Goed, een chaotisch maar fascinerend forumkluwen dit. Wel leerzaam, want het is een mooi voorbeeld van drie denkrichtingen die allemaal naar (vrijwel) hetzelfde antwoord leiden, maar via totaal verschillende routes en met wisselend succes in helderheid en nauwkeurigheid. Zo zie ik het in ieder geval.
De aanpak van Professor Puntje is op zich niet verkeerd, maar vrijwel onnavolgbaar opgeschreven: een math dump waarbij je al gauw iedereen kwijtraakt. Het lijkt vooral een stijlkwestie (wiskunde = waarheid), maar mist fysieke intuïtie. Jammer, want het idee is bruikbaar:
\(\mathrm{K} = \frac{\mathrm{I} \mathrm{A}_0}{ \gamma_1 m_1 v_1 c^2 }\)
Dat is conceptueel vergelijkbaar met het Poynting-Robertson-effect, maar dan met de Lorentzfactor expliciet in de vergelijking verwerkt.
Wil je het oplossen? Tuurlijk: voor kleine snelheden (
\(v \ll c\), zoals hier het geval) is
\(\gamma \approx 1\), en dan is het gewoon:
\(v^2 \, dv = -K \, dt \Rightarrow \frac{1}{3} v^3 = -Kt + C\)
Dat geeft de vertraging met tijd aan en je kunt de tijd uitrekenen tot
\(v = 1 \, \text{m/s}\) als je
\(K\) kent.
Maar eerlijk gezegd: waarom moeilijk doen?
De "zonnezeil-aanpak" van HansH is hier m.i. prachtig. Je kijkt naar de lichtdruk in het bewegende frame, vernietigd je dat het licht onder een hoek binnenkomt (
\(\tan \alpha = v/c\)), en dat alleen de x-component afremt:
\(F_x = \frac{IA}{c} \cdot \frac{v}{c} = \frac{IAv}{c^2}\)
Dat is precies de Poynting-Robertson kracht.
(En geeft de "tijdconstante van
\(9 \times 10^{16}~\mathrm{s}\) is dus binnen een factor 2 van de
\(2{,}07 \times 10^{17}~\mathrm{s}\) die Ukster vond. Het verschil is waarschijnlijk vanwege exacte logaritmen vs een benadering via de tijdconstante.)
Dus alle drie de routes zijn geldig als je de juiste aannamen maakt. De afleiding van Ukster is wiskundig exact, de "zonnezeilbenadering" is een intuïtieve projectie-analyse, en de
\(\gamma\)-route is correct maar moeilijk navolgbaar zonder context.
De sleutel is dat je volledige absorptie
én isotrope re-emissie aanneemt, zonder die aanname werkt geen van de modellen. Dat is cruciaal! (En het enige minpuntje bij Ukster zijn berekening voor hier, dat dit niet expliciet genoemd wordt.)
Absorptie alleen zorgt voor impuls-overdracht loodrecht op het invallende licht. Maar de remkracht ontstaat pas bij isotrope re-emissie.
Bij isotrope re-emissie in het frame van het bewegende blok wordt energie (en dus impuls) gelijkmatig in alle richtingen uitgezonden. In het lab frame betekent dat dat het blok netto fotonen “achterwaarts” uitzendt vanwege zijn beweging, en daardoor impuls verliest in de bewegingsrichting: een remkracht.
Dus zonder re-emissie blijft de ontvangen energie in het systeem, maar is er geen kracht die afremt.
@Professor Puntje (TS)
Het is inderdaad een lastige, maar niet onoplosbaar. Je kunt de vergelijking:
\(\gamma(v) \cdot v^2 \cdot \frac{dv}{dt} = -K\)
herleiden tot een integreerbare vorm door gebruik te maken van:
\(\gamma(v) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\)
Dus je krijgt:
\(\frac{v^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \cdot \frac{dv}{dt} = -K\)
Ofwel:
\(\frac{v^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \, dv = -K \, dt\)
En dan kun je beide kanten eindigen. De linkerzijde is een pittige integraal (maar numeriek oplosbaar). Voor lage snelheden kun je gewoon zeggen dat
\(\gamma \approx 1\), en dan is het weer:
\(v^2 \, dv = -K \, dt \Rightarrow \frac{1}{3} v^3 = -Kt + C\)
Maar eerlijk gezegd, als je toch al aanneemt dat
\(v \ll c\), dan is deze hele relativistische route overkill, alsof je met een telescoop naar je voeten kijkt.
Misschien dat iemand er wat aan heeft. Succes in ieder geval.
Puzzels
