Manifolds, Groups, Bundles, and Spacetime

[Professor Puntje]

Het leerboek van d'Inverno heb ik ook in huis, en zou ik na Isham kunnen bestuderen...

[Professor Puntje]

Zelf heb ik eigenlijk nooit echt ingezien wat de notie van raakbundels exact toevoegt aan de beoefening van algemene relativiteit.

Zijn vezelbundels ook overbodig? Of is dat hetzelfde?

[flappelap]

Zelf heb ik eigenlijk nooit echt ingezien wat de notie van raakbundels exact toevoegt aan de beoefening van algemene relativiteit.

Zijn vezelbundels ook overbodig? Of is dat hetzelfde?

Een raakbundel is een vezelbundel waarbij de vezels de raakruimten zijn. Je zult ze bij je begrip van de ART niet nodig hebben. Bij ijktheorieën komen vezelbundels nog wel es voorbij, maar ook daar zijn ze in mijn ogen niet echt nodig.

[Professor Puntje]

Dan bepaal ik mij tot het willen begrijpen van de definities van dergelijke zaken zonder er verder nog moeite voor te doen om er in bedreven te raken om ermee te rekenen.

[flappelap]

Een vezelbundel ziet er lokaal uit als een productruimte, net als een manifold er lokaal vlak uitziet. Dat is het zo'n beetje

[Professor Puntje]

Ja - maar dan begrijp ik niet wat daar zo bijzonder aan is.

[Professor Puntje]

Het is inderdaad een kwestie van volhouden, en steeds weer opnieuw proberen. Elke keer kom ik weer net iets verder. Tegelijk heb ik mijn einddoel ook steeds verder naar beneden bijgesteld. Mede vanwege mijn leeftijd.

Ben nu hiermee bezig: https://www.worldscientific.com/worldsc ... .1142/3867

Dat boek gaat tot nog toe heel goed: sommige stukjes moet ik wel een paar keer herlezen, maar het is dan ook geen flut romannetje.

[Professor Puntje]

Ik wil een paar definities nog wat nader bekijken. Hier de eerste definitie van raakvectoren volgens het boek van Isham:

[Professor Puntje]

Wat raar! Waarom vergroten de afbeeldingen na erop klikken niet (noemenswaardig) meer?

[Professor Puntje]

Punten uit een omgeving van een punt p in de m-dimensionale variëteit \( \mathcal{M} \) worden door een kaartafbeelding φ in een omgeving van φ(p) in \( \mathbb{R}^m \) afgebeeld. Meer bepaald levert een kromme σ in \( \mathcal{M} \) waarvoor σ(0)=p een kromme φ_°σ op die door het punt φ(p) in \( \mathbb{R}^m \) gaat. Voor het vergelijken van twee krommen σ₁ en σ₂ waarvoor σ₁(0)=σ₂(0)=p in \( \mathcal{M} \) vergelijken we de bijbehorende krommen φ_°σ₁ en φ_°σ₂ door het punt φ(p) in \( \mathbb{R}^m \). Op die krommen in \( \mathbb{R}^m \) kunnen we anders dan voor de krommen σ₁ en σ₂ in \( \mathcal{M} \) immers wel de bekende technieken van de differentiaalrekening toepassen. Vervolgens noemen we de krommen σ₁ en σ₂ waarvoor σ₁(0)=σ₂(0)=p in \( \mathcal{M} \) precies dan equivalent in p wanneer de bijbehorende krommen φ_°σ₁ en φ_°σ₂ door het punt φ(p) in \( \mathbb{R}^m \) in φ(p) dezelfde raakvector hebben. Equivalente krommen vormen equivalentieklassen en op die manier kunnen we raakvectoren aan \( \mathcal{M} \) in p definiëren als de equivalentieklassen van equivalente krommen in \( \mathcal{M} \) met σ(0)=p. (Bedenk bij dit alles wel dat de genoemde krommen formeel gesproken afbeeldingen zijn van een deelverzameling (-ε,ε) van \( \mathbb{R} \) naar \( \mathcal{M} \) en geen puntverzamelingen in \( \mathcal{M} \) .)

[flappelap]

Ja - maar dan begrijp ik niet wat daar zo bijzonder aan is.

Omdat variëteiten (manifolds) lokaal dan wel te schrijven zijn als een productruimte, maar dit hoeft globaal niet altijd zo te zijn. Dat hangt af van de zogenaamde topologie.

Ik ben niet zo thuis in dit onderwerp, maar blijkbaar wordt dit vooral relevant in quantumveldentheorieën, wanneer je niet-perturbatieve effecten in ijktheorieën wilt beschrijven.

Een nogal gekunsteld voorbeeld in de alg.rel.theorie zou zijn, dat je de 2-dimensionale ruimtetijd neemt. Dit kun je lokaal zien als het product van een tijdslijn met een eendimensionale ruimte. Maar globaal hoeft dit niet zo te zijn; de ruimtetijd kan b.v. ook een zogenaamde Möbiusband vormen. De Einsteinvergelijkingen verbieden dit niet, omdat deze de topologie niet vastleggen, maar alleen de kromming. Zo'n Möbiusband is een mooi voorbeeld van een vezelbundel die globaal gezien een niet-triviale topologie heeft.

Dus net als een variëteit lokaal vlak is, maar globaal kromming kan hebben, is een vezelbundel lokaal een productruimte, maar niet per se globaal; dat laatste hangt van de topologie af. Maar zoals ik zei: in de alg.rel.theorie zul je dit niet zo gauw tegenkomen. Het aardigste voorbeeld van een dergelijke situatie vind ik hoe de tweelingparadox verandert als je de ruimtetijd als een cylinder beschouwt i.p.v. een vlak (dus waarbij je de eendimensionale ruimte als een cirkel beschouwt). Maar laten we niet teveel afdwalen

[flappelap]

Wat raar! Waarom vergroten de afbeeldingen na erop klikken niet (noemenswaardig) meer?

Op m'n telefoon doen ze dat wel, maar op m'n laptop idd niet.

[Professor Puntje]

Dank voor de uitleg over vezelbundels.

Wat raar! Waarom vergroten de afbeeldingen na erop klikken niet (noemenswaardig) meer?

Op m'n telefoon doen ze dat wel, maar op m'n laptop idd niet.

Dat is nog vreemder!

[flappelap]

Ik wil een paar definities nog wat nader bekijken. Hier de eerste definitie van raakvectoren volgens het boek van Isham:

1.JPG2.jpg

Belangrijk bij deze definitie is dat er dus een 1 op 1 relatie bestaat tussen raakvectoren en differentiaaloperatoren, en dat de definitie bovendien coordinaatonafhankelijk is. Omdat je weet hoe die differentiaaloperatoren transformeren onder een coordinatentransformatie (kettingregel), volgt daaruit meteen de transformatie van de componenten.

[Professor Puntje]

Klopt - ben daar al mee aan het worstelen. Mijn bewijzen volgen (hopelijk) vanavond. Maar ik heb nogal wat moeite met die multidimensionale kettingregel. Er speelt te veel tegelijk, en dan raak ik mijn grip erop kwijt. Er is over die multidimensionale kettingregel ook al eens eerder een topic geweest.