Hoeveelheid priemgetallen

[Esthetisch]

Beweer je nu dat die twee limieten wel beide eindig zijn? Dan moet minstens een van ons beiden een fout gemaakt hebben, of hebben we het wellicht toch niet helemaal over hetzelfde?

Kijk, het zit zo: ik verwacht dat beide limieten eindig zijn. Waarschijnlijk is dat een foute verwachting, want als ze inderdaad allebei eindig zijn ontstaat er een paradox (#33).

Die limieten gaan echter over de situatie VOOR het wegstrepen. De situatie NA het wegstrepen heeft wel limieten. Als we na het wegstrepen de tabel A' noemen, is de limiet 1 (dat blijkt uit het feit dat er altijd nieuwe priemgetallen zijn, die gemiddeld op steeds grotere afstand van elkaar vandaan liggen).

De reden dat ik vervolgens verwacht dat A een limiet heeft, is omdat je A kan zien als een gedeelte van A'. (#43)

NB:

Overigens is in de oorsprong van dit alles de limiet van A' ook de limiet die ik wil gebruiken, maar toch zit die paradox me niet lekker. Het begrijpen daarvan kan wellicht ook tot een beter inzicht leiden van het totaalplaatje, vandaar dat ik dat toch graag helder zou krijgen.

[Bartjes]

De reden dat ik vervolgens verwacht dat A een limiet heeft, is omdat je A kan zien als een gedeelte van A'. (#43)

Oneindige reeksen hebben allerlei vreemde eigenschappen die intuïtief moeilijk te vatten zijn. Mogelijk is hier iets dergelijks aan de hand. Het zou mooi zijn als we een eenvoudig voorbeeld van een reeks kunnen vinden waarbij je hetzelfde ziet. We hebben een reeks:

R = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n + ...

Wat versta je nu onder een gedeelte van die reeks? Is dat bijvoorbeeld:

S = a₂ + a₁₈ + a₁₉ + a₁₀₂ + ...

waarbij we voor S een gedeelte van de termen van R gebruiken? In dat geval bedoel je wat in de wiskunde een 'deelreeks' heet.

[Esthetisch]

De oorsponkelijk reeks A ziet er zo uit (bovenste van de twee):



na wegstrepen ziet de reek A’ er zo uit:



alle getallen onder de streep (van de breuk) die groter zijn dan 121 (=11*11) zijn weggestreept.

meer algemeen zal je zien dat tabel bij reeks A’ de volgende vorm krijgt:



Voor meer uitleg over dat onderste plaatje zie #43

[Bartjes]

Een tabel met getallen is nog geen (oneindige) reeks. Daarvoor moet je ook nog aangeven in welke volgorde die getallen moeten worden opgeteld of afgetrokken. Dat kan voor oneindige reeksen met zowel positieve als negatieve termen invloed op de gevonden uitkomst hebben.

[Esthetisch]

Alle (overgebleven) breuken worden per kolom a,b,c,d,e,.... opgeteld. De waarden per kolom worden vervolgens beurtelings opgeteld en afgetrokken, dus:

A=a-b+c-d+e-...

B=b-c+d-e+...

Voor elke nieuwe rij ontstaat er dus een nieuwe eindwaarde voor A

Wanneer je het ziet als formule voor priemgetallen ontstaat er voor ieder getal n in IR een nieuwe eindwaarde A'

[Bartjes]

Alle (overgebleven) breuken worden per kolom a,b,c,d,e,.... opgeteld. De waarden per kolom worden vervolgens beurtelings opgeteld en afgetrokken, dus:

A=a-b+c-d+e-...

B=b-c+d-e+...

Ervan uitgaande dat a, b, c, etc. als sommen van de getallen in de betreffende kolommen eindige waarden hebben (maar is daar wel aan voldaan?), geldt dan dat de reeksen A en B ofwel beide convergent, ofwel beide divergent zijn.

[Esthetisch]

Ervan uitgaande dat a, b, c, etc. als sommen van de getallen in de betreffende kolommen eindige waarden hebben (maar is daar wel aan voldaan?),

Ja, daar wordt (uiteraard) aan voldaan, zolang er maar geldt dat je een eindig aantal rijen bekijkt. Dat is logisch, want dan is de hele tabel gedefinieerd, alle waarden zijn hard, dus dan kan je natuurlijk nooit een oneindige grootheid krijgen. Zolang je extra rijen er bij neemt kan die waarde wel oneindig lang blijven groeien, maar de waarde zal altijd gedefinieerd zijn.

geldt dan dat de reeksen A en B ofwel beide convergent, ofwel beide divergent zijn.

Is dit een vraag aan mij? Of een verklaring? Hoe moet ik dit zien? Want mijn antwoord op die vraag heb ik je vanmiddag gegeven, uit dat antwoord komt de hele paradox voort...

[Bartjes]

Ja, daar wordt (uiteraard) aan voldaan, zolang er maar geldt dat je een eindig aantal rijen bekijkt. Dat is logisch, want dan is de hele tabel gedefinieerd, alle waarden zijn hard, dus dan kan je natuurlijk nooit een oneindige grootheid krijgen. Zolang je extra rijen er bij neemt kan die waarde wel oneindig lang blijven groeien, maar de waarde zal altijd gedefinieerd zijn.

Zolang je een eindig aantal rijen neemt, zit je inderdaad veilig. Maar dan heb je niet de hele tabel.

Is dit een vraag aan mij? Of een verklaring? Hoe moet ik dit zien? Want mijn antwoord op die vraag heb ik je vanmiddag gegeven, uit dat antwoord komt de hele paradox voort...

Dat is een wiskundige bewering waarvan ik vrij zeker ben. Maar daar heb je dus alleen iets aan wanneer je slechts een eindig aantal rijen bekijkt.

[Esthetisch]

Zolang je een eindig aantal rijen neemt, zit je inderdaad veilig. Maar dan heb je niet de hele tabel.

Jawel, dan heb je dus de hele tabel die bij de 1 specifieke a of a' hoort.

Dat is een wiskundige bewering waarvan ik vrij zeker ben. Maar daar heb je dus alleen iets aan wanneer je slechts een eindig aantal rijen bekijkt.

Ok. Waar komt die zekerheid vandaan? Uit de paradox of uit een andere redenering? Ik geloof het meteen maar probeer het dan beter te begrijpen.

En denk je dan aan een convergente of aan een divergente rij? Is er een limiet of niet?

[Bartjes]

Je kan limieten zien als een spelletje. We zeggen dat de limiet van een oneindige reeks a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n + ... een zeker getal L is alleen in dat geval waarin er voor ieder positief getalletje ε hoe klein ook gekozen een eindige reeks a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n bestaat zodanig dat de som S_n van die eindige reeks minder dan het getalletje ε van het getal L afwijkt. Die eindige reeks a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n heeft dus de som S_N en bevat de eerste N termen van de oneindige reeks a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n + ... . Dat is in de kern de definitie die in de wiskunde algemeen gebruikt wordt. (Er bestaan ook nog andere definities met oneindige en infinitesimale getallen, maar dat is weer vak apart.)

Wil je zonder paradoxen met oneindige rijen en reeksen werken dan is die definitie van een limiet onontbeerlijk. Begrijp je hoe dat werkt?

[Esthetisch]

Ja ik begrijp wat een limiet is... De rest van je eerste alinea is ook bij mij bekend.

Hoe je zo'n limiet vindt in z'n algemeenheid weet ik niet, volgens mij is dat altijd weer een geval apart.

Maar denk jij dan dat die convergent is? Want bij divergentie is er geen limiet toch?

Als die convergent is: prima. Dan er is er alleen wel een paradox.vAls die divergent is, dan begrijp ik niet hoe de omwerking het verschil kan maken tussen de convergerende A' en de divergerende A.

[Bartjes]

Ja ik begrijp wat een limiet is... De rest van je eerste alinea is ook bij mij bekend.

Mooi! Dat mijn eerdere wiskundige bewering in berichtje #51 juist moet zijn, is op grond van de definitie van de limiet van een reeks (en van convergentie en divergentie) in te zien.

Hoe je zo'n limiet vindt in z'n algemeenheid weet ik niet, volgens mij is dat altijd weer een geval apart.

Dat klopt. Er zijn wel een aantal trucjes, maar die werken niet altijd. Het is vaak puzzelen, en soms kom je er ook gewoon niet uit.

Maar denk jij dan dat die convergent is? Want bij divergentie is er geen limiet toch?

Dat is juist. Een niet convergente reeks (dus waarbij er inderdaad geen limietwaarde L bestaat) heet divergent. Een divergente reeks kan ofwel in positieve zin oneindig groot worden, ofwel in negatieve zin oneindig groot worden, ofwel wat heen en weer zwabberen zonder uiteindelijk ergens naar te convergeren.

Als die convergent is: prima. Dan er is er alleen wel een paradox.vAls die divergent is, dan begrijp ik niet hoe de omwerking het verschil kan maken tussen de convergerende A' en de divergerende A.

Wie is 'die'?

[Esthetisch]

die = A

[Bartjes]

Jawel, dan heb je dus de hele tabel die bij de 1 specifieke a of a' hoort.

Die opmerking begrijp ik nog niet.

[Esthetisch]

Daarmee bedoel ik dus dat de tabel, en daarmee de waarde A(n), nooit oneindig groot kan zijn. Bij iedere waarde hoort een specifieke tabel, en die is altijd volledig gedefinieerd. De tabel kan daarentegen wel oneindig lang in omvang blijven groeien. Of dat voor zijn bijbehorende waarde A ook geldt, dat is (nog steeds) de vraag.