Klassieke gravitatie met eindige voortplantingssnelheid en Mercurius

[Xilvo]

Als je kijkt naar welke kracht de zon van de planeet ondervindt (ik noem het met opzet niet Mercurius omdat ik van een veel kleinere massa van de planeet uitga), dan krijg je mogelijk wel een effect door de retardatie. Maar dat zou een (voor mijn niet te accepteren) asymmetrie opleveren, de kracht van de een op de ander ongelijk aan het omgekeerde.

Hetzelfde probleem krijg je m.i. bij het eerdere voorbeeld van de twee deeltjes die met de lichtsnelheid wegvliegen. Ga je niet van de zon uit maar van een deeltje dat altijd de instantane zwaartekracht van de zon ondervindt, omdat die gelijk is aan de geretardeerde kracht omdat de zon "stilstaat", dan kom je weer op de helft van de eerdere afbuiging uit.

[Professor Puntje]

Even zien of het echt niet lukt:

Op ieder moment t' is de instantane vector \( \vec{F}_i(t') \) bekend. Alleen is die kracht in het geval van geretardeerde gravitatie dan nog niet bij Mercurius aangekomen. Het kost \( \vec{F}_i(t') \) een tijdje \( \frac{r(t)}{\mathrm{c}} \) om de afstand van de (bij benadering stilstaande) zon naar de positie die Mercurius op het latere moment t inneemt te overbruggen. Dus op het tijdstip \( t = t' + \frac{r(t)}{\mathrm{c}} \) komt de kracht \( \vec{F}_i(t') \) bij Mercurius aan. Op Mercurius werkt dus op ieder tijdstip t de daar dan arriverende bijbehorende kracht \( \vec{F}_i(t') \) .

Dit verschilt dus van een statische veldentheorie, hoewel de afwijkingen voor snelheden veel kleiner dan c en huis-tuin-en-keuken afstanden verwaarloosbaar zullen zijn. Vanuit statische velden geredeneerd liggen de gravitatiekrachten via het gravitatieveld als het ware voor ieder punt rond de zon gebruiksklaar te wachten om instantaan in werking te treden zodra zich daar een planeet (of testmassa) meldt. Binnen mijn semi-klassieke aanpak is dat niet langer het geval en mag je dus niet langer zo denken, tenzij voor verschijnselen met snelheden veel kleiner dan c en huis-tuin-en-keuken afstanden. In het laatste geval is de veldenbenadering nauwkeurig genoeg.

Let wel: ik beweer niet dat mijn semi-klassieke plaatje beter is dan andere theorieën zoals de ART, maar ik probeer wel zo scherp en helder mogelijk te beschrijven hoe de zaken er vanuit mijn semi-klassieke aanpak (in ontwikkeling) uit gaan zien.

[Professor Puntje]

Wie heeft er een vector-formule paraat voor \( \vec{r}(t) \) voor een standaard ellipsbaan van een planeet rond de zon:

[Xilvo]

Wie heeft er een vector-formule paraat voor \( \vec{r}(t) \) voor een standaard ellipsbaan van een planeet rond de zon:

Ik niet. Maar misschien kun je uitgaan van een cirkel en die in één richting platdrukken. Het middelpunt splitst zich op in twee brandpunten. Vanuit een brandpunt blijft de perkenwet gelden, zowel in de ellips als in de cirkel.

Geen idee of dit makkelijk uit te werken is.

[Professor Puntje]

Het gaat mij om een vector-uitdrukking voor \( \vec{r}(t) \), dus als een functie van de tijd t. Ik heb ook zelf al even op internet gezocht maar juist wat ik nodig heb zie ik niet. Eventueel kan ik het ook zelf wel uitwerken, maar dat kost me dan veel tijd voor iets dat in principe al lang bekend zou moeten zijn.

[Professor Puntje]

Dit komt in de buurt:

[Professor Puntje]

De tweede afgeleide naar de tijd van de plaatsvector van Mercurius maal de massa m van Mercurius is de instantane gravitatiekracht van de zon op Mercurius. Dus zouden we de op Wikipedia vermelde versnellingsvector moeten kunnen gebruiken.

[Professor Puntje]

Nee - zo zijn we er nog niet want dan heb je nog steeds r als functie van t nodig...

[wnvl1]

Hetzelfde probleem krijg je m.i. bij het eerdere voorbeeld van de twee deeltjes die met de lichtsnelheid wegvliegen. Ga je niet van de zon uit maar van een deeltje dat altijd de instantane zwaartekracht van de zon ondervindt, omdat die gelijk is aan de geretardeerde kracht omdat de zon "stilstaat", dan kom je weer op de helft van de eerdere afbuiging uit.

Dat lijkt mij inderdaad een probleem in de aanpak van PP.

[Professor Puntje]

Je moet bij mijn aanpak consequent zijn en het veldbegrip aan de kant zetten, anders krijg je dubbelzinnigheden. Ook als de zon volstrekt stil zou staan moet je dus aannemen dat de gravitatie-werking die van de zon uitgaat een tijdje onderweg is om het lichaam of deeltje te bereiken dat daarna pas die kracht voelt.

[wnvl1]

Normaliter los je de gravitatiepotentiaal op uit de Poisson-vergelijking. Als zwaartekracht zich niet instantaan voortplant, dan moet je de Poissonvergelijking uitbreiden met een tijdsafhankelijke term zodat deze een golfvergelijking wordt. Hoe doe je dat zonder dat je op relativistische uitdrukkingen komt?

Oftewel: die gravitatiepotentiaal die je nu gebruikt is de oplossing van een veldvergelijking vergelijkbaar met de Poissonvergelijking. Welke?

Het zal een combinatie van deze twee moeten zijn.

\[
\nabla \Phi(t, \mathbf{x}) = G \int \nabla \left(\frac{\rho(t_r, \mathbf{x'})}{|\mathbf{x} - \mathbf{x'}|}\right) d^3x'.
\]

\[
\frac{\partial \Phi}{\partial t} = G \int \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{\rho(t_r, \mathbf{x'})}{|\mathbf{x} - \mathbf{x'}|}\right) d^3x'.
\]

In relativiteitstheorie kan je dan beide gaan combineren in 1 uitdrukking, maar dat is zonder relativiteit lastig.

[Professor Puntje]

Kennelijk is het helemaal niet zo eenvoudig om een uitdrukking voor de positie van een planeet als functie van de tijd te vinden, en heeft dat te maken met Kepler's vergelijking: https://en.wikipedia.org/wiki/Kepler%27s_equation

[Professor Puntje]

Update: een analytische oplossing gaat heel lastig worden, ik heb er heel wat uurtjes in gestoken maar loop steeds vast.

Second best zou een numerieke aanpak zijn...

[Xilvo]

Het probleem bij een numerieke aanpak (ik heb er ervaring mee) is dat je heel nauwkeurig de richting van de ellips moet kunnen bepalen, of je moet met grote nauwkeurigheid heel veel omwentelingen numeriek kunnen berekenen. Het wordt al snel heel tijdrovend.

[Professor Puntje]

Hmm... Dan wordt het lastig.