Probleem met oneindigheid en kans

[kee]

@Rogier

Eventjes terug naar iets vroeger in het topic: Hoe kies je een willekeurig reëel getal tussen 0 en 1 (uniforme kansverdeling)? Heb je daar toch niet hetzelfde probleem als het (onmogelijke probleem van) kiezen van een willekeurig natuurlijk getal?

[Bartjes]

@Rogier

Eventjes terug naar iets vroeger in het topic: Hoe kies je een willekeurig reëel getal tussen 0 en 1 (uniforme kansverdeling)? Heb je daar toch niet hetzelfde probleem als het (onmogelijke probleem van) kiezen van een willekeurig natuurlijk getal?

Een interessant punt! In mijn post van 24 juni 2009 vroeg ik mij dat ook al af. Wel moet gezegd dat het wiskundig eenvoudiger is, omdat je een dergelijke kansverdeling met reële getallen kan beschrijven.

[Phys]

Eventjes terug naar iets vroeger in het topic: Hoe kies je een willekeurig reëel getal tussen 0 en 1 (uniforme kansverdeling)?

Dat een (continue) stochast

\(X\)

een uniforme kansverdeling heeft op het interval [a,b] (

\(a,b\in\rr, a\leq b\)

), betekent dat zijn kansdichtheidsfuntie gegegeven wordt door

\(f_X(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a}&\mbox{ als }x\in[a,b]\\0&\mbox{ als }x\notin[a,b]\end{cases}\)

De kans dat

\(X\)

tussen x_1 en x_2 ligt, is dan gelijk aan:

\(\pp(x_1\leq X\leq x_2)=\int_{x_1}^{x_2}f_X(x)dx=\frac{x_2-x_1}{b-a}\)

.

Uiteraard is de kans dat X gelijk is aan een of ander getal in [a,b] (x_1=x_2) nul, maar de kans dat X in een bepaald gebied ligt is goed gedefinieerd.

[Bartjes]

Precies. Dat is de beschrijving met behulp van reële getallen. Het probleem van het feitelijke kiezen is daarmee echter niet opgelost.

Omdat een willekeurig reëel getal tussen 0 en 1 in decimale voorstelling oneindig veel decimalen heeft, lijkt mij het aanduiden van een dergelijk getal voor gewone stervelingen niet te doen (tenzij je toevallig een reëel getal hebt getrokken dat zich eenvoudig laat omschrijven). We hebben hier dus te doen met een sterk geïdealiseerde voorstelling.

Bij de keuze van een willekeurig (positief) natuurlijk getal is dat niet anders. Alleen kan men dan volstaan met een getal bestaande uit een willekeurige eindige rij cijfers. Dat dit laatste logisch onmogelijk zou zijn, terwijl de keuze van een willekeurig reëel getal (met een oneindige rij cijfers) wel toelaatbaar zou zijn, gaat er bij mij niet in. Temeer niet omdat we met behulp van infinitesimalen ook met de kansen op willekeurige (positieve) natuurlijke getallen kunnen rekenen.

Nog een los ideetje waar ik mee speel, is het volgende. Is het mogelijk de keuze van een willekeurig reëel getal tussen 0 en 1 via de een of andere functie om te zetten in een willekeurig (positief) natuurlijk getal?

[Phys]

Nog een los ideetje waar ik mee speel, is het volgende. Is het mogelijk de keuze van een willekeurig reëel getal tussen 0 en 1 via de een of andere functie om te zetten in een willekeurig (positief) natuurlijk getal?

Ligt eraan wat je onder willekeurig verstaat. Welke functie je ook neemt, deze zal altijd aan een bepaald argument een bepaald beeld toekennen. Wat dacht je van de functie die aan ieder getal tussen 0 en 1 het getal gevormd door de eerste n (bijv. n=10) cijfers achter de komma toekent? Of wil je per se een surjectieve functie (zodat ieder natuurlijk getal kan worden bereikt)?

[kee]

Maar we zijn het dus erover eens dat geen van beide kan: het feitelijk kiezen van het reële getal tussen 0 en 1 (bij uniforme kansverdeling) is onmogelijk. Dus wanneer het concept gebruikt wordt bij toepassingen gaat het dan eigenlijk steeds om het kiezen van een interval, ok?

[Bartjes]

Ligt eraan wat je onder willekeurig verstaat. Welke functie je ook neemt, deze zal altijd aan een bepaald argument een bepaald beeld toekennen. Wat dacht je van de functie die aan ieder getal tussen 0 en 1 het getal gevormd door de eerste n (bijv. n=10) cijfers achter de komma toekent? Of wil je per se een surjectieve functie (zodat ieder natuurlijk getal kan worden bereikt)?

Als slechts een eindig aantal natuurlijke getallen meedoen, schieten we er niet zo veel mee op. Het gedachte-experiment waardoor ik hierop kwam ging als volgt:

Stel dat we een black box hebben die willekeurige reële getallen tussen 0 en 1 uitwerpt. Vervolgens zetten we daarachter een "omvormer/filter" die de decimale schrijfwijzen van die getallen achterstevoren zet, en alleen die resultaten doorgeeft die natuurlijke getallen zijn.

In dat geval moeten we waarschijnlijk heel lang wachten voor er uit deze hypothetische opstelling een natuurlijk getal rolt. Zo kwam ik op het idee van een functie. Ook de reële getallen die volgens het aangegeven procedé niets opleveren, zouden we naar natuurlijke getallen kunnen laten wijzen. Deze opzet zou in elk geval voor de reële kans op een zeker (positief) natuurlijk getal steeds 0 moeten opleveren (kan dat wel?). Maar bij een waardering met infinitesimalen zou er voor alle (positieve) natuurlijke getallen eenzelfde infinitesimale kans uit moeten komen, zodanig dat hun som 1 is.

[kee]

Ik zit te denken: het zou mooi zijn als de harmonische reeks niet zou divergeren naar oneindig. In een intuïtief beeld van het kiezen van een willekeurig natuurlijk getal neemt de kans namelijk precies op deze manier af (10 keer minder kans op een 10 keer zo groot getal).

[kee]

@Bartjes: we kunnen geen willekeurig reëel getal kiezen, dus dat gaat ook niet. Het kost dus "oneindig veel tijd" om een willekeurig reëel getal te kiezen (als je het procedé van cijfers na de komma toevoegen zou toepassen) en de kans op een natuurlijk getal na deze oneindig veel tijd is dan ook nog eens 0 (moeten allemaal nullen of negens zijn vanaf een bepaald punt (als je die dan tenminste omzet naar de 'nullenschrijfwijze'), soit). Het grappige aan je gedachte-experiment is dat je op 1 of andere manier zou kunnen denken (als ik mij niet vergis) dat de kans op een natuurlijk getal van een cijfer meer steeds negen keer groter is.

[Bartjes]

Ik zit te denken: het zou mooi zijn als de harmonische reeks niet zou divergeren naar oneindig. In een intuïtief beeld van het kiezen van een willekeurig natuurlijk getal neemt de kans namelijk precies op deze manier af (10 keer minder kans op een 10 keer zo groot getal).

Leg eens uit?

[kee]

Leg eens uit?

We bekijken getallen naar het aantal cijfers: als je denkt aan een willekeurig natuurlijk getal, dan vraag je je eerst af denk ik hoe groot het moet zijn en dat hangt samen met het aantal cijfers. Er zijn tien keer meer getallen met (m+1) cijfers dan met m cijfers. De kans op het getal 100000 is dus op de een of andere manier intuïtief 10 keer kleiner dan de kans op het getal 10000. Als de som

\(\sum_{i=1}^\infty 1/i\)

eindig zou zijn dan zou je de kans voor ieder natuurlijk getal n (natuurlijk getallen vertrekkende vanaf 1) op

\(\frac{1/n}{\sum_{i=1}^\infty 1/i}\)

leggen.

EDIT: beetje te snel geweest...

EDIT2: voor de duidelijkheid: die som is dus wel oneindig, en dus ongeldig

[halb]

Het gekozen getal werd willekeurig getrokken.

[Bartjes]

@Bartjes: we kunnen geen willekeurig reëel getal kiezen, dus dat gaat ook niet. Het kost dus "oneindig veel tijd" om een willekeurig reëel getal te kiezen (als je het procedé van cijfers na de komma toevoegen zou toepassen) en de kans op een natuurlijk getal na deze oneindig veel tijd is dan ook nog eens 0 (moeten allemaal nullen of negens zijn vanaf een bepaald punt (als je die dan tenminste omzet naar de 'nullenschrijfwijze'), soit). Het grappige aan je gedachte-experiment is dat je op 1 of andere manier zou kunnen denken (als ik mij niet vergis) dat de kans op een natuurlijk getal van een cijfer meer steeds negen keer groter is.

Er zijn twee soorten kunnen:

(i) Wat wij in de praktijk kunnen,

(ii) Wat wij ons binnen onze geïdealiseerde theorieën als logisch mogelijk kunnen voorstellen.

Kijk eens naar mijn eerdere posts (23 juni 2009 en verder) over infinitesimale kansen. Daarmee kom je een heel eind.

[kee]

Er zijn twee soorten kunnen:

(i) Wat wij in de praktijk kunnen,

(ii) Wat wij ons binnen onze geïdealiseerde theorieën als logisch mogelijk kunnen voorstellen.

Kijk eens naar mijn eerdere posts (23 juni 2009 en verder) over infinitesimale kansen. Daarmee kom je een heel eind.

Ok, ik schreef er dan ook meer commentaar bij in de post van mij die je aanhaalt. Als je al een manier wilt vinden om te komen tot wat intuïtief het kiezen van een willekeurig natuurlijk getal zou kunnen zijn, dan moet in je kansverdeling de kans op een groter getal zeker afnemen. Vandaar mijn mislukte idee (dat mss enigszins aan te passen valt). Ik heb mijn oog vluchtig op de infinitesimalen laten vallen (het concept is me dan ook min of meer duidelijk). Ik bekijk het zeker nog eens, maar met het proberen vinden van een intuïtieve kansverdeling voor het "willekeurig" kiezen van een natuurlijk getal zitten we op een ander terrein.

[kee]

Sorry voor de vele berichtjes . Idd is het dus duidelijk dat het feit dat de harmonische reeks divergeert naar oneindig logisch samenhangt met het feit dat natuurlijke getallen willekeurig veel cijfers kunnen tellen; we komen dus geen stap verder (want je kan blijven voortdoen op die manier). De enige manier om een werkbaar iets te krijgen is door het limiteren tot een maximumgetal. In dat geval kan je evengoed de uniforme verdeling toepassen, maar misschien is mijn verdeling dan op een of andere manier toch intuïtiever (hoewel het natuurlijk niet duidelijk is of je de vermindering van kans misschien ook niet op het aantal cijfers moet toepassen, en op de logaritme van het aantal cijfers, en op de logaritme van de logaritme van het aantal cijfers en op ...).