[wiskunde] integralen / integreren

[TD]

(1+x^2)^2 dx  

dan krijg ik

(1/6)x(1+x^2)^3

Dit klopt niet, leid maar terug af om dat te zien.

De reden waarom die substitutie hier niet zo mooi werkt zoals de vorige keer is omdat je geen extra factor x hebt die van het afleiden van x² komt.

[kans]

(1+x^2)^2 dx  

dan krijg ik

(1/6)x(1+x^2)^3

Dit klopt niet, leid maar terug af om dat te zien.

De reden waarom die substitutie hier niet zo mooi werkt zoals de vorige keer is omdat je geen extra factor x hebt die van het afleiden van x² komt.

maar dat klopt toch wel!

want,

(1/2x) * (1+x^2)^2 * 2x

(1/2x) * t^2 * dt

1/6)x(1+x^2)^3 +C

En wat bedoel je met 'hier niet zo mooi werkt', het werkt wel of niet toch? En als er bij een werkt, werkt het bij allemaal toch?

[TD]

Ik snap niet wat je hier gedaan hebt, je mixt zelfs t's en x'en in één uitdrukking, dat mag niet! Wat is nu precies je substitutie?

[kans]

(1/2x) * (1+x^2)^2 * 2x

(1/2x) * (1+x^2)^2 * d (1+x^2)

t=1+x^2

(1/2x) * t^2 * dt

1/6)x(1+x^2)^3 +C

[EvilBro]

(1/2x) * t^2 * dt

Je vergeet hier de x in 1/2x om te schrijven naar t.

[kans]

(1/2x) * t^2 * dt

Je vergeet hier de x in 1/2x om te schrijven naar t.

omg hoe doe ik dat?

[TD]

(1/2x) * (1+x^2)^2 * 2x  

(1/2x) * (1+x^2)^2 * d (1+x^2)

t=1+x^2

(1/2x) * t^2 * dt  

1/6)x(1+x^2)^3 +C

Zoals ik al zei mag je de verschillende veranderlijken niet "mixen". Als je een substitutie doet om van een functie van x over te gaan naar een functie van t, dan moeten er in je uiteindelijke nieuwe integrand enkel nog t's voorkomen en nergens meer een x. Soms kan dat niet, soms maakt het dat alleen moeilijker - in beide gevallen is een substitutie dan niet aangewezen.

[kans]

(1/2x) * (1+x^2)^2 * 2x  

(1/2x) * (1+x^2)^2 * d (1+x^2)

t=1+x^2

(1/2x) * t^2 * dt  

1/6)x(1+x^2)^3 +C

Zoals ik al zei mag je de verschillende veranderlijken niet "mixen". Als je een substitutie doet om van een functie van x over te gaan naar een functie van t, dan moeten er in je uiteindelijke nieuwe integrand enkel nog t's voorkomen en nergens meer een x. Soms kan dat niet, soms maakt het dat alleen moeilijker - in beide gevallen is een substitutie dan niet aangewezen.

hmhm, ik snap het, en dus in dit geval is het alleen maar maar moeilijker om van 1/2x naar een functie van x over te gaan?

[TD]

hmhm, ik snap het, en dus in dit geval is het alleen maar maar moeilijker om van 1/2x naar een functie van x over te gaan.

Naar een functie van t bedoel je wellicht, dan klopt het ja. Om te beginnen zou het niet eenduidig kunnen (positieve en negatieve wortel) en daarbij maak je het niet makkelijker door vierkantswortels in te voeren.

Voor wat theoretische info en enkele voorbeelden kan je ook een kijkje nemen op de wikipedia pagina die ik hierover geschreven heb: Integratie door substitutie.

[kans]

ik bedoel inderdaad t. foutje

bedankt voor je hulp.

[kans]

De kettingregel geldt natuurlijk voor het afleiden en je moet dus oppassen met het gewoon in de omgekeerde richting te gebruiken o.i.d.

Substitutie: y = 2+sin(x) dy = cos(x) dx

=> dy/y = ln|y| + C = ln|2+sin(x)| + C

dus sin(x)/(2*cos(x)-1)

is

ln|2*cos(x)-1|

klopt dit?

[EvilBro]

dus sin(x)/(2*cos(x)-1)

is

ln|2*cos(x)-1|

klopt dit?

Nee. Leidt die functie maar eens af:

ln|2*cos(x)-1| => (1/(2*cos(x)-1))*(-2*sin(x))

Je mist dus een factor (-1/2) en een constante, dus je antwoord is:

(-1/2)*ln|2*cos(x)-1| + C

[kans]

dus sin(x)/(2*cos(x)-1)

is

ln|2*cos(x)-1|

klopt dit?

Nee. Leidt die functie maar eens af:

ln|2*cos(x)-1| => (1/(2*cos(x)-1))*(-2*sin(x))

Je mist dus een factor (-1/2) en een constante, dus je antwoord is:

(-1/2)*ln|2*cos(x)-1| + C

hmhm, maar ik heb toch gedaan wat TD! ook deed?

Substitutie: y = (2*cos(x)-1) dy = - 2*sin(x)

=> dy/y = ln|y| + C = ln|(2*cos(x)-1)| + C

Maar inderdaad als je dus controleert, door wat je hebt gevonden te differentieren, zie je dat het niet klopt. Maar ik bedoel, hoe doe je dat meteen goed? Of moet ik dan altijd eerst differentieren en kijken of er nog een correctiefactor er mist? Dat is niet waar toch?

[TD]

hmhm, maar ik heb toch gedaan wat TD! ook deed?

Substitutie: y = (2*cos(x)-1)  dy = - 2*sin(x)

=>  dy/y = ln|y| + C = ln|(2*cos(x)-1)| + C

Maar inderdaad als je dus controleert, door wat je hebt gevonden te differentieren, zie je dat het niet klopt. Maar ik bedoel, hoe doe je dat meteen goed? Of moet ik dan altijd eerst differentieren en kijken of er nog een correctiefactor er mist? Dat is niet waar toch?

Je schreef dat dy = - 2*sin(x), maar de opgave was sin(x)/(2cos(x)-1) dx dus ik vraag me af hoe jij dan opeens naar dy/y gaat.

Als dy = - 2*sin(x) dx dan is sin(x)dx = -1/2 dy dus de opgave gaat over in -1/2 dy/y.

[thomasb]

een andere primitieve dan...

de primitieve van 2xln(x) is volgens mijn boek x^2* lnx - 1/2 x^2

ik snap niet hoe ze daar aankomen...

ik snap de de primitieve van 2x x^2 is... maar de primitieve van ln(x) is volgens mij nog altijd x * ln(x) - x ... wat zie ik hier over het hoofd?