kee schreef:We bekijken getallen naar het aantal cijfers: als je denkt aan een willekeurig natuurlijk getal, dan vraag je je eerst af denk ik hoe groot het moet zijn en dat hangt samen met het aantal cijfers. Er zijn tien keer meer getallen met (m+1) cijfers dan met m cijfers. De kans op het getal 100000 is dus op de een of andere manier intuïtief 10 keer kleiner dan de kans op het getal 10000. Als de som
\(\sum_{i=1}^\infty 1/i\)
eindig zou zijn dan zou je de kans voor ieder natuurlijk getal n (natuurlijk getallen vertrekkende vanaf 1) op
\(\frac{1/n}{\sum_{i=1}^\infty 1/i}\)
leggen.
EDIT: beetje te snel geweest...
EDIT2: voor de duidelijkheid: die som is dus wel oneindig, en dus ongeldig
Waar je vastliep was met de (symbolische) breuk:
\(\frac{1/n}{\sum_{i=1}^\infty 1/i}\)
Binnen de reële getallen kan je daar hoogstens 0 aan toekennen. Anders ligt dat wanneer we werken met rijtjesgetallen. Laat voor positieve natuurlijke getallen n en natuurlijke getallen m:
\(H(n,m) = \frac{1/n}{\sum_{i=1}^{m+1} 1/i}\)
Dan kunnen we het rijtjesgetal
H(k) voor positieve natuurlijke getallen k definiëren als:
H(k) = (H(k,0) , H(k,1) , H(k,2) , H(k,3), ... , H(k,n) , ...) .
Dit is voor alle positieve natuurlijke getallen k duidelijk een positief infinitesimaal rijtjesgetal. We kunnen
H(1) dan als de kans op 1 gebruiken,
H(2) als de kans op 2,
H(3) als de kans op 3, etcetera. Het enige wat we nog moeten nagaan is of de oneindige som van al deze kansen wel
1 is.
De som van een oneindige rij rijtjesgetallen hebben we al in een eerdere post gedefinieerd. De oneindige som:
a + b + c + d + e + ... ,
van de rijtjesgetallen:
a = (a
0 , a
1 , a
2 , a
3 , ... , a
n , ...) ,
b = (b
0 , b
1 , b
2 , b
3 , ... , b
n , ...) ,
c = (c
0 , c
1 , c
2 , c
3 , ... , c
n , ...) ,
d = (d
0 , d
1 , d
2 , d
3 , ... , d
n , ...) ,
e = (e
0 , e
1 , e
2 , e
3 , ... , e
n , ...) ,
...
definieerden we als:
(a
0 , a
1 + b
1 , a
2 + b
2 + c
2 , a
3 + b
3 + c
3 + d
3 , a
4 + b
4 + c
4 + d
4 + e
4 , ...) .
Voor
H =
H(1) +
H(2) +
H(3) +
H(4) +
H(5) + ... vinden we dan:
H = (H(1,0), H(1,1) + H(2,1), H(1,2) + H(2,2) + H(3,2), H(1,3) + H(2,3) + H(3,3) + H(4,3), H(1,4) + H(2,4) + H(3,4) + H(4,4) + H(5,4), ...) .
Laat nu X(k) = H(1,k) + H(2,k) + H(3,k) + ... + H(k+1,k), voor alle natuurlijke getallen k. Dan geldt kennelijk:
H = (X(0), X(1), X(2), X(3), X(4), ...) .
Maar hoe
groot is X(k)?
X(k) = H(1,k) + H(2,k) + H(3,k) + ... + H(k+1,k) ,
X(k) =
\(\frac{1/1}{\sum_{i=1}^{k+1} 1/i} + \frac{1/2}{\sum_{i=1}^{k+1} 1/i} + \frac{1/3}{\sum_{i=1}^{k+1} 1/i} + ... + \frac{1/(k+1)}{\sum_{i=1}^{k+1} 1/i} \)
,
X(k) =
\(\frac{{1/1} + {1/2} + {1/3} + ... + {1/(k+1)}}{\sum_{i=1}^{k+1} 1/i} \)
,
X(k) =
\(\frac{\sum_{i=1}^{k+1} 1/i}{\sum_{i=1}^{k+1} 1/i} \)
,
X(k) = 1 .
Zodat:
H = (1, 1, 1, 1, 1, ...) =
1 .
Anders geschreven:
H(1) +
H(2) +
H(3) +
H(4) +
H(5) + ... =
1 .
We kunnen
H(k) daarom als een infinitesimale kansverdeling over de positieve natuurlijke getallen beschouwen.
. Idd is het dus duidelijk dat het feit dat de harmonische reeks divergeert naar oneindig logisch samenhangt met het feit dat natuurlijke getallen willekeurig veel cijfers kunnen tellen; we komen dus geen stap verder
.
