zou dan vermoeden dat dat voor v << c naar de eerder gevonden uitdrukking neigt...

[wnvl1]

Je verwijst naar het antwoord van Gandalf?

Inderdaad.

Ik zal nog wat zoeken naar links waar het scherper is uitgelegd.
Zelf rekenen met een voorbeeld zou het mooist zijn, maar is heel lastig.

Ik heb de vraag op physicsforums gezet. Ibix heeft geantwoord.

https://www.physicsforums.com/threads/t ... st-7238284

Achteraf gezien is het een triviaal antwoord dat ik kreeg van Ibix. De Riemann tensor is een tensor dus die transformeert als een tensor.
Voor mij betekent dat toch dat de kromming dezelfde blijft. De componenten veranderen, maar dat is gewoon omdat je van basis verandert.

[wnvl1]

Je zou dan vermoeden dat dat voor v << c naar de eerder gevonden uitdrukking neigt...

Dan krijg je

\[
F=-\nabla U = -\hat{r} \frac{\mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} }{\left( r \right)^2}
\]

[Professor Puntje]

Dat klopt volgens mij.

Je komt dan op


\[
F=-\nabla U = -\hat{r} \frac{\mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} \left( 1 - \frac{2r}{c} \dot{r} \right)}{\left( r \left( 1 - \frac{r}{c} \dot{r} \right) \right)^2}
\]

Ik ben er nog even verder mee aan het rekenen, maar er klopt iets niet. De term \( \frac{r}{c} \dot{r} \) zou dimensieloos moeten zijn...

[wnvl1]

Ja, maar dat zit al mis in de potentiaal waarvan vertrokken is.

[wnvl1]

Is de originele paper van Gerber ergens beschikbaar?