geluidssnelheid

[Marko]

Op het gevaar af weer een zoveelste keer het kringetje rond te gaan:
 
Een oneindig stijve veer/staaf heeft een oneindig hoge geluidssnelheid. De kracht van een duw, of klap, of wat je ook doet, aan 1 kant van de veer zal onmiddelijk worden doorgegeven door de hele veer heen. De hele veer komt op hetzelfde moment in beweging, alle delen van de veer bewegen met dezelfde snelheid en staan dus ten opzichte van elkaar stil. Als je een duw geeft met een bepaalde snelheid heeft de veer op alle plaatsen die snelheid.
 
Dit is een geïdealiseerde benadering die normaal gesproken wordt toegepast bij het beschrijven van de beweging van voorwerpen; simpelweg de wetten van Newton zoals die ook bij middelbareschoolopgaven worden gebruikt. Niks mis mee.
 
Maar als je deze benadering toepast, dan veronderstel je dat de geluidssnelheid oneindig hoog is. En dan is dus de vraag of een duw sneller kan gaan inhoudsloos.
 
Als je een andere benadering toepast, dan is dat een andere benadering, met andere aannames. Een situatie volgens de ene aanname is niet, nooit, onder geen enkele voorwaarde, te vergelijken met een situatie volgens de andere aanname. Ook dan is de vraag of een duw tegen een oneindig stijf voorwerp sneller is dan een klap tegen een niet oneindig stijf voorwerp dus inhoudsloos.
 
En binnen die andere benadering is het weliswaar wat ingewikkelder, maar uiteindelijk nog steeds niet moeilijker dan dit: als je een kracht uitoefent aan 1 kant, zal aan die kant het voorwerp vervormen, en die vervorming zal stukje bij beetje worden doorgegeven door het voorwerp. Dat doorgeven gaat met de geluidssnelheid, en zolang er in een bepaald gedeelte van het voorwerp nog niets is doorgegeven staat dat gedeelte stil. Het andere uiteinde van het voorwerp zal dus pas als laatste in beweging komen. Over de snelheid die dat andere uiteinde krijgt kun je in zijn algemeenheid niets zeggen, behalve dan dat die in ieder geval niet hoger zal zijn dan de geluidssnelheid in het materiaal van het voorwerp.

[Professor Puntje]

(...) is het toch niet zo vreemd dat ook een duw tegen een oneindig stijve veer (of die nu wel of niet bestaat) sneller gaat dan het geluid kan gaan.

 
Een oneindig stijve veer geeft bewegingen per definitie oneindig snel door. Dat is de enige manier waarop zo'n veer (klassiek gesproken) steeds de zelfde vorm kan behouden. En dat is dus inderdaad sneller dan het geluid. Maar omdat zo'n veer niet bestaat zegt dat niets. De idealisering van een star lichaam is alleen bruikbaar in die gevallen waarin de vervormingen van het lichaam verwaarloosbaar zijn. Hier draait alles juist om die vervormingen en dan zijn ze uiteraard niet verwaarloosbaar.

[always]

Laten we ons dan beperken tot niet oneindige stijve voorwerpen, zoals ook eigenlijk de bedoeling is.
 
Marko: "Over de snelheid die dat andere uiteinde krijgt kun je in zijn algemeenheid niets zeggen, behalve dan dat die in ieder geval niet hoger zal zijn dan de geluidssnelheid in het materiaal van het voorwerp." Hoe moet ik dit dan plaatsen tov haar antwoord waarin zij zegt dat dat wel kan (ten minste als er dus wel rekening wordt gehouden met interne vrijheidsgraden). 
 
"05/04/2016 - loes(vraagsteller)
Maar stel dus dat we er bij een duw wél vanuit gaan dat de interne vrijheidsgraden een rol spelen. Gaat de duw dan nog steeds sneller als het geluid?
 

• 05/04/2016 - Sylvia(wetenschapper)
  Ja (dit was de uitleg na de tweede "Als", maar er ging iets mis met de opmaak.)"

[Professor Puntje]

Ik zou zeggen: reken het uit en zie wie er gelijk heeft...

[Marko]

Rekenen heeft pas zin als je heel duidelijk definieert wat je wil berekenen en onder welke voorwaarden. Twee situaties vergelijken op basis van een berekening kan alleen als beide situaties vergelijkbaar zijn, met andere woorden dat de voorwaarden die je aanlegt van toepassing zijn op beide situaties.
Daar is in dit geval geen sprake van.
 
Desalniettemin, een korte berekening om een beeld te geven van waar de situatie nu feitelijk op neer zou komen, meer bepaald die van de gewraakte 12 km lange staaf van beryllium.
 
De staaf wordt 10 cm ingeduwd. 10 cm op 12 km, dat is een relatieve rek van 10^-5. Bij een elasticiteitsmodulus van 300 GPa betekent dat, dat dat 3 * 10⁶ N kost voor iedere vierkante meter dwarsoppervlak van de staaf. Gaan we uit van een staaf van 10 bij 10 cm, 0.01 m² dus, dan betekent dat een kracht van 30 kN oftewel 3000 kg.
 
Veel he. 
 
Maar nu komt het. Die staaf heeft een dichtheid van ongeveer 2000 kg/m³. Een staaf van 12 km bij 10 cm bij 10 cm heeft een volume van 120 m³ en weegt dus 240.000 kg, 240 ton. Een kracht van 30 kN geeft de staaf als geheel een versnelling van 0.125 m/s². Dan moet je lang, heel lang, duwen, om de geluidssnelheid (in beryllium) te bereiken.
 
Je kunt het ook uitrekenen met arbeid. 30 kN uitoefenen over een afstand van 10 cm, dat is 3 kJ. Daarmee geef je een 240 ton zware staaf een snelheid mee van 0.16 m/s. 
 
Dat is bijna 10.000 keer langzamer dan de voortplanting van het geluid.

[always]

Maar kan ik nu concluderen uit je berekeningen dat het wél kan of nog steeds niet. Stel ik plaats die staaf voorop een straaljager zou het dan geduwd kunnen worden sneller dan het geluid. Wel te verstaan vanaf het begin van de staaf tot het einde zonder de verplaatsing van de staaf zelf door de straaljager want die kan natuurlijk zelf sneller vliegen dan het geluid. Of is dat heel vreemd uitgedrukt of te berekenen en is elke duw sneller dan het geluid als het wordt geplaastst op een supersonische raket?

[Marko]

De geluidssnelheid in die staaf gaat over de snelheid waarmee vervormingen in die staaf worden doorgegeven. Die snelheid geldt dus ten opzichte van de snelheid van de staaf zelf.
Als de staaf zelf met 1 km per seconde beweegt (een hele snelle straaljager, maar goed), en je geeft er, vanuit die straaljager een tik of een duw of wat voor verstoring dan ook aan, dan zal de vervorming zich voortplanten met 12 km/s ten opzichte van de straaljager. En met 13 km/s ten opzichte van een waarnemer die stilstaat op de grond.
 
Dus ja, voor sommige waarnemers zal de vervorming sneller bewegen dan de geluidssnelheid. Maar dat geldt wel voor iedere vervorming, duw of tik maakt daarbij niet uit.

[Professor Puntje]

Hoe reken je het uit? Werk met onderstaande model dat de essentie van het geval weergeeft:
 

Sterk vereenvoudigd kun je het als volgt voorstellen. Leg een massaloze veer met een zwaar middenstuk en twee zware uiteinden op een glad oppervlak. Oefen dan tijdelijk een kracht op één van de uiteinden uit. In dat geval kun je netjes uitrekenen (of simuleren) wat er gebeurt. Slaan en duwen zijn niet wezenlijk verschillend.

 
Zodra er op laat ons zeggen t=0 een kracht op een van de uiteinden wordt uitgeoefend zal dat uiteinde gaan versnellen. Maar wat doet op t=0 het andere uiteinde? Doet dat in eerste instantie niets en gaat het pas na een zekere vertraging versnellen? Of gaat dat andere uiteinde ook direct vanaf t=0 versnellen maar dan wel aanvankelijk met een kleinere versnelling dan het aangeduwde of aangetikte uiteinde? Dat is volgens mij de kernvraag van dit topic. En dat laat zich ook uitrekenen.

[Marko]

Natuurlijk laat zich dat uitrekenen. d'Alembert stelde bijna 300 jaar geleden de eendimensionale golfvergelijking al op, precies volgens dat uitgangspunt, en waarmee je precies dat beschrijft.

[Professor Puntje]

Op het moment heb ik geen tijd, maar ik wil dat zelf ook wel eens proberen....

[Professor Puntje]

Het begint allemaal met een mooi plaatje:
 

plaatje 662 keer bekeken

[Marko]

Ja, zo een als deze:
 

 
Afkomstig van Wikipedia, waar ook een mooi stuk uitleg staat.
 
https://en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation

[Professor Puntje]

Ja, zo een als deze:
 

 
Afkomstig van Wikipedia, waar ook een mooi stuk uitleg staat.
 
https://en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation
 
Ik denk dat als je per se het wiel opnieuw wil uitvinden, je daar niet dit topic voor moet kapen.

 
Ik zie nog geen formule die x₃ = x₃(t) in verband brengt met F = F(t). Heb je daar ook een link voor?

[Emveedee]

Ze noemen het ook wel een phonon: https://en.wikipedia.org/wiki/Phonon
 
Combineer het model met wat thermodynamica en quantumfysica en je kunt allerlei interessante eigenschappen zoals warmtecapaciteit, dispersie, band gaps, etc. uitrekenen, maar dat is een heel vak an sich.

[Marko]

Op die Wikipedia-pagina staat bijvoorbeeld:
 
Here the dependent variable <i>u(x)</i> measures the distance from the equilibrium of the mass situated at <i>x</i>, so that <i>u(x)</i> essentially measures the magnitude of a disturbance (i.e. strain) that is traveling in an elastic material. The forces exerted on the mass <i>m</i> at the location <i>x</i>+<i>h</i> are:
 
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/128dccc346b1598cd2332a2eee4c0c8acfd6ca57
 
The equation of motion for the weight at the location <i>x+h</i> is given by equating these two forces:
 
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03475672d64f1c412bad36c0f800a70b6fec6057
 
 
Op Mathworld staat ook een mooie uitleg:
 
http://mathworld.wolfram.com/WaveEquation1-Dimensional.html
 
En verder zijn er tal van wiskundeboeken die handelen over golfvergelijkingen, partiële differentiaalvergelijkingen en oplossingen daarvan.
 
 
 
 
@always: misschien helpt het als ik het zo samenvat:
 
Kun je door te duwen een staaf een snelheid meegeven die groter is dan de geluidssnelheid in die staaf? Absoluut!
En als de hele staaf sneller gaat dan de geluidssnelheid gaat ook de voorkant van die staaf sneller dan de geluidssnelheid. Alleen moet je dan heel lang duwen én wachten totdat de kracht die je aan de achterkant op de staaf zet aan de voorkant is doorgegeven. Het is niet zo dat als je duwt (in plaats van slaat), de kracht instantaan ook de achterkant van de staaf laat bewegen. 
 
Je zult het andere uiteinde van een staaf daardoor nooit sneller op een bepaald punt krijgen wanneer je tegen een staaf duwt, dan wanneer je er tegen slaat.