Kettingfontein (bead chain phenomenon)

[jkien]

De kogeltjesketting schijnt al wat langer bekend te zijn als een science toy, onder de naam Newton's beads. Vorig jaar was het een van de onderzoeksopdrachten van de IYPT, een prestigieus internationaal scholierentoernooi (de 'wereldcup voor natuurkunde'). De scholieren moesten er een presentatie over geven en hadden een jaar de tijd om zich daarop voor te bereiden.

IYPT 2012

[Michel Uphoff]

Filmpje dat ik in #43 bedoelde gevonden:

[Benm]

Zo, dat komt er nog een aardig eind boven uit zeg!

Ik vraag me af wat de praktische bovengrens eigenlijk is

[Bartjes]

ketting2 1031 keer bekeken

Wanneer een schakel met massa m van de ketting de boog van I tot II doorloopt verandert zijn impuls van m.v (opwaarts) naar -m.v (neerwaarts). De totale impulsverandering Δp van de schakel is dan -2m.v (neerwaarts).

\( \Delta p = -2 \mbox{m} . \mbox{v} \)

.

De lengte van het boogje is een halve cirkelomtrek. Een schakel doet dan een tijd Δt over het doorlopen van het boogje, met:

\( \Delta t = \frac{ \pi . \mbox{R} }{\mbox{v}} \)

.

De gemiddelde neerwaartse kracht F_s die de schakel bij het doorlopen van het boogje ondervindt is dus:

\( F_s = \frac{ \Delta p }{ \Delta t } \)

\( F_s = \frac{ -2 \mbox{m} . \mbox{v} }{ \frac{ \pi . \mbox{R} }{\mbox{v}} } \)

\( F_s = - \frac{2}{\pi} \, . \, \frac{\mbox{m}}{ \mbox{R} } \, . \, \mbox{v}^2 \)

.

De massa van het boogje is πR . λ , dus het aantal schakels in het boogje N is:

\( \mbox{N} = \frac{\pi \mbox{R} . \lambda}{\mbox{m}} \)

.

Voor de totale neerwaartse kracht F_b die op het boogje werkt krijgen we dan:

\( F_b = \mbox{N} \, . \, F_s \)

\( F_b = \frac{\pi \mbox{R} . \lambda}{\mbox{m}} \, . \, - \frac{2}{\pi} \, . \, \frac{\mbox{m}}{ \mbox{R} } \, . \, \mbox{v}^2 \)

\( F_b = -2 . \lambda \, . \, \mbox{v}^2 \)

.

[Marko]

Dus, de schakel beschrijft een cirkelbaan ten gevolge van een middelpuntzoekende kracht. De lengte van de cirkelboog vertegenwoordigt een bepaalde massa en op die massa werkt de zwaartekracht.

En nu?

Waarom schuift het middelpunt van die cirkelboog omhoog?

[317070]

Ik vraag me af wat de praktische bovengrens eigenlijk is

Space elevator!

Nu, om eerlijk te zijn, ik geloof dat het zit in de perturbaties van het koord. Als je goed kijkt, zie je dat het zwaartepunt omhoog schuift, iedere keer als er eventjes een knoopje in de draad zit.

[Bartjes]

Waarom schuift het middelpunt van die cirkelboog omhoog?

Voor de totale neerwaartse kracht F_b die op het boogje werkt krijgen we dan:

(...)

\( F_b = -2 . \lambda \, . \, \mbox{v}^2 \)

.

De kracht F_b moet worden geleverd door het gewicht G_b van het boogje zelf tezamen met de twee trekkrachten F₁ en F₂ van de ketting bij I en II. We hebben:

\( G_b = \pi \, R \, . \, \lambda \, . \, \mbox{g} \)

.

\( F_1 = h . \lambda . \mbox{g} + F \)

.

\( F_2 = H . \lambda . \mbox{g} \)

.

\( F = \lambda . \mbox{v}^2 \)

(volgens berichtje #27).

Alles invullen geeft:

\( 2 . \lambda \, . \, \mbox{v}^2 \, = \, \pi \, R \, . \, \lambda \, . \, \mbox{g} \, + \, h . \lambda . \mbox{g} + \lambda . \mbox{v}^2 \, + \, H . \lambda . \mbox{g} \)

\( 2 \, . \, \mbox{v}^2 \, = \, \pi \, R \, . \, \mbox{g} \, + \, h . \mbox{g} + \mbox{v}^2 \, + \, H . \mbox{g} \)

\( \mbox{v}^2 \, = \, \pi \, R \, . \, \mbox{g} \, + \, h . \mbox{g} \, + \, H . \mbox{g} \)

.

We vonden al eerder dat:

\( \mbox{v}^2 = 2 . (H - h) . \mbox{g} \)

.

Dus:

\( 2 . (H - h) . \mbox{g} \, = \, \pi \, R \, . \, \mbox{g} \, + \, h . \mbox{g} \, + \, H . \mbox{g} \)

\( 2 . (H - h) \, = \, \pi \, R \, + \, h \, + \, H \)

\( 2 . (H - h) \, = \, \pi \, R \, + \, 2 h \, + \, (H - h) \)

\( H - h \, = \, \pi \, R \, + \, 2 h \)

\( \mbox{d} \, = \, \pi \, R \, + \, 2 h \)

(volgens #37)

\( 2 h = \mbox{d} \, - \, \pi \mbox{R} \)

\( h = {\scriptstyle \frac{1}{2}} . ( \mbox{d} \, - \, \pi \mbox{R} ) \)

.

(Let op dat deze formule voor h is afgeleid voor een ketting die de geïdealiseerde baan van de tekening beschrijft.)

[Marko]

Ik zie daarin geen tijdsafhankelijkheid van h?

Wat ik wel zie:

\(\pi R=H+h\)

of

\(\pi R = d + 2h\)

Dus áls h toeneemt dan moet ook R toenemen. En dat is niet wat de video's laten zien...

Ik denk ook niet dat de constructie met de cirkelboog zo handig is voor hetgeen je wil doen. Die cirkelboog impliceert immers een constante middelpuntzoekende kracht. Die middelpuntzoekende kracht betstaat in ieder geval uit een constante verticaal gerichte component, de zwaartekracht. Dat betekent dat je een heel vreemde tweede component moet introduceren (met onbekende oorsprong) die van de hoek afhankelijk is om aan zo'n cirkel te komen.

[Bartjes]

Ik zie daarin geen tijdsafhankelijkheid van h?

Wat ik wel zie:

\(\pi R=H+h\)

of

\(\pi R = d + 2h\)

Dus áls h toeneemt dan moet ook R toenemen. En dat is niet wat de video's laten zien...

Waar zie je dat?

De fluctuaties in de baan van de ketting worden bovendien uitdrukkelijk niet in mijn berekeningen meegenomen. Niet omdat zij onbelangrijk zouden zijn, maar omdat het dan direct verschrikkelijk ingewikkeld wordt.

Ik denk ook niet dat de constructie met de cirkelboog zo handig is voor hetgeen je wil doen. Die cirkelboog impliceert immers een constante middelpuntzoekende kracht. Die middelpuntzoekende kracht betstaat in ieder geval uit een constante verticaal gerichte component, de zwaartekracht. Dat betekent dat je een heel vreemde tweede component moet introduceren (met onbekende oorsprong) die van de hoek afhankelijk is om aan zo'n cirkel te komen.

Als we de dynamische kronkels buiten beschouwing laten is het boogje ongeveer cirkelvormig. Ik verwacht daarom ook niet dat mijn formules heel precies zullen zijn.

[Marko]

Waar zie je dat?

Dat volgt toch direct uit de vergelijkingen? Maar als je naar de video's kijkt zie je dat h nadat het koord wordt losgelaten langzaam toeneemt tot een bepaalde waarde (die kennelijk ongeveer 1/10 H bedraagt), terwijl de radius van de boog die wordt gevormd in feite gelijkblijft.

De fluctuaties in de baan van de ketting worden bovendien uitdrukkelijk niet in mijn berekeningen meegenomen. Niet omdat zij onbelangrijk zouden zijn, maar omdat het dan direct verschrikkelijk ingewikkeld wordt.

Die fluctuaties interesseren mij niet zoveel. Wat veroorzaakt het fenomeen dat de ketting een pad volgt waarvan het maximum geleidelijk aan steeds hoger komt te liggen? In eerste aanleg lijkt dát regelrecht in strijd met de principle of least action. Dat een ketting een boogje maakt is niet zo bijzonder.

Als we de dynamische kronkels buiten beschouwing laten is het boogje ongeveer cirkelvormig. Ik verwacht daarom ook niet dat mijn formules heel precies zullen zijn.

Het is ook ongeveer een kettinglijn of een parabool. Zou dat geen logischere benadering zijn?

[Bartjes]

Dat volgt toch direct uit de vergelijkingen?

Ik zie het niet.

Maar als je naar de video's kijkt zie je dat h nadat het koord wordt losgelaten langzaam toeneemt tot een bepaalde waarde (die kennelijk ongeveer 1/10 H bedraagt), terwijl de radius van de boog die wordt gevormd in feite gelijkblijft.

Jammer genoeg heb ik nog geen formule om die radius te berekenen, dat ontbreekt nog aan mijn model. Zou je deze straal wellicht zelf kunnen kiezen door de ketting verderweg of dichterbij het potje los te laten?

Die fluctuaties interesseren mij niet zoveel. Wat veroorzaakt het fenomeen dat de ketting een pad volgt waarvan het maximum geleidelijk aan steeds hoger komt te liggen? In eerste aanleg is dát regelrecht in strijd met de principle of least action. Dat een ketting een boogje maakt is niet zo bijzonder.

Inderdaad: dat boogje moet er hoe dan ook zijn omdat de baan van de ketting geen scherpe hoek kan maken. Het vreemde is dat het boogje tot een bepaalde hoogte omhoog beweegt. Maar volgens mij wordt dat in mijn model al verklaard. Wanneer de kogeltjes snel genoeg bewegen volstaat het eigen gewicht van het boogje niet meer om hun impuls van opwaarts naar neerwaarts om te buigen. Dan moet het boogje wel omhoog zodat er aan weerszijde meer gewicht aan komt te hangen. Dat zie je ook in mijn formule voor h.

Het is ook ongeveer een parabool. Zou dat geen logischere benadering zijn?

Het zou in principe wel moeten kunnen, maar de afleiding zou ingewikkelder worden terwijl de nauwkeurigheid van het resultaat er niet op vooruit gaat. De kogeltjes (schakels) bewegen met een constante snelheid, dus het is sowieso geen echte kogelbaan.

[Marko]

Ik zie het niet.

Jij schrijft:

\( H - h \, = \, \pi \, R \, + \, 2 h \)

Breng 2h naar de andere kant en het staat er.

Jammer genoeg heb ik nog geen formule om die radius te berekenen, dat ontbreekt nog aan mijn model.

Daar valt ook niet te verwachten. Je hebt zelf gedefinieerd dat de ketting loopt zoals hij loopt. Het enige wat je dan nog kunt doen is afleiden welke krachten er moeten werken om de baan zo te laten zijn als hij is. Maar dan? Dan weet je wat de krachten zouden moeten zijn. Vervolgens zou je dan moeten aantonen dat de krachten in een ketting inderdaad zo zijn.

Maar dan lijkt mij dat je beter gewoon op dat punt kunt beginnen: afleiden welke krachten er op de schakeltjes in de ketting werken, en van daaruit de bewegingsvergelijkingen opstellen.

Het vreemde is dat het boogje tot een bepaalde hoogte omhoog beweegt.

Ehm...daar gaat het al ruim 50 berichten over?

Maar volgens mij wordt dat in mijn model al verklaard. Wanneer de kogeltjes snel genoeg bewegen volstaat het eigen gewicht van het boogje niet meer om hun impuls van opwaarts naar neerwaarts om te buigen. Dan moet het boogje wel omhoog zodat er aan weerszijde meer gewicht aan komt te hangen. Dat zie je ook in mijn formule voor h.

Het enige wat ik aan jouw formule voor h zie is dat deze alleen kan toenemen als R toeneemt. Een snelheid komt daar niet in voor, noch de voorwaarde dat de kogeltjes "snel genoeg" bewegen, en ook niet hoe die kogeltjes uberhaupt een dergelijke snelheid kunnen krijgen.

Het zou in principe wel moeten kunnen, maar de afleiding zou ingewikkelder worden terwijl de nauwkeurigheid van het resultaat er niet op vooruit gaat.

Hoezo ingewikkelder? De paraboolbaan wordt gegeven door een constante naar beneden gerichte kracht. Veel simpeler kan niet.

De kogeltjes (schakels) bewegen met een constante snelheid, dus het is sowieso geen echte kogelbaan.

Die constante snelheid is jouw aanname. De video's laten naar mijn mening iets anders zien.

[Benm]

Space elevator!

Nu, om eerlijk te zijn, ik geloof dat het zit in de perturbaties van het koord. Als je goed kijkt, zie je dat het zwaartepunt omhoog schuift, iedere keer als er eventjes een knoopje in de draad zit.

Dat zou kunnen, maar dan nog vraag ik me af hoe ver die boog in de praktijk ooit boven de container uit komt. Space elevator werk zal het vast niet zijn, maar ik ben wel benieuwd naar de grootte-orde.

Stel dat je met 100 kilometer kogeltjes in een, nouja, oliedrum oid op de burj khalifa gaat staan en een eind overboord gooit, hoe ver zou het dan boven de rand stijgen? Een meter, tien, of nog veel meer?

[jkien]

Stel dat je met 100 kilometer kogeltjes in een, nouja, oliedrum oid op de burj khalifa gaat staan en een eind overboord gooit, hoe ver zou het dan boven de rand stijgen? Een meter, tien, of nog veel meer?

Het vermoeden is dat de sprong 10% van de val is, dus een sprong van 80 m.

Het is goedkoper om een ketting van 200 meter met aan het uiteinde een gewicht zo zwaar als 600 m ketting in eigen land van een hoge brug te laten vallen.

[Marko]

Nu, om eerlijk te zijn, ik geloof dat het zit in de perturbaties van het koord. Als je goed kijkt, zie je dat het zwaartepunt omhoog schuift, iedere keer als er eventjes een knoopje in de draad zit.

Ik kan me daar wel iets bij voorstellen. Een verstoring plant zich als een golf voort door het koord. Uiteindelijk kan dat ook het koord iets omhoog wippen bij het punt waar het koord omheen draait. Daardoor verschuift het draaipunt op dat moment iets omhoog.

Een dergelijk mechanisme kun je ook toepassen om een touw dat ergens achter haakt weer "los te wippen". Vereist wat timing, maar het kan zeker.

Echter, daarmee is niet verklaard waarom dat draaipunt op die hoogte blijft.

Overigens, als het inderdaad de verstoringen zijn, dan is zoiets in de praktijk te testen door het koord door een geleider te sturen, die je een horizontale slingerbeweging laat maken, een gecontroleerde continue verstoring op het koord dus. Het draaipunt zou dan "als een gek" omhoog moeten schieten.