Bal op de top van een koepel rolt niet naar beneden.

[Professor Puntje]

Dat het determinisme tegenwoordig binnen de kwantummechanica weer heilig verklaard is verbaast mij nogal. In de vorige eeuw kon men nog overal lezen dat de kwantummechanica het determinisme van de klassieke mechanica had overwonnen. Het radioactief verval werd daarbij vaak als voorbeeld aangevoerd van iets dat alleen in statistische zin kon worden voorspeld. Waarom dat voorbeeld ineens niet meer geldt ontgaat me.

[wnvl1]

Ik veronderstel dat je het indeterminisme van het radioactief verval toegewezen kan worden aan het meetproces?

[HansH]

Waarom dit zijspoor naar QM ? is dat nodig om tot de essentie van het topic te komen? Voor mij leidt het teveel af.

[Professor Puntje]

Dat begrijp ik niet. In de natuurkunde toets je theorieën door te meten. Althans dat was vroeger zo...

[Professor Puntje]

Waarom dit zijspoor naar QM ? is dat nodig om tot de essentie van het topic te komen? Voor mij leidt het teveel af.

Daar heb je gelijk in. Ik zal er een ander topic over openen.

[HansH]

kunnen we het eens worden over de vraag of de 2e afgeleide van de versnelling 0 is in het geval dat r(t)=0 en 1/6 voor het geval r(t)=F(t-T) ?

volgens mij is dat de essentie waar het om draait namelijk.

[Nesciyolo]

Dat begrijp ik niet. In de natuurkunde toets je theorieën door te meten. Althans dat was vroeger zo...

Maar dit probleem gaat niet over meting. Het gaat over de theorie zelf. Over een theoretisch balletje dat precies op de top van een theoretische koepel ligt. Daarom is elke geldige wiskundige bewrking op de formules geoorloofd. Ook als die "in de praktijk" weinig zin heeft. Als je dit als experiment zou willen uitvoeren dan zou je elke keer als het balletje wegrolt concluderen dat het kennelijk niet precies op de top ligt. Of dat de vloer een beetje trilt of het zwaartekrachtveld fluctueert of wat dan ook.
Niet de slimste opmerking dus, p. Puntje. (als we mekaar toch voor rode haring aan het uitmaken zijn).

[HansH]

Volgens mij is het nog steeds simpel:
In het punt met r=0 is er geen kracht en als het balletje daar stil staat is er ook geen enkele reden om het in beweging te zetten want r=0 en alle afgeleiden zijn ook 0.
maar voor r>0 bevind je je op het traject waar een zwaartekrachtscomponent is hoe klein ook en heb je dus te maken met de formule met de 4e macht erin. maar daar heb je ineens te maken met een 2e afgeleide van de versnelling van 1/6. Dus er is een discontinuiteit bij de overgang van r=0 naar r>0. blijft dus de vraag welke van de 2 nu feitelijk geldig is op r=0 en of je dat op een of andere manier kunt bewijzen. is de 2e afgeleide gelijk aan 0 of 1/6 het kan niet beide tegelijk zijn.

Een gedachtesprong die ik had is om het geheel uit te breiden naar de andere kant en te beperken tot bewegen in slechts 1 vlak. dus dan kun je voor r waardes krijgen groter of kleiner dan 0. en voor r=0 krijg je een discontinuiteit en ga je over van 2e afgeleide van de versnelling van -1/6 naar + 1/6. dus ik denk dat de conclusie moet zijn dat het geheel ongedefinieerd is voor r=0.

[HansH]

Dus dan zou het betekenen dat je ook in theorie het balletje nooit op de top stil kunt leggen. of je moet ervoor kiezen om de discontinuiteit te vervangen door een oneindig stijle overgang van -1/6 naar +1/6 met 0 precies op r=0. maar in dat geval blijft het balletje dan ook altijd liggen op de top als je het daar neerlegt.

[Professor Puntje]

Dat begrijp ik niet. In de natuurkunde toets je theorieën door te meten. Althans dat was vroeger zo...

Maar dit probleem gaat niet over meting. Het gaat over de theorie zelf. Over een theoretisch balletje dat precies op de top van een theoretische koepel ligt. Daarom is elke geldige wiskundige bewrking op de formules geoorloofd. Ook als die "in de praktijk" weinig zin heeft. Als je dit als experiment zou willen uitvoeren dan zou je elke keer als het balletje wegrolt concluderen dat het kennelijk niet precies op de top ligt. Of dat de vloer een beetje trilt of het zwaartekrachtveld fluctueert of wat dan ook.
Niet de slimste opmerking dus, p. Puntje. (als we mekaar toch voor rode haring aan het uitmaken zijn).

Weer een rode haring! Er komt maar geen eind aan.

Om discussie over de QM in dit topic te vermijden heb ik daar al een ander topic over aangemaakt. Gelieve daar verder over kwantummechanica te discussiëren.

[wnvl1]

Als je echt voeling wil krijgen met dit probleem, lijkt mij de logische stap dat je probeert uit te zoeken waarom Lipschitz continuïteit een voorwaarde is in de stelling van Picard–Lindelöf. Heel theoretisch, maar het lijk mij de enige weg. Dus het bewijs uitpluizen...

[HansH]

Als je echt voeling wil krijgen met dit probleem, lijkt mij de logische stap dat je probeert uit te zoeken waarom Lipschitz continuïteit een voorwaarde is in de stelling van Picard–Lindelöf. Heel theoretisch, maar het lijk mij de enige weg. Dus het bewijs uitpluizen...

dat heeft blijkbaar te maken met de stijlheid van overgangen. maar kun je aangeven wat je hiermee denkt te bereiken, want ik kan er niet zoveel mee. zoals gezegd is de stijlheid waarmee de 2e afgeleide van 0 naar 1/6 gaat oneindig groot zodra je van r=0 en stil stand over gaat naar de andere vergelijking die beweging beschrijft.

[wnvl1]

Het bewijs van Picard–Lindelöf van de uniciteit van de oplossing is gebaseerd op de Contractiestelling van Banach.
https://nl.wikipedia.org/wiki/Contracti ... van_Banach

Als die hogere orde afgeleiden niet onder controle zijn (geen Lipschitz), dan is die contractie stelling niet van toepassing.

[HansH]

Als die hogere orde afgeleiden niet onder controle zijn (geen Lipschitz), dan is die contractie stelling niet van toepassing.

de 2e afgeleide van de versnelling maakt een stapvormige verandering op r=0 als functie van de tijd, maar je weet niet wanneer en waarom, dus lijkt me inderdaad dan niet onder controle. dus wat is daaruit dan de conclusie?

[wnvl1]

Als er geen Lipschitz-continuïteit is, dan heeft het initiële-waardenprobleem:

\[
\frac{dy}{dx} = f(x, y), \quad y(x_0) = y_0,
\]

niet noodzakelijk een unieke oplossing. Vertaald naar de dome: een oplossing is dat de bal blijft liggen en een andere is dat hij eraf rolt. Zo bekeken dus geen determinisme.